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专题 02 利用导数研究曲线的切线问题
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 求曲线切线的斜率
1. 导数几何意义：函数 在 处的切线斜率 ；
2. 求导步骤：先对函数求导 ，再将切点横坐标代入导函数，计算结果即为斜率；
3. 复合/四则/指对函数严格遵循求导法则；
4. 易错提醒：只有在函数图像上的点，导数值才是该点切线斜率。
1．（四川自贡市2025-2026学年高三学期期末考试数学试题）函数 在 处切线的斜率为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率.
【详解】 ， ，根据导数的几何意义可得 在 处切线的斜率为 .
2．（2026高三·福建泉州·阶段检测）曲线 在 处的切线的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据复合函数求导的法则，求得 ，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数 ，得 ，
所以 ，即曲线 在 处的切线的斜率为 .
3．（2026高三·重庆·阶段检测）曲线 在 处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
所以曲线 在 处的切线的斜率为 .
4．（2026高三·上海·期末）函数 在 处的切线斜率为________.
【答案】 /
【详解】 ，当 时， ，
所以函数 在 处的切线斜率为 .5．（2026高三·上海松江·期中）曲线 在点 处的切线斜率为_______．
【答案】
【分析】根据题意，求得 ，得到 的值，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为 .
题型02 求切线倾斜角
1. 先求切点处导数得到切线斜率 ；
2. 设倾斜角 ，满足 ；
3. 分类求解：
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
4. 取值范围题型：先求导函数值域，再结合正切函数图像确定 范围。
6．（2026高三·广西南宁·期中）曲线 在 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，所以曲线 在 处的切线的斜率为 ，所以其倾斜角为 .
7．（2026·福建福州·模拟预测）曲线 在 处的切线的倾斜角为__________．
【答案】
/
【分析】先求函数在 处的导数值得到切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角.
【详解】设 ，函数定义域为 ，
得到 ，所以 ，即曲线在 处的切线斜率为 .
设切线的倾斜角为 ，其中 ，由斜率定义可知 ，解得 .
8．（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知函数 ，则曲线 在 处的切线的
倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，令 ，则 ，解得 ，
则曲线 在 处的切线的倾斜角为 .
9．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数 ，则曲线 在点 处的切线
的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导后代入 求得切线的斜率，进而可求得切线的倾斜角.
【详解】由题意得 ，则 ，即 在点 处的切线的斜率为 ，
设该处切线的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 .
10．（2026高三·安徽阜阳·阶段检测）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，曲线 在
处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求出倾斜角 ，进而求出结果.
【详解】 ，所以曲线 在 处的切线的斜率为0，故倾斜角 .
，所以曲线 在 处的切线的斜率 ，
可得切线倾斜角 ，所以 .
11．（2026·福建·模拟预测）若曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先求复合函数的导数，再应用倾斜角得出斜率，计算求参即可.
【详解】因为曲线 ，所以 ，
，
在 处的切线的倾斜角为 ，则则 .
12．【多选】（2026高三·河北石家庄·期中）若点 在曲线 上，且曲线在点 处的切线的倾斜
角为 ，则 可以取（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】设 ，则 ，
所以在点 处的切线斜率 ，
则 ，又 ，所以得 ，
对照选项，只有选项AC符合题意．
13．（2026高三·河北保定·期中）若 是曲线 上任意一点，则曲线 在点 处的切线倾斜
角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，求得 ，即可得到答案.
【详解】已知曲线 ，求导得 ，
设曲线在点 处的切线倾斜角为 ，其中 ，
根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率 ，
因此 ，由于 ，得 ，解得 ，
因此 的最小值为 ，故B正确.
14．（2026高三·北京·期中）点 在曲线 上，设曲线在点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
所以 ，且 ，
根据图象得 ．
题型03 曲线在某点处的切线问题
1. 判定：点 在曲线上；
2. 两步求解：
①求导代入 得斜率 ；
②点斜式写切线： ，整理为一般式；
3. 分段/奇偶函数：先求出该点对应区间解析式再求导；
4. 检验：切线方程代入原切点，等式成立才算正确。
15．（2026高三·湖北十堰·期末）曲线 在点 处的切线方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由导数的几何意义可得切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得解.
【详解】由 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，而 ，
因此切线方程为 .
16．（江西上饶市2025-2026学年高三学期7月期末数学试题）曲线 在 处的切线方程为
_____．
【答案】
【详解】将 代入曲线方程 ，得 ，因此切点为 ，
求导 ，将 代入导数得切线斜率k= y′ ∣ =1−2=−1，
x=1
所以切线方程 ，整理得 .
17．（2026高三·广西崇左·期末）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对函数求导，得到 处的导数值即切线斜率；再结合切点坐标用点斜式写出切线方程即可.
【详解】由 可得： .
则曲线 在点 处的切线斜率 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，整理得 .
18．（福建宁德市2025-2026学年高三学期期末考试数学试题）定义在 上的奇函数 满足当 时，， 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数为奇函数求得当 时， ，再利用导数求切线方程.
