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专题17 圆锥曲线离心率问题精妙解法
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题....................................................2
题型二：焦点三角形顶角范围与离心率............................................................................................2
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题................................................................................................3
题型四：椭圆与双曲线的4A 通径体..................................................................................................3
题型五：椭圆与双曲线的4A 直角体..................................................................................................4
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题........................................................................................4
题型七：双曲线的4A 底边等腰三角形..............................................................................................5
题型八：焦点到渐近线距离为B.........................................................................................................5
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形................................................................................5
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题............................................................................6
题型十一：渐近线平行线与面积问题................................................................................................6
02 重难创新练......................................................................................................................................9
1
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题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
1．已知椭圆
上有一点
，它关于原点的对称点为
，点
为椭圆的右焦点，且满足
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围为
A．[
，
]
B．[
，
]
C．[
，
]
D．[
，
]
2．已知椭圆
上有一点
，它关于原点的对称点为
，点
为椭圆的右焦点，且满足
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
3．设
为椭圆
上一点，点
关于原点的对称点为
，
为椭圆的右焦点，且
.若
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
4．设椭圆
的两焦点为
，若椭圆上存在点
，使
，则椭圆的离心率
的取值范围为.
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆
的两个焦点分别为
，若椭圆上存在点
使得
是钝角，则椭
圆离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题
6．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，椭圆
的上顶点为
，且
，双曲线
和椭圆
有相同焦点，且双曲线
的离心率为
为曲线
与
的一个公共点．
若
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
7．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，椭圆
的上顶点为
，
且
，曲线
和椭圆
有相同焦点，且双曲线
的离心率为
，
为曲线
与
的一个公共
点，若
，则（ ）．
3
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A．
B．
C．
D．
8．已知椭圆
和双曲线
的焦点相同，记左、右焦点分别为
，
，椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，设点
为
与
在第一象限内的公共点，且满足
，若
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
题型四：椭圆与双曲线的4a 通径体
9．设点
、
分别是椭圆
的左、右焦点，点
、
在
上（
位于第一象限）
且点
、
关于原点对称，若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设椭圆
的左、右焦点分别为
，点M，N 在椭圆C 上（点M 位于第一象
限），且点M，N 关于原点O 对称，若
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：椭圆与双曲线的4a 直角体
11．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线交椭圆于A，B 两点，
，且
，椭圆
的离心率为
，则实数
（ ）
4
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A．
B．2
C．
D．3
12．已知椭圆
的左、右焦点为
，
，过
的直线交
于
，
两点，若
，且
，
则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
13．已知双曲线
左右焦点为
，
，过
的直线与双曲线的右支交于
，
两点，
且
，若
为以
为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
14．已知点
分别是双曲线
的左右两焦点，过点
的直线与双曲线的左右两
支分别交于
两点，若
是以
为顶角的等腰三角形，其中
，则双曲线离心率
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：双曲线的4a 底边等腰三角形
15．设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线l 分别与双曲线左、右两
支交于M，N 两点，且
，
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．3
C．
D．
5
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16．已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，过
的直线与双曲线
的左支交
于
，
两点，连接
，
，在
中，
，
，则双曲线
的离心率为
（ ）
A．3
B．
C．
D．2
题型八：焦点到渐近线距离为b
17．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作一条渐近线的垂线，垂足为
点
，与另一渐近线交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
18．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，以
为直径的圆与双曲线的一条渐
近线交于点
，若线段
交双曲线于点
，且
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
19．已知双曲线
，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，l 与C 的另一条渐近
线交于点B，若
，则C 的离心率为（ ）
6
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A．2
B．
C．
D．
20．过双曲线
的右焦点
作
轴的垂线，与双曲线
及其一条渐近线在第一象限
分别交于
两点，且
为坐标原点），则该双曲线的离心率是( )
A．2.
