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专题17 圆锥曲线离心率问题精妙解法
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................6
题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
6
题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
7
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题
9
题型四：椭圆与双曲线的4a 通径体
10
题型五：椭圆与双曲线的4a 直角体
12
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
13
题型七：双曲线的4a 底边等腰三角形
14
题型八：焦点到渐近线距离为b
16
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
17
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
18
题型十一：渐近线平行线与面积问题
20
重难点突破：数形结合转化长度角度
22
1
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关于椭圆或双曲线的离心率，以及与双曲线的渐近线相关的问题，通常以选择或填空题的形式出现，
其难度属于中等水平。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
离心率
掌握求解，理解
应用。
2024 年甲卷第5 题，5 分
2024 年I 卷第12 题，5 分
2023 年I 卷第5、16 题，10 分
2023 年甲卷第9 题，5 分
2022 年甲卷第10 题，5 分
2022 年浙江卷第16 题，4 分
2021 年甲卷第5 题，5 分
2021 年天津卷第8 题，5 分
离心率问题是高考
数学的必考内容，主要
考查圆锥曲线的概念和
几何性质。在二轮复习
中，应掌握其基本性质
和常规处理方法，特别
是要从挖掘椭圆和双曲
线的几何性质入手，以
应对考试中的相关问
题。
2
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3
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求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上的任意一点，
；
为双曲线
的左、右焦点，
为双曲线
上的任一点，
．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆上的动点，
若
，则椭圆离心率的取值范围为
．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
4
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1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平行于
轴的直线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为 ．
2．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为 ．
3．（2023 年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为
和
，离心率为
，则C 的方程为
．
4．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆
的离心率分别为
．
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆
的左顶点为A，点P，Q 均在C
上，且关于y 轴对称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为
，以C 的实轴为直径
5
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的圆记为D，过
作D 的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
【典例1-1】已知椭圆
上一点
，它关于原点的对称点为
，点
为椭圆右焦点，且
满足
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】已知椭圆C：
上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F 为椭圆的右焦
点，且
，
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
7
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椭圆：
e=
1
sinα+cosα =
1
√2sin(α+ π
4 )
，根据α 范围求解值域．
双曲线：
e=
1
cosα−sinα =
1
√2cos(α+ π
4 )
，根据α 范围求解值域．
【变式1-1】设
是双曲线
在第一象限内的点，
为其右焦点，点
关于原点
的
对称点为
，且
，
，则双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】双曲线
（
，
）左支上一点
关于原点的对称点为点
为其右焦点，若
，设
，且
，则离心率e 的可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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1．已知双曲线
右支上非顶点的一点A 关于原点的对称点为
为双曲线的右焦点，
若
，设
，且
，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
【典例2-1】已知点
分别是椭圆
的左、右焦点，点
是椭圆上的一个动点，
若使得满足
是直角三角形的动点
恰好有6 个，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】已知
为椭圆
上一动点，
、
分别为该椭圆的左、右焦点，
为短轴
一端点，如果
长度的最大值为
，则使
为直角三角形的点
共有（ ）个
A．8 个
B．4 个或6 个
C．6 个或8 个
D．4 个或8 个
是椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
的焦点，点
在椭圆上，∠F1PF 2=θ，则cosθ≥1−2e2（当且仅当
动点为短轴端点时取等号）．
【变式2-1】已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆上存在点
，使得
9
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，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知椭圆
的方程为
为其左、右焦点，为离心率，
为椭圆上一
动点，有如下说法：
①当
时，使
为直角三角形的点
有且只有4 个；
②当
时，使
为直角三角形的点
有且只有6 个；
③当
时，使
为直角三角形的点
有且只有8 个；
以上说法中正确的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
1．已知
为椭圆
上一点，
分别是椭圆的左、右焦点.若使
为直角三角形的
点
有且只有4 个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题
【典例3-1】已知椭圆
与双曲线
共焦点，
分别为
10
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左、右焦点，点
为
与
的一个交点，且
，设
与
的离心率分别为
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3-2】已知以
为焦点的椭圆