【详解】若 ，则 ，则 ，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
对其求导得 ，则 ，又因 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
题型04 已知曲线和切线斜率求切点坐标
1. 设切点横坐标 ，求导得 （已知斜率）；
2. 解方程求出 ，再代入原函数求出纵坐标 ；
3. 多解情况：每个 对应一个切点；
4. 限制条件：切点必须在函数定义域内，舍去无意义解。
19．（2026高三·全国·课堂例题）曲线 上切线平行或重合于x轴的切点坐标是________．
【答案】
【分析】由导数的几何意义列出等式即可求解.
【详解】因为 ，
若切线平行或重合于x轴，则切线斜率 ，
即 ，得 ，即切点为 ．故答案为：
20．（2026高三·北京·期中）曲线 的一条切线斜率为0，则该切线的切点坐标为________．
【答案】
【分析】利用乘积导数，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】求导得 ，由曲线 的一条切线斜率为0，则 ，
又当 时， ，
故该切线的切点坐标为 ，
故答案为：
21．（2026高三·湖北·期末）若直线 是函数 图象的切线，则其切点坐标为
________.
【答案】
【分析】设所求切点为 ，可得 ,解方程即可求解.
【详解】设所求切点为 ，由于 ,
所以 ，解得：
则其切点坐标为
22．（2026高三·北京·阶段检测）直线 是曲线 的一条切线，切点坐标为______，实
数 ______．【答案】 0
【分析】根据切线的斜率为 ，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系
数求得 的值.
【详解】直线 是曲线 的一条切线，
设切点坐标为 ,因为 ，
，则 ，所以切点为 ，
故切线为 ，
即 ，故 .
故答案为： ；0.
23．（2026高三·吉林长春·期中）已知偶函数 ，若曲线 的一条切线斜率为2，则切
点的横坐标为________.
【答案】
【分析】先根据偶函数的性质求出 的值，进而得到函数 的表达式，再对 求导，最后根据导数
的几何意义求出切点的横坐标即可.
【详解】 为偶函数 ，
则 ， ，
，
恒成立， ，
，设切点横坐标 ，则： ，
令 ：则 ，即 ，
，
，
∴ ，即 ，
即切点横坐标为 .
24．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）过点 作曲线 的切线，则切点坐标为______.
【答案】 /
【分析】设出切点坐标，利用导数来求得正确答案.
【详解】由 ，得 ， ，化简得 ， ，
则 ，设切点为 ，显然 不在曲线上，
则 ，解得 ，则切点坐标为 .
故答案为：
题型05 已知切点和切线斜率求参数
1. 切点双重条件：
①切点在曲线上：将 代入 成立；
②切点导数等于切线斜率： ；
2. 联立两个等式，构造方程组求解参数；3. 多参数逐一解出，最后回代检验是否符合题意。
25．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数 的图象在 处的切线过点 ，则
_____________．
【答案】
【详解】 ，当 时 ，切点坐标为 ，
求导得 ，则 ，
切线方程为： ，即 ，
代入点 得， ，解得 ．
26．（重庆市2025-2026学年高三学期期末考试数学试卷）若函数 在点 处
的切线方程为 ，则实数 的值为______.
【答案】 /
【分析】求导，根据题意可得 ， ，列方程求解即可.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，
由题意可得： ， ，
由 可得 ，即 ，
把 代入 可得 ，
且 ，可得 ，解得 ，
所以 .27．（2026高三·全国·一轮复习）设函数 ，曲线 在 处的切线方程为
，则 的值为______．
【答案】2e
【分析】根据导数的几何意义，由切线方程列出方程组求解即可．
【详解】因为函数 ，所以 ，
曲线 在 处的切线方程为 ，
所以有 ，即 ，解得 ，
所以 ．
题型06 过某点的曲线的切线问题
1. 区分两种情况：点在曲线上、点不在曲线上；
2. 通用解法（无论点是否在曲线）：
①设切点 ；
②切线斜率 ，写出切线方程 ；
③将已知定点 代入切线方程，解关于 的方程；
④每个有效 对应一条切线；
3. 易错：定点在曲线上也不能直接默认 ，必须解方程验证。
28．（2026高三·四川成都·期中）函数 过 的切线方程为_______________．
【答案】 或
【分析】分点 是切点和点 不是切点两种情况讨论，再分别求出这两种情况时的切线的斜率即可求出对应的切线方程．
【详解】由 ，
又 ，则点 在函数 的图象上，
又 ，
当 是切点时，切线的斜率为 ，
此时函数 的切线为 ，即 ；
当 不是切点时，设切点为 ， ，
则切线的斜率为 ，
整理得 ，解得 ，或 （舍去），
则切线的斜率 ，
此时函数 的切线为 ，即 ．
综上，切线方程为 或 ．
29．（2026·福建福州·模拟预测）曲线 过点 的两条切线的方程为________，________.
【答案】
【分析】分 和 ，设切点，得出 。结合点斜式求出 的切线方程.
