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【第9讲：幂函数的图像与性质】
总览 题型梳理
一．求幂函数的解析式（共4小题）
二．由幂函数的解析式求解参数（共3小题）
三．求幂函数的定义域（共2小题）
四．幂函数型复合函数的定义域（共2小题）
五．求幂函数的值域（共1小题）
六．幂函数型复合函数的值域（共4小题）
七．幂函数图象特征与幂指数的关系（共3小题）
八．求幂函数及幂函数型复合函数的单调性（共3小题）
九．由幂函数的单调性求解参数（共4小题）
十．求幂函数及幂函数型复合函数的最值（共2小题）
十一．求解幂函数的奇偶性（共3小题）
十二．幂函数的奇偶性与函数图象的对称性（共5小题）
【知识点清单】
1.由幂函数的解析式求解参数
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a
1
＝1，2，3， ，﹣1时的图像与性质．
2
【解题方法点拨】
﹣分析幂函数的解析式，代入已知条件，求解参数值．
﹣验证求解结果的正确性，结合实际问题分析幂函数及其应用．
2【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a
1
＝1，2，3， ，﹣1时的图像与性质．
2
幂函数的定义域是指自变量x取值的范围，对于幂函数y＝xa，定义域与指数a的取值有关．
【解题方法点拨】
﹣当a为正整数时，定义域为全体实数，即x （﹣∞，+∞）．
﹣当a为负整数时，定义域为x≠0的全体实数∈，即x （﹣∞，0）∪（0，+∞）．
﹣当a为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；∈若分母为奇数，则定义域为x （﹣∞，+∞）．
∈3．求幂函数的值域
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a
1
＝1，2，3， ，﹣1时的图像与性质．
2
幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a有关．
【解题方法点拨】
﹣当n为正整数时，值域为全体实数y （﹣∞，+∞）．
﹣当n为负整数时，值域为正实数y （∈0，+∞）．
﹣当n为正分数时，若分母为偶数，∈值域为非负实数y [0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数．
4．幂函数型复合函数的值域 ∈
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a
1
＝1，2，3， ，﹣1时的图像与性质．
2
幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a有关．
幂函数型复合函数的值域是指函数输出值的范围，涉及复合函数的内外层函数．
【解题方法点拨】
﹣当n为正整数时，值域为全体实数y （﹣∞，+∞）．
﹣当n为负整数时，值域为正实数y （∈0，+∞）．
﹣当n为正分数时，若分母为偶数，∈值域为非负实数y [0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数．
﹣确定内层函数的值域． ∈
﹣将内层函数的值域代入外层幂函数，分析外层函数的值域．
﹣结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域．
5．幂函数的图象
【知识点的认识】6．幂函数图象特征与幂指数的关系
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a
1
＝1，2，3， ，﹣1时的图像与性质．
2
幂函数的图象特征与其幂指数a密切相关，不同幂指数的幂函数图象有不同的形态．
【解题方法点拨】
﹣当a为正整数时，图象在第一、三象限呈对称分布．
﹣当a为负整数时，图象在第二、四象限呈对称分布，且x越大，y越小．
﹣当a为正分数时，图象在第一象限，开口向右上方．
﹣当a为负分数时，图象在第一、二象限，开口向左下方．
7．求幂函数及幂函数型复合函数的单调性
【知识点的认识】
幂函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．
五个常用幂函数的图象和性质1
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y =x2； （5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x3 1 y＝x﹣1
y =x2
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x [0，+∞） 增 增 x （0，+∞）
时，增 时，减
∈ ∈
x （﹣∞，0] x （﹣∞，
时，减 0）时，减
∈ ∈
公共点 （1，1） （1，1）（0，（1，1）（0， （1，1） （1，1）
（0，0） 0） 0） （0，0）
﹣【解题方法点拨】
﹣分析幂函数的解析式，确定其单调性：当a＞0时，幂函数单调递增；当a＜0时，幂函数单调递减．
﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层幂函数的单调性，确定复合函数的整体单调性．
﹣验证单调性的准确性．
【命题方向】
题目通常涉及分析幂函数及其复合函数的单调性，结合解析式和实际问题确定函数的单调区间及性质．
7.由幂函数的单调性求解参数
【知识点的认识】
通过已知幂函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系．
五个常用幂函数的图象和性质
1
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y =x2； （5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x3 1 y＝x﹣1
y =x2
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x [0，+∞） 增 增 x （0，+∞）
时，增 时，减
∈ ∈x （﹣∞，0] x （﹣∞，
时，减 0）时，减
∈ ∈
公共点 （1，1） （1，1）（0，（1，1）（0， （1，1） （1，1）
（0，0） 0） 0） （0，0）
﹣【解题方法点拨】
﹣分析已知单调性条件，设定幂函数的形式．
﹣利用单调性条件，求解幂函数的参数．
﹣验证求解结果的正确性．
【命题方向】
题目通常包括通过单调性反求幂函数的参数，结合解析式和实际问题分析单调性及其应用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/6 16:09:37；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663