B．
C．
D．
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
21．已知双曲线
的左､右焦点分别为
，
，且以
为直径的圆与双曲线
的
渐近线在第四象限交点为
，
交双曲线左支于
，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．已知双曲线
的左､右焦点分别为
，左顶点为
为坐标原点，
以
为直径的圆与
的渐近线在第一象限交于点
.若
的内切圆半径为
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十一：渐近线平行线与面积问题
23．已知双曲线
的左、右焦点分别为
为坐标原点，过焦点
作双曲线
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的一条渐近线的平行线，与双曲线
的另一条渐近线相交于点
，直线
与双曲线
相交于点
，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．在平面直角坐标系
中，过双曲线
上一点
作两条渐近线的
平行线分别与两渐近线交于
，
两点．若
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．已知
，
分别为双曲线C：
的左，右焦点，过
作C 的两条渐近线的平行线，
与两条渐近线分别交于A，B 两点．若
，则C 的离心率为（ ）
A．3
B．
C．
D．
26．过双曲线
：
（
，
）右支上一点
作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于
点
，
，
为坐标原点，设
的面积为，若
，则双曲线
的离心率取值范围为 ．
（用区间作答）
重难点突破：数形结合转化长度角度题型89．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过原点的直线与
的左、右两支分别交于
、
两点，直线
交双曲线
于另一点
（
、
在
的两侧）.若
，且
，则双曲线
的离心率为 .
27．如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
是C 上位于第一象限内的一点，且直
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线
轴的正半轴交于A 点，
的内切圆在边
上的切点为N，若
，则双曲线C 的离心
率为 .
28．如图，已知双曲线
的左､右焦点分别为
，
，M 是C 上位于第一象限内的一点，且
直线
与y 轴的正半轴交于A 点，
的内切圆在边
上的切点为N，若
，则双曲线C 的
离心率为 .
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1．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·期末）已知椭圆
与双曲线
有公共焦点，
F 为右焦点，O 为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点P，且满足OP⊥FP，则椭圆的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·安徽六安·期末）已知双曲线
的右焦点为
为直线
上关于坐标原点对称的两点，
为双曲线的右顶点，若
，且
，则双曲
线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·北京西城·期末）若直线
与双曲线
没有公共点，则双曲线
的离心率满足（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·安徽黄山·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的
交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆
的焦点在
轴上，
为椭圆上任意两
点，动点
在直线
上.若
恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆
的离心率的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
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5．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的右
焦点为
，两渐近线分别为
，过
作的平行线与
交于点
，记
内切圆圆心为
．若
，
则
的离心率为（ ）
A．4
B．
C．2
D．
6．若直线
与椭圆
交于A，B 两点，点
满足
，则椭
圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·浙江杭州·期末）已知双曲线
的右焦点为
，一条渐近线被
以
为圆心，
为半径的圆截得的弦长为
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．√2
C．√3
D．2
8．（24-25 高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线C：
的左右焦点分别为
，
，
过
的直线与双曲线的右支交于A，B 两点，若
的周长为
，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模
型（称为“Dandelin 双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，
截面分别与球
，球
切于点
，
（
，
是截口椭圆
的焦点）.设图中球
，球
的半径分别为3
和1，球心距
，则（ ）
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A．椭圆
的中心在直线
上
B．
C．直线
与椭圆
所在平面所成的角为
D．椭圆
的离心率为
10．（多选题）（2024·浙江·二模）已知椭圆
左右两个焦点分别为
和
，动直线
经过椭圆左焦点
与椭圆交于
两点，且
的最大值为8，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．离心率
D．若
，则
11．（多选题）（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为
，玻璃杯高
为
（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，
表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶
内水面为椭圆形，阴影部分
为瓶内水的正视图．设
，则下列结论正确的是（ ）
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A．当
时，椭圆的离心率为
B．当椭圆的离心率最大时，
C．当椭圆的焦距为4 时，
D．当
时，椭圆的焦距为6
12．（2025·广东佛山·一模）直线过双曲线
的左焦点
，交
的渐近线于
两点．若
，且
，则
的离心率为 ．
13．（24-25 高三上·山东烟台·期末）已知
为椭圆
上关于原点
对称的两点
（异于顶点），点
在椭圆上且
，设直线
与
轴的交点为
，若
，则椭圆
离心率的值为 .
14．（2025·江西·一模）已知
为双曲线
的左焦点，
是
的右顶点，
是
上
一点，且
，
，则
的离心率为 .
15．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
的直线与
交于A，B 两点，
且
，以AB 为直径的圆过点
，设
的离心率为，则
.
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