【详解】当 时， ，
设切点为 ，所以切线斜率为 ，所以 ，
所以切点为 ，即得切线方程为 ，所以切线方程为 ，当 时， ，
设切点为 ，所以切线斜率为 ，所以 ，
所以切点为 ，即得切线方程为 ，所以切线方程为 ；
30．（2026高三·北京顺义·阶段检测）已知函数 ，则过原点且与函数图象相切的直线方程为
__________．
【答案】
【分析】设切点 ，由导数的几何意义求得切线斜率，结合切线经过原点求得 ，即得切线方程.
【详解】由 求导得 ，
设过原点的直线与该段图象相切于点 ，则 ，
解得 ，故切线方程为 ，即 .
31．（2026高三·广东惠州·期中）过点 作函数 图像的切线，则切线方程为__________.
【答案】
【分析】设切点坐标，根据导数值等于两点连线斜率求出切点坐标，得到切线方程.
【详解】设切点坐标为 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .32．（2026高三·天津·阶段检测）已知函数 ，则过点 且与曲线 相切的直线方
程为______
【答案】 和
【分析】设切点，写出切线方程，将点 代入切线方程，即可求出切点，则可得答案.
【详解】设切点 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以切线方程为： ，
将点 代入得： ，
化简得： 即：
解得： 或
当 时，切线方程为： ，化简得： ，
当 时，切线方程为： ，化简得： .
所以过点 且与曲线 相切的直线方程为 和 .
题型07 过点切线条数问题
1. 按上面方法构造关于切点横坐标 的方程；
2. 方程实数根的个数=切线条数；
3. 三次型方程：结合导数、零点存在定理判断根的个数；
4. 三角函数型：结合周期性、值域判断解的数量。33．（2026高三·全国·一轮复习）函数 过点 的切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】讨论当点 为切点时与当点 不是切点时，利用导数的几何意义即可求解．
【详解】由函数 ，则 ，
当点 为切点时，则 ，即切线的斜率 ，
所以切线的方程为 ，
当点 不是切点时，设切点 ，则 ，
即 ，即 ，
解得 或 （舍去），所以
所以切线的方程为 ，即 ．
综上，函数 过点 的切线条数为2条.
故选：B
34．（2026高三·山东青岛·期中）过点 作曲线 的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设切点坐标，由斜率构造等式求解即可.
【详解】由题意设切点坐标 ，
，
切线斜率： ， ，化简可得： ，
解得： 或 ，
所以满足条件的切点有两个，对应切线有2条，
故选：C
35．（2026高三·重庆·期中）已知函数 ，过原点作函数 的切线，则可作的切线
条数为（ ）
A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B
【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过原点的切线方程即可.
【详解】设过原点作函数 的切线的切点为 ，
而 ，则 ，
因此切线方程为 ，
由切线过原点 ，得 ，
则 或 ，当 时，切线方程为 ；
由 ，得 或 ，
当 时，切线方程为 ；
当 时，切线方程为 ，
所以过原点可作函数 图象的切线条数为3.
36．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点 可作曲线 的切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】C
【分析】先求出切线方程，再将 代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），
即可求出切线，确定切线条数.
【详解】由题意 ，
设切点为 ，
所以切线方程为 ，
再将 代入切线方程，
所以
，
当 时，满足条件，
当 时， ，
解得 ，
最后将切点代入 ，求出切线斜率
当 时， ，所以切线为 ，
当 ，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论，
当 ， ，此时切线为 ，
当 ， ，此时切线为 ，
所以切线条数为 条.
37．（2026高三·江苏苏州·开学考试）过点 作曲线 的切线，则切线条数最多为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点为 ，根据条件，利用导数的几何意义，得到 ，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到 在区间 上单调递增，
利用零点存在性原理，可得 只有一解，即可求解.
【详解】设切点为 ，则 ，
又 ，所以切线斜率为 ，
又切线过点 ，所以 ，整理并化简得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
易知 时， ， 时， ，
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上单调递增，又 ， ，
所以存在唯一 ，使 ，所以切线只有一条，
故选：B.
题型08 根据切线条数求参数1. 设切点，代入定点得到关于 的方程 ；
2. 切线条数等价于 实数根个数；
3. 构造函数 ，求导分析单调性、极值；
4. 根据极值正负、极限图像，列不等式求出参数范围。
38．（2026·重庆万州·模拟预测）过点 有两条直线与 的图象相切，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设切点为 ， ，切线斜率 .
切线方程： ，即 .
切线过 ，代入得： ， 整理得： .
由 分离参数，得 .
令 ，原题等价于 与 的图象有两个交点.
求导： ，令 ，得 .
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
故 ，
当 时， ，当 时， ，作出 的大致图象：
由此可知要使得 与 的图象有两个交点.，需满足
综上所述 时，原方程有两个零点.
39．（2026高三·吉林长春·阶段检测）已知 ，若曲线 存在两条过点 的切线，则
a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设过点 的直线与 相切于点 ，利用导数的几何意义，求出切线方程，代
入点 ，根据关于 的一元二次方程有两个不同解，利用 求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
设过点 的直线与 相切于点 ，
则切线方程为 ，
代入 ，得 ，
整理得 ，
因为有两条这样的切线，
所以此方程有两个不同解，
所以 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
40．（2026高三·山东济宁·期中）若过点 可以作函数 的三条不同的切线，则t的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义可得 ，令 ，题意等价于
与 有3个交点，利用导数结合函数图象即可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
设切点坐标为 ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，
代入点 可得 ，即 ，
令 ，原题意等价于 与 有3个交点，
因为 的定义域为 ，且 ，令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 的极小值为 ，极大值为 ，
当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
可得 ，所以t的取值范围是 .