与双曲线
共焦点，一动点
在直线
上运动，双曲线
与椭圆
在一象限的交点为
，当
与
相等时，
取得最大值，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
sin2 α
2
e
椭2
+
cos2 α
2
e
双2
=1
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【变式3-1】已知椭圆
：
（
）与双曲线
：
（
）共焦点
，
，过
引直线与双曲线左、右两支分别交于点
，
，过
作
，垂足为
，且
（
为
坐标原点），若
，则
与
的离心率之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点
，
，它们的交点为
，且
.若椭圆的离心率为
，则双
曲线的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
1．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，椭圆
的上顶点为M，
且
．双曲线
和椭圆
有相同焦点，且双曲线
的离心率为
，P 为曲线
与
的一个公
共点，若
，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
题型四：椭圆与双曲线的4a 通径体
【典例4-1】设双曲线
的左、右焦点分别是
、
，过
的直线交双曲线
的左
支于
、
两点，若
，且
，则双曲线
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4-2】已知双曲线
的左、右焦点分别是
、
，
是双曲线
右支上的
一点，
交双曲线
的左支于点
，若
，则
的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
椭圆与双曲线的4a 通径体
如图，若
，易知
，若
，则一定有
，根据
可得
，即
【变式4-1】若椭圆
（
）的离心率与双曲线
（
，
）的离心
率之积为1，
，
分别是双曲线E 的左、右焦点，M，N 是双曲线E 的左支上两点，且
，
，
，A，F 分别是椭圆C 的左顶点与左焦点，
，则椭圆C 的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过点
的直线交椭圆C 于
M，N 两点.若
，且
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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1．设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过原点
的直线交椭圆于
，
两点，
若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：椭圆与双曲线的4a 直角体
【典例5-1】已知椭圆
的左､右焦点分别为
、
，过
作直线与椭圆相交于
、
两点，
，且
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5-2】设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过
的直线交椭圆于A，B 两点，
且
，
，则椭圆E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
14
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如左图，若AF 2⊥AB ，AB 过原点，且⃗AF 1=λ⃗F1B ，∠AF 1F2=α ，则
ecosα=|λ−1|
λ+1 可得离心率．
如右图，若BF 2⊥AC ，AB 过原点，且⃗AF 2=λ⃗F2C(0<λ<1)，通过补全矩形，可得AF 1⊥AC ，
|AF 2|= λ+1
2 ⋅b2
a ，借助公式
ecosα=|λ−1|
λ+1 可得离心率．
【变式5-1】设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过
的直线交椭圆于
，
两点，
且
，
，则椭圆
的离心率为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】设
分别是椭圆
的左、右焦点，过点
的直线交椭圆
于
两点，若
，且
，则椭圆
的离心率是
A．
B．
C．
D．
1．设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过点
的直线交椭圆
于
，
两点，
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典例6-1】椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线l 交椭圆C 于A，B
两点，若
，
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例6-2】已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若
，
，则C 的方程为
A．
B．
C．
D．
同角余弦定理使用两次
【变式6-1】已知椭圆
的焦点为
，
，过
的直线与
交于
，
两点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】已知双曲线C 的焦点为
，过
的直线与双曲线C 的左支交于A，B 两点，若
16
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，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知双曲线
左右焦点为
，
，过
的直线与双曲线的右支交于P，Q 两点，
且
，若
为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：双曲线的4a 底边等腰三角形
【典例7-1】设
为双曲线C：
的右焦点，直线l：
（其中c 为双曲线C
的半焦距）与双曲线C 的左、右两支分别交于M，N 两点，若
，则双曲线C 的离心率
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7-2】设
为双曲线
：
（
，
）的右焦点，直线：
（其中为双
曲线
的半焦距）与双曲线
的左、右两支分别交于
，
两点，若
，则双曲线
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的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
当
或者
时，令
,则一定存在①
，②
【变式7-1】设双曲线
的左､右焦点分别为
，过点
作斜率为
的直线与
双曲线
的左､右两支分别交于
两点，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
1．设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过点
作斜率为
的直线与双曲线
的左、右两支分别交于
，
两点，且
在线段
的垂直平分线上，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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题型八：焦点到渐近线距离为b
【典例8-1】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作双曲线
的一条渐近
线的垂线，垂足为
，直线与双曲线
的左支交于
点 ，且
恰为线段
的中点，则双曲线
的离
心率为 （ ）
A．
B．
C．2
D．
【典例8-2】已知双曲线C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为
，
，过C 的右支上一点P
作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H，若
的最小值为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线
，
，过右焦点作
，
，
由于渐近线方程为
，故
，且斜边
，故
，故
，
.