题型分类 知识讲解与常考题型
一．求幂函数的解析式（共4小题）
1．“m＝﹣3或m＝2”是“幂函数f(x)=(m2+m−5)xm2+m为偶函数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知幂函数 y=xm2−3 (m∈N∗)的图象关于 y 轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则满足
m m
(a+3)5＜(1−a)5的a的取值范围为（ ）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
3．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm+1的定义域为R，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．2
4．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm是R上的偶函数，且函数g（x）＝f（x）﹣2ax在区间[1，3]上单
调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．[3，+∞） B．（﹣∞，1]
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
二．由幂函数的解析式求解参数（共3小题）
5．已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）•xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1或3 C．3 D．2
6．已知幂函数f（x）＝（﹣2m2+m+2）xm+1为偶函数，则实数m的值为（ ）1 1 1
A． B．− C．1 D．− 或1
2 2 2
7．已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g（x）＝bx+a﹣1（b＞0且
b≠1）的图像过定点 ．
三．求幂函数的定义域（共2小题）
8．请写出一个幂函数f（x）满足以下条件：①定义域为[0，+∞）；②f（x）为增函数．则f（x）＝
．
9．若幂函数f（x）＝xa的图像经过点（3，❑√3），则函数y＝f（x）的定义域为 ．
四．幂函数型复合函数的定义域（共2小题）
10．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，❑√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（ ）
A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（0，2] D．[0，2]
❑√2
11．已知幂函数f（x）的图象过点(8， )，则f（x﹣2x2）的定义域为（ ）
4
1 1
A．（0，2） B．(0， ) C．（0，2] D．[0， ]
2 2
五．求幂函数的值域（共1小题）
12．写出一个同时具有下列三个性质的一个幂函数： ．
（1）偶函数；
（2）值域是{y|y＞0}；
（3）在（﹣∞，0）上是增函数．
六．幂函数型复合函数的值域（共4小题）
{ − 1 +2，x＜c )
13．已知函数f(x)= x ，若f（x）的值域为[2，6]，则实数c的取值范围是（ ）
x2−2x+3，c≤x≤3
1 1 1
A．[−1，− ] B．[− ，0) C．[﹣1，0） D．[−1，− ]
4 4 2
14．若幂函数f（x）＝x 的图象过点（2，8），则g(x)=α−x+❑√x−1的值域为（ ）
α
9 9
A．(−∞， ] B．[2，+∞） C．[ ，+∞) D．（﹣∞，2]
4 4
（多选）15．下列函数中，值域为[1，+∞）的是（ ）
2x+1
A．f(x)=❑√x2+1 B．f(x)=
x+1
C．f(x)=x+1−❑√2x−1 D．f（x）＝x3+116．已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m R）为幂函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值，并写出f（x）的解析式； ∈
1
（2）令g(x)=❑√f(x)−❑√2x+1，x∈[− ，1]，求g（x）的值域．
2
七．幂函数图象特征与幂指数的关系（共3小题）
17．下列关于幂函数y＝x 的描述中，正确的是（ ）
α
A．幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）
B．幂函数的图象不经过第三象限
1
C．当指数 取1，3， 时，幂函数y＝x 是其定义域上的严格增函数
2
α
α
1 1
D．若幂函数的图像过点( ，8)，则它的图像也经过点(9， )
4 18
18．图中C
1
、C
2
、C
3
分别为幂函数y=xα 1，y=xα 2，y=xα 3在第一象限内的图像，则
1
，
2
，
3
依次可以
是（ ）
α α α
1 1 1 1
A．3， ，﹣1 B．3，﹣1， C． ，3，﹣1 D． ，﹣1，3
2 2 2 2
19．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，则①对应的幂函数可以是（ ）
1 2 3 3
A． y=x − 2 B． y=x3 C． y=x4 D． y=x2
八．求幂函数及幂函数型复合函数的单调性（共3小题）1
20．已知幂函数f（x）的图象经过点(2， )，则f（x）（ ）
4
A．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增
B．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减
C．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增
D．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减
（多选）21．下列大小关系正确的是（ ）
2 3 2 4 3 1 1 3
A．( )2＜( )3 B．( )2＜( )5
3 3 5 2
2 1 2 2 3 − 1 5 − 1
C．( )5＜( )5 D．( ) 2＞( ) 2
5 3 2 4
22．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，则不等式f（2﹣x）＞1的解集是
．
九．由幂函数的单调性求解参数（共4小题）
23．已知幂函数f（x）＝（3m2﹣7m﹣5）xm﹣1在（0，+∞）上是增函数，则m＝（ ）
2 2
A．− 或3 B．− C．3 D．1
3 3
1
24．已知幂函数 f(x)=(2a2+a)x a− 3在定义域内单调递增，则a＝（ ）