41．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知曲线 有两条过点 的切线，则实数t的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点 ，求出切线方程，将点 代入切线方程，得到关于 的一元二次方程；曲线
有两条过点 的切线等价于方程有2个不等实根，得到 ，解不等式即可.
【详解】 .
设切点坐标为 ，其中 .
在切点 处的切线斜率为 ，则切线方程可表示为 .
又切线过点 ，则 ，
因为 ，所以 ，整理得 .
因为曲线有两条过点 的切线，等价于关于 的方程有2个不等实根，即 ，
而 ，所以 ，
解得 或 .
故实数t的取值范围是 .
42．（2026高三·江苏无锡·期中）过点 的曲线 的切线有2条，则 的取值范围为
________．
【答案】
【详解】
设切点为 ,切线斜率
切线方程：
过 ：
化简可得 即
切线有 条 方程有 个不等实根,即
即 或 即 或
故
43．（2026·安徽安庆·模拟预测）过曲线 ： 外一点 作 的切线，恰好可作两条，
则（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点 ，整理得 ，令
，利用导数确定函数 的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可.
【详解】设切点为 ，
据题意：这样的切点有两个，
即关于 的方程有且仅有两根.
因为 ，
所以切线方程为 ，
即 为过切点 的切线，
又 在此切线上，
所以 ，
即 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
所以 ，则 或 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数的极大值为 ，极小值为 ，
当 趋于 时， 趋于 ，当 趋于 时， 趋于 ，作出函数 的图象，如图所示：
又 不在曲线C上，所以 ，
由 的图象可知 .
题型09 切线平行、垂直问题
1. 平行条件：两条切线斜率相等 ；
2. 垂直条件：两条切线斜率乘积 （一条水平一条竖直除外）；
3. 直线与切线平行/垂直：先写出已知直线斜率，再令 满足等量关系解方程；
4. 两条不同曲线切线平行：分别求导，令导数相等求解横坐标/参数。
44．（2026高三·江西·期中）设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则
实数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数求解 ，由两直线平行斜率相等即可求解.【详解】由 得 ，故 ，
由于点 处的切线与直线 平行，且直线 的斜率为 ，所以
，
故选：C
45．（2026高三·宁夏银川·阶段检测）函数 在 处的切线与直线 平行，则实
数 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于 的方程，可求
出 的值.
【详解】函数 的导函数为 ，
函数在 处的切线的导数即为切线的斜率为 ，
且切线与直线 平行，
则有 ，可得 .
故选：B
46．（2026高三·广东揭阳·期中）已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切
线平行，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出两函数的导函数，再根据题意得两函数的导函数在 处的导数值相等即可求得a.
【详解】解：由 ，得 ，所以该曲线在点 处的切线斜率为 .
由 ，得 ，所以该曲线在点 处的切线斜率为 .因为两切线平行，
所以 .
故选：D.
47．（2026高三·广东广州·期中）已知函数 的图象在点 处的切线与直线
垂直，则实数m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解.
【详解】函数 ，求导得 ，则 ，
由函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，得 ，
即 ，所以 .
48．（2026高三·山东青岛·阶段检测）已知函数 的图像在点 处的切线与直线
垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先根据求导公式求出函数 的导数，进而得到函数在点 处切线的斜率，再根据两直线
垂直斜率之积为 求出实数 的值.
【详解】对 求导可得： .
可得切线的斜率 .
将直线 转化为斜截式 ，可知直线斜率 .
因为函数 的图像在点 处的切线与直线 垂直，根据两直线垂直斜率之积为 ，可得 ，即 .
可得： ，
故 ，即实数 的值为 .
故选：C.
49．（2026高三·全国·寒假作业）若函数 的图象上一点点 处的切线与直线
垂直，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】根据导数求出切线斜率，再由直线的位置关系得出切线斜率，列方程求解即可.
【详解】 ，所以 ， 即 ，
又在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，所以 ，
则 ．
故选：C
题型10 与切线相关的最值问题
1. 曲线上点到定直线距离最值：
①距离最小/最大的点处切线与定直线平行；
②令 直线斜率，解出切点再用距离公式计算；
2. 公切线斜率/截距最值：设两切点，联立公切线条件，构造单变量函数求导求最值；
3. 切线相关线段、面积最值：写出切线表达式，转化函数求极值。50．（2026高三·山西·期末）已知点P是曲线 上一点，若点P到直线 的距离最
小，则点P的坐标为___________.
【答案】
【分析】求出平行于直线 且与曲线 相切的切点坐标，此时曲线上的点P到直线
的距离最小.
【详解】解：由题意知，曲线 ， ，令 ，得
（舍），所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，如下图所示，为曲线 与直
线 在坐标系中的位置.