【变式8-1】已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作直线，使得它双
曲线的一条渐近线垂直且垂足为点
，与双曲线的右支交于点
，若线段
的垂直平分线恰好过
的右
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焦点
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与双曲线的一
条渐近线交于点
（异于坐标原点
），若线段
交双曲线于点
，且
则该双曲线的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知
、
分别是双曲线
的左、右焦点，过
作双曲线
的一条渐近线的垂
线，分别交两条渐近线于点
、
，过点
作
轴的垂线，垂足恰为
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
【典例9-1】已知双曲线
：
的一个焦点为
，过
作双曲线
的一条渐近线的垂
线，垂足为
.若
(
为坐标原点)的面积等于
( 为双曲线
的半焦距)，则双曲线
的离心率为
（ ）
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A．
B．
C．2
D．
【典例9-2】已知双曲线
的左焦点为
，过点
的直线与两条渐近线的交点分别
为
两点(点
位于点M 与点N 之间)，且
，又过点
作
于P(点O 为坐标原点)，
且
，则双曲线E 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
利用几何法转化
【变式9-1】过双曲线
的焦点
作其渐近线的垂线，垂足为
，直线
交双曲线的另一条渐近
线于
点，
为坐标原点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】过双曲线C：
(a>0，b>0)的右焦点F 引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于
第二象限，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）
A．(
，+∞)
B．(
，+∞)
C．(2，+∞)
D．(3，+∞)
1．已知双曲线
，过右焦点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为点
，与
的
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另一条渐近线交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
【典例10-1】设
，
是双曲线
：
的左、右焦点，以线段
为直径的圆与直线
在第一象限交于点
，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【典例10-2】已知
，
分别为双曲线
：
的左，右焦点，以
为直径的圆与
双曲线
的右支在第一象限交于
点，直线
与双曲线
的右支交于
点，点
恰好为线段
的三等
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分点(靠近点
)，则双曲线
的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
以F1F2为直径作圆，交一条渐近线
y=b
a x
于点B ，BF 1交另一条渐近线于点A ，则令∠BOF 2=α ,则
∠BF 1F2=α
2 ，e=√1+tan2α
【变式10-1】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与
的一条渐近线在第一象限交点为
，直线
与另一条渐近线交于点
．若点
是线段
中点，则双曲
线
的离心率是（ ）
A．
B．2
C．
D．3
1．已知双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C 在第
一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
题型十一：渐近线平行线与面积问题
【典例11-1】已知
，
分别为双曲线C：
的左、右焦点，过
作C 的两条渐近线
的平行线，与渐近线交于M，N 两点．若
，则C 的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【典例11-2】已知
分别为双曲线
的左、右焦点，过
作
的渐近线的平行
线，与渐近线在第一象限交于
点，此时
，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
①双曲线C：
上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
a2b2
c2
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②双曲线C：
上的任意点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交于A ，B 两点，则
|PA||PB|是一个常数
c2
4 ，
SAOBP =ab
2 ，⃗
OA⋅⃗OB = a2−b2
4
【变式11-1】已知双曲线
上一点
坐标为
为双曲线
的右焦点，
且
垂直于
轴.过点
分别作双曲线
的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，
则该双曲线的离心率是 .
【变式11-2】已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，过
作
的两条渐近线
的平行线分别交两条渐近线于
、
两点.若
为等腰直角三角形，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是双曲线
上的任意一点，过点
作
双曲线
的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于
，
两点，若四边形
（
为坐标原点）
的面积为
，且
，则点
的纵坐标的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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重难点突破：数形结合转化长度角度
【典例12-1】已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
是
左支上一点，
，若存在点
满足
，则
的离心率为 .
【典例12-2】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点P 是C 的右支上一点，
连接
与y 轴交于点M，若
（O 为坐标原点），
，则双曲线C 的离心率为
数形结合
【变式12-1】已知双曲线
的左､右焦点分别为
，点
在
的左支上，
，
，延长
交
的右支于点
，点
为双曲线上任意一点（异于
两点），
则直线
与
的斜率之积
.
【变式12-2】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
上，且
，射线
分别交
于
两点（
为坐标原点），若
，则
的离心率为
．
1．已知双曲线
：
的左右焦点分别为
，
，
为坐标原点，
，
为
上位于
轴上方的两
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点，且
，
．记
，
交点为
，过点
作
，交
轴于点
．若
，则双曲线
的离心率是 ．
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