1 1
A．﹣1 B． C． D．2
4 2
25．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm+2在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．﹣4 D．1或﹣3
f(x )−f(x )
26．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm， x ，x （0，+∞）都有 1 2 ＜0成立，则下列说法正
1 2 x −x
1 2
∀ ∈
确的是（ ）
A．m＝2 B．m＝2或m＝﹣1
C．f（x）是偶函数 D．f（x）是奇函数
十．求幂函数及幂函数型复合函数的最值（共2小题）
27．设幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2在（0，+∞）单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设不等式f（x）≤4x+5的解集为函数g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]的定义域，记g（x）
的最小值为h（a），求h（a）的解析式．28．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1，且f（x）＝f（﹣x）．
（1）求函数f（x）的解析式：
f(x)
（2）若g（x）= ，a，b均为正数且g（a）+g（b）＝1，求f（a）+f（b）的最小值．
f(x)+1
十一．求解幂函数的奇偶性（共3小题）
（多选）29．已知函数f(x)=(m−1)xm2−m为幂函数，则（
）
A．函数f（x）为奇函数
B．函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增
C．函数f（x）为偶函数
D．函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减
30．若幂函数f(x)=(n2+n−1)xn2−2n
(n∈Z)是奇函数，则n＝ ．
31．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm﹣1为偶函数，且在（0，+∞）上严格单调递减，则实数m的值为
．
十二．幂函数的奇偶性与函数图象的对称性（共5小题）
32．若f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm为幂函数，且函数y＝f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，则m＝（
）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
33．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m R）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是减函数，则
m＝（ ）
∈
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3
34．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+3为偶函数，则2m+log m＝（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．5
n
（多选）35．已知幂函数 f(x)=xm（m，n N*，m，n互质），下列关于f（x）的结论正确的是（ ）
∈
A．m，n是奇数时，幂函数f（x）是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数f（x）是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数f（x）是偶函数
m
D．0＜ ＜1时，幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数
n
36．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm的图象关于y轴对称，则实数m的值是 ．课后针对训练
一、单选题
1．已知点 在幂函数 的图象上，设 ， ，则 的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则满足
的 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数 在 上单调递增，函数 时，总存在
使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（ ）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④ .
5．若直线 与幂函数 的图象依次交于不同的三点 ，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．C． D．以上说法都不正确
6．若直线 与幂函数 ， ， 的图象从左到右依次交于不同的三点 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
7．若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知幂函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 在其定义域上单调递减
C． D．
10．已知幂函数 是 上的偶函数，且函数 在区间 上单调递减，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数 过点 ，则
B．函数 表示幂函数
C．若幂函数 在 单调递增，则
D．幂函数的图象都过点 和12．已知幂函数 的图象经过点 ，则（ ）
A． 的定义域为
B． 的值域是
C． 为奇函数
D． 为定义域上的减函数
13．已知幂函数 ，则（ ）
A．
B． 的定义域为
C． 为非奇非偶函数
D．不等式 的解集为
14．已知幂函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象都经过点
B．函数 的图象不经过第四象限
C．若 ，则函数 在 上单调递增
D．若 ，则对任意实数 ，有
三、填空题
15．已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则满足
的实数 的取值范围为 ．
16．请写出一个幂函数 满足以下两个条件：①定义域为 ；② 为减函数，则
.
17．函数 的值域为 ．18．函数 图象的对称中心坐标是 ；函数 的值域是 ．