在点P的切线与直线 平行时，此时曲线上的点P到直线 的距离最小.设
，则 ，则 ，解得 （ 舍去），所以 .
故答案为：
51．（2026高三·山东临沂·阶段检测）已知 为曲线 上的一动点， 为直线 上的一动点，
则当 的坐标为________时， 最小，此时最小值为________．【答案】
【分析】通过图像可知当直线 与曲线 相切且与直线 平行时，切点到直线 的距离即
为 的最小值，利用导数几何意义可构造方程求得 ，利用点到直线距离公式求得 最小值.
【详解】如图所示，当直线 与曲线 相切且与直线 平行时，切点到直线 的距离即为
的最小值．
令 ，解得： ， ， .
故答案为： ； .
题型11 求公切线方程
1. 设曲线 切点 ，曲线 切点 ；
2. 分别写出两条切线：
， ；
3. 同一条直线满足两个条件：斜率相等、截距相等；
4. 解方程组得到 ，代回写出切线方程。52．（2026高三·江苏苏州·期中）曲线 与曲线 的公切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先分别求出两条曲线的导数，再设出切点，写出切线方程，最后根据公切线的条件求解.
【详解】 的定义域为 ，则 .
的定义域为 ，则 .
设与 相切的切点为 ，切线方程为 ，即 .
设与 相切的切点为 ，切线方程为 ，
即 .
由题意知， ，由 ，得 ，
代入另一个方程解得 ，则 .
代入 中，得 ，即 .
53．（2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线 和 都相切，则直线l的方程为_________．
【答案】
【详解】设 ，与曲线 联立，得 ，由 ，得 ．
直线l与曲线 联立，得 ，显然 ，由 ，得 ．所以 ，
化简得 ，又 ，所以 ，从而 ．
所以直线l的方程为 ，即 ．
54．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线 和 有两条公切线，其中一条为直
线 ，则另外一条公切线的方程为________．
【答案】
【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为 ，结合导数的几何意义求出 ，设出另一条切线的两
条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可.
【详解】对 ，求导得 ，
设切点为 ，切线斜率 ，解得 ，则切点为 ，切线方程为 ，满足条件.
对 ，求导得 .
设切点为 ，则切线斜率为 ，所以 ，故切点坐标为 ，
代入切线 中得， ，则 .
设另一条公切线与 相切于 ，则切线方程为 ，
即 .
设该公切线与 相切于 ，则切线方程为 ，
即 .所以 ，解得 或 .
当 时，对应切线方程为 ，即已知切线方程；
当 时，对应切线方程为 .
故另外一条公切线的方程为 .
55．（2026高三·重庆沙坪坝·阶段检测）若直线 与曲线 和 均相
切，则直线 的方程为_______.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】设 ， 上的切点分别为 ， ，
由 ， ，可得 ，
故 在 处的切线方程为 ，
在 处的切线方程为 ，
由已知 ,
所以 ，
故 或 ，而 ，不合题意舍去，故 ，此时直线
的方程为 .
故答案为： .56．（2026高三·四川成都·期中）若直线 与曲线 相切于点P，与曲线 相切
于点Q，则 __________．
【答案】
【分析】对两个曲线函数求导，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程，进而计算即可.
【详解】对曲线函数 求导得 ，对曲线函数 求导得 ，
设切点 ， ，
因为直线 与曲线 相切于点P，所以 .
因为直线 与曲线 相切于点Q，所以 .
所以 ，得到 ，
化简得 ，解得 ，所以 .
题型12 判断公切线条数
1. 按公切线条件建立关于 （或 ）的单变量方程；
2. 构造辅助函数，求导分析单调区间、极大极小值；
3. 结合函数两端极限，判断函数与 轴交点个数，交点数=公切线条数。57．（2026高三·山东菏泽·阶段检测）若直线 与曲线 和 都相切，则直线 的条数有（ ）
A． B． C． D．无数条
【答案】C
【分析】先设出所求直线l，再通过设出的直线斜率得到切点，运用切点和斜率构造方程，再通过构造新
的函数求解方程解的情况
【详解】设直线 因为直线 与曲线 和 都相切
所以对于曲线 ， ， ，切点
对于曲线 ， ， ，切点
因为公切线过A、B两点
所以
进而可得
令
因为 ， 均为增函数，又因为 ，
所以存在 使得 即
所以 在 时单调递减，在 单调递增，
又因为
所以
当 时，因为 ，所以 所以在 内存在 使得直线 与曲线 和 都相切
当 时，
因为 ，所以 所以在 内存在 使得直线 与曲线 和 都相切
所以综上所述，存在两条斜率分别为 的两条直线 与曲线 和 都相切
故选：C
【点睛】①本题运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来
②通过构造新的函数求解所得到的跟直线斜率有关的方程
③通过零点存在性定理最后得到函数是否存在零点，即方程解的情况
58．（2026高三·山东枣庄·期中）已知 （ 为自然对数的底数）， ，则 与
的公切线条数（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【分析】设直线l是 与 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，
求出参数即可得到答案.
【详解】根据题意，设直线l与 相切于点 ，与 相切于点 ，
对于 ， ，则
则直线l的方程为 ，即 ，
对于 ， ，则
则直线l的方程为 ，即 ，
直线l是 与 的公切线，则 ，可得 ，即 或
则切线方程为： 或 ,切线有两条.
故选：C
59．（2026·河北沧州·模拟预测）已知直线 与曲线 和曲线 均相切，则实数
的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】C
【分析】由题意可求得直线 与曲线 和曲线 分别切于点 ，
，则 ，化简后得 ，然后将问题转化为方程
解的个数，构造函数 ，利用导数和零点存在性定理可求
得其零点的个数，从而可得答案.
【详解】根据题意可知，直线 与曲线 和曲线 都相切，
所以对于曲线 ，则 ，所以 ，
所以切点 ，
对于曲线 ，则 ，所以 ，
切点 ，易知A,B不重合，
因为公切线过 两点，所以 ，
进而可得 ，
令 ，则 ，令 ，则
所以 在 单调递增，
因为 ，
所以存在 使得 ，即 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
故 .
又因为 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，
所以在 内存在 ，使得 ，
当 时， ，
因为 ， ，
所以在 内存在 ，使得 ，
综上所述，存在两条斜率分别为 ， 的直线与曲线 和曲线 都相切，
故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，
解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程 解的个数问题，然后构造函数，
利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
60．（2026高三·江苏·阶段检测）若直线 与曲线 和曲线 都相切，则直线 的条数
有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数条
【答案】B
【详解】如图所示，
设直线 与曲线 的切点为 ，由图可得 ，
与曲线 的切点为 ，直线 的斜率 ；
所以， ，即在点 处的斜率为 ，
，即在点 处的斜率为 ，
得 ，
所以 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 在 上均单调递增，
，由 ,
且 在 上均单调递减，所以 在 上均单调递减，
又 , ,所以方程 有一解，
, ,所以方程
有一解；
所以，直线 即为异于直线 的第二条曲线的公切线；
综上可知，直线 的条数有2条.
故选：B.
题型13 由公切线求参
1. 两曲线存在公切线，设双切点，联立斜率、截距方程组；
2. 消去切点变量，得到含参数等式；
3. 方程有解为前提，解方程直接求出参数值。
61．（2026高三·云南文山·阶段检测）已知函数 与 的图象在 处的切线
重合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意，两函数在 处的切线斜率相等，即导数相等，结合均过公共点求解
【详解】由题意知， ，且 ，因为 ， ，
所以 ， ，解得 ，
当 时，代入 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 .
62．（2026·河北张家口·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，
则 ________．
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义先求得 的切线方程，再设出该切线与 的切点，再利
用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解．
【详解】由 ，则 ，
所以曲线 在点 处的斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
设直线 与曲线 相切的切点为 ，且 ，
则 ，解得 ．
63．（2026高三·湖北·阶段检测）若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则
__________．
【答案】
【分析】先求出曲线 在 处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数 .
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时，导数值 ，即切线斜率为 ；
由点斜式得切线方程为 ，整理为 ，
设直线 与 相切于点 ，
对 ，求导得 ，
由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得 ，
因此切点坐标为 ，又切点在切线 上，
代入得： ，解得 .
题型14 由公切线存在求参数
1. 联立公切线斜率、截距等式，消元得到单变量函数 ；
2. 题意等价于 有实数解；
3. 求 极值、值域，根据方程有解列不等式，解参数范围。
64．（2026高三·天津南开·期中）已知函数 ， ，若存在直线l既是曲线 的
切线，也是曲线 的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过分别设切点建立切线方程，联立得到参数关系后分类讨论，利用构造函数法，结合导数分析单调性确定参数范围.
【详解】设直线 与 切于点 ，
则切线斜率 ，切线方程为
设直线 与 切于点 ， ，
则切线斜率 ，切线方程为 ，
两切线为同一直线，故 ，
因为 ，所以 ，
若 ，由 得 ，
此时 ，与 矛盾，所以 ，
由 两式相除得 ，即 .
由 两边取对数得 ，
即 ，
设 ，则 ，
即方程 有解，
构造函数 ，
则 ，
①若 ，则 ，令 ，得 ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
最大值为 ，
当 即 时， 有解；
当 ，即 时， 无解.
②若 ， ，则 ，
令 ，得 ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
最小值为 ， 有解.
综上， 的取值范围是 .
65．（2026高三·湖北·期中）若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是
__________.
【答案】
【分析】分别求两曲线的切线方程，根据公切线条件列方程组，消元后得到关于 的表达式，构造函数求
最值，进而确定 的取值范围.
【详解】设切点分别为 ，
，即 ，
，即 ，，则 ，
设 ，
在 单调递减，在 单调递增，
，
又 为正实数，
.
题型15 由公切线条数求参数
1. 转化为辅助函数零点个数问题；
2. 求导得到极值点，计算极大、极小值；
3. 根据零点个数要求（1/2条公切线）列出极值正负不等式，求解参数区间。
66．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知 ，函数 的定义域为 的定义域为 ，若
与 恰好有2条公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】设公切线方程为 ，分别与 的图象切于点 ，与 的图象切于点 ，根
据导数的几何意义得出 ，消去 得关于 的方程
，两边取自然对数后令 ，定义函数 ，其定
义域为 （当 ）或 （当 ）．利用导数求出 的极小值，再根据极小值的正负讨论
的解的个数得出参数范围.
【详解】 ， ，
设公切线方程为 ，直线 与 的图象切于点 ，与 的图象切于点 ，
则 ， ， ，
所以 ．
即 ，由 ，
得 ，代入 ，得关于 的方程 ．
等式两边取对数得 ，
令 ，定义函数 ，
其定义域为 （当 ）或 （当 ）．
则 ，当 时， 在 单调递减，在 上单调递增，此时 在 处取极小值；
当 时，同理可得 在 处取极小值，
故 有唯一极小值点 ，极小值为 ．
的解的个数对应公切线的条数：
若 ，则 有两个解，即有两条公切线；
若 ，则有一个解，即一条公切线；
若 ，则无解，即无公切线．
当 时，则 ，分子 （因 恒成立），故 ；
当 时，可得 ，令 可得 ，即 ，解得 ．
此外， 时无公切线， 时 仅一条．
因此，恰好有两条公切线时 的取值范围是 ．
67．（2026高三·江苏无锡·期中）已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【分析】设两切点分别为 ， ，由导数求得斜率相等，从而得 ，构造函数
，根据 与 有两个交点，利用导数求解即可.
【详解】因为 求导得 由 求导得 ，
设与 相切的切点为 ，与曲线 相切的切点为 ，
则有公共切线的斜率 （*），又因为 ， ，代入（*），得 ，
即 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
因为存在两条公切线，该方程在 上有两解，
令 ，则 ，
所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以函数在 处取极大值，也是最大值， ，
当 时， ,当 时， ，
因为存在两条公切线，即 与 有两个交点，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
68．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若曲线 和圆 存在4条公切线，则 的取值范围
是_____.
【答案】
【分析】借助导数的几何意义表示出曲线 在 处的切线方程，则该切线也是圆
的切线，即可用圆的切线的性质得到与 有关方程，再利用存在4条公切线，计算即可得.
【详解】对 ，有 ，
则曲线 在 处的切线方程为 ，整理得 ，
由该切线也是 的切线，则 ，
整理得 ，
由曲线 和圆 存在4条公切线，
故关于 的方程 有四个不同根，
故关于 的方程 有两个不同正根，设为 、 ，
则 ，解得 ，
由 ，则 ， ，
故 时，该方程有两个不同正根，
即此时曲线 和圆 存在4条公切线，
故 的取值范围是 .
69．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线 与曲线 有两条公切线，则 的取值范围为
______．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出 ，利用换元法把问题转化为
有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出 的取值范围．
【详解】设曲线 上的切点为 ，求导得 ，则切线方程为 ，即 ，
设该切线与曲线 切于点 ，求导得 ，
则切线方程为 ，即 ，
，即 ①， ②，
把①代入②消去 得 ，由 得 ，解得 ，
令 ，则 ，代入①得 ，
令 ，问题转化为 有2个不同解，
求导 ， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
最大值 ， 和 时， ，
， ，
，即 ．
题型16 利用公切线求表达式的值
1. 设两条曲线上切点，利用斜率相等、截距相等建立方程组；
2. 不需求出切点具体值，整体代换、韦达变形，直接求出代数式结果；3. 两根对称题型：若 是方程两根，利用韦达定理求和/积。
70．（2026高三·浙江·阶段检测）已知 两点在曲线 上， 两点在曲线 上，设
. 当直线 均为曲线 和 公切线时，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设公切线在 上切点横坐标为 ，写出两切线方程，令截距相等得关于 的方程，注意到该方
程若 为根，则 也为根，故两切点横坐标 互为相反数，从而得到 的值.
【详解】 导数为 ， 导数为 . 设公切线切 于 ，切 于 ，
则公切线斜率 .
的切线方程为 ；
对 代入 ，写出切线方程： .
两切线截距相等，整理得
若 是上述方程的根，将 代入方程左边得 ，即若 是根，则 也是
根.
题目中 是方程的两个根，因此 ，得 .
因此 .
71．（2026·河北·模拟预测）若函数 的图象在点 处的切线恰好与函数
的图象切于点 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设切点，求出导函数进而得出切线斜率得出切线方程，再应用切线相同列式计算求解，即可得
出切线方程.
【详解】因切线 与 的切点为 ， 由 可得 ，
切线方程为： ，即 ①
依题意，切线 与 的切点为 ，因 ，
则切线 的方程为： ，即 ②
因①，②都是 的方程，则有 ，
联立两式消去 并整理得 ，即 ，解得 .
72．（湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高三学期12月大联考数学（理）试题）已知函数 ，
，直线 分别与曲线 ， 相切于点 ， ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】首先求出导函数，即可利用点斜式表示出切线方程，最后根据切线是同一条线得到方程，即可解
得；
【详解】解：因为 ，
所以 ，
由已知得直线 的方程为： ， ，，消去 整理得 .
故选：B
【点睛】本题考查曲线的公切线问题，属于中档题.
73．（2026高三·天津武清·阶段检测）若函数 的图象在点 处的切线恰好与函数
的图象切于点 ，则 ________________．
【答案】3
【分析】先求出导函数进而得出切线方程，再利用切线相同列式计算求解.
【详解】 ，则过点 的切线方程为 ，
整理得 ①，
，则过点 的切线方程为 ，
整理得 ②，
因为①②都是直线 的方程，且①在 轴上的截距为 ，②在 轴上的截距为 ，
所以 ，即 .
题型17 公共点处公切线问题
1. 两个条件同时满足：
①公共点： ；②同切线： ；
2. 联立两个方程，解切点横坐标与参数；
3. 圆与曲线公共切线：圆切线斜率可用圆心与切点连线垂直快速推导。
74．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）若曲线 与圆 有公共点 ，
且在点 处的切线相同，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先求曲线 在点 处的切线斜率与圆在点 处的切线斜率，利用二者相等得到 与
的关系，再结合点 在圆上列方程求解 , ，最后代入曲线方程求出 的值.
【详解】由 知定义域为 ，则 ，
此时曲线在点 处的切线斜率为： ，
又圆 的圆心 与点 所在直线的斜率为： ，
所以圆在点 处的切线斜率为： ，
由题意知 ，①
又 在圆上所以： ，②
将①代入②中得： ，
化简得： ，解得： 或 （舍去），又由题意知 ，所以 ，此时 ，所以 ，
将 代入 中有： ，解得： .
75．（2026高三·江苏苏州·期末）已知函数 ， ，若曲线 与 在点
处有相同的切线，则实数 的值为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义列式求解.
【详解】函数 ， ，求导得 ， ，
由曲线 与 在点 处有相同的切线，得 ，即 ，
所以 .
76．（2026·吉林·模拟预测）若曲线 与曲线 在它们的公共点处有相同的切线，则
_______．
【答案】 或
【分析】设公共点为 ，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】由 ，所以 ，又由 ，所以 ，
设公共点为 ，
所以 ，由 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 .77．（2026高三·全国·一轮复习）已知两函数 ， 的图象有公共点，且在公共点处的切线
重合，则a的值为______．
【答案】0或1
【分析】利用切线重合列方程 ，求得切点的横坐标 ，进而求得 的值.
【详解】设公共的切点为 ，则在函数 中，当 时， ，
则在 点处的切线方程为： ，
在函数 中，当 时， ，
同理可得在P点处的切线方程为： ，
又两个函数在公共点处的切线重合，所以 ，
解方程组可得 或 ，所以a的值为0或1．
题型18 公切线斜率/截距最值
1. 设双切点，联立公切线条件，将斜率/截距表示为单一变量函数；
2. 对该函数求导，找极值点；
3. 比较极值、区间端点，得到最大值或最小值。
78．（2026·湖南湘西·模拟预测）若直线 与函数 和 的图象均相切，则实
数 的最大值为___________．
【答案】1【分析】分别设直线 与 的图象相切于点 ，与 的图象相切于点 ，
由公切线得到 ，令 ，得到 ，进而构造函数
，通过求导，确定零点，进而可求解.
【详解】设直线 与 的图象相切于点 ，直线 与 的图象相切于点 ，
则 ，得
得 ，令 ，
则 ，
得 ，
所以 ，整理可得 ．
设 ，显然 为 的一个零点， ，当 时，h′(t)> 0,h(t)单调递增，
当 时， 单调递减，故 ，
而 ，
所以 的两根位于 两侧，
已知一根为 ，当 时， ，
所以另一根位于区间 内，由对勾函数单调性可知 在 单调递增，
此时 ，
所以当 时， 取得最大值，该值为1．
79．（2026高三·全国·一轮复习）直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，
则 的最大值是（ ）
A． B． C．2e D．4e
【答案】B
【分析】令 ， ，由题意可得 ，结合计算可求得 的最大
值.
【详解】令 ， ，
设切点分别为 和 ，则 ，
由 ，可得 ，则 ，
由 同理 ，则 ，所以 ，可得 ，即 ，
此时 ，所以 ，所以 .
80．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）若直线 同时是曲线 和曲线 的切线，则
斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜
率表示为参数 的函数，求导确定单调性后得最小值.
【详解】设直线 与 切于 ，与 切于 .
求导得 ， ，因此公切线斜率 ，
整理得 ①.
的切线方程为 ；
的切线方程为 .
同一直线截距相等，消去同类项得 ②，
将①代入②，得 关于 的函数 .
对 求导得 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因此 时 取最小值，即 .81．（2026·山东东营·模拟预测）已知 ，则函数 与 公切线斜率的最大值
为_________．
【答案】
【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义写出切线方程，根据公切线的概念，表示出切线斜
率，再构造函数，求函数的最大值即可.
【详解】设公切线与 的切点为 ，与 的切点为 .
因为 ， .
所以公切线方程为 ，
也可以写成 .
由 ，
所以 （ ）.
设 ， ，
则 .
由 ；由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
即公切线的斜率 .
