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第四章 三角函数与解三角形
§4.2 三角恒等变换
【高考考向预测】
近三年高考三角恒等变换为必考核心考点，贯穿三角函数与解三角形全题型，高频考查两角
和差、二倍角、降幂、辅助角公式及凑角配角技巧，多用于化简求值、求单调区间与最值，是解
题必备运算基础；预测2027 年依旧稳定重点考查，命题侧重复杂分式根式化简、隐藏凑角、多公
式联用变形，增多限定角度范围求值题型，常结合函数性质、解三角形综合设问，减少直白套公
式题型，侧重考查式子观察拆分、角度灵活转化与运算化简的精准度。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的公式及二倍角公式的适用范围是任意角. ( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立. ( )
(3)对于任意角α，sin 2α=2sin α都不成立. ( )
α 1 3α
(4)cos2 = (1+cos α)，cos 3α=1-2sin2 . ( )
2 2 2
【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√
2.sin 24°cos 36°+sin 66°cos 54°等于( )
❑√3 ❑√3 1 1
A.- B. C.- D.
2 2 2 2
【答案】B
【解析】sin 24°cos 36°+sin 66°cos 54°
=sin 24°cos 36°+cos 24°sin 36°
❑√3
=sin(24°+36°)=sin 60°= .
2
π π
3.sin2 -cos2 等于( )
8 8
❑√2 ❑√2 ❑√2 ❑√2
A.- B.- C. D.
2 4 4 2
【答案】A
π π ( π) π ❑√2
【解析】由二倍角的余弦公式可得，cos2 -sin2 =cos 2× =cos = ，
8 8 8 4 2
π π ❑√2
∴sin2 -cos2 =- .
8 8 2
( π)
4.若2cos α-sin α=0，则tan α− = ；tan 2α= .
41 4
【答案】 -
3 3
【解析】因为2cos α-sin α=0，
则sin α=2cos α，故tan α=2，
π
tanα−tan
( π) 4 2−1 1
所以tan α− = = = ，
4 π 1+2 3
1+tanαtan
4
2tanα 2×2 4
tan 2α= = =- .
1−tan2α 1−4 3
【核心梳理●明考点】
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α-β)= cos α cos β +sin α sin β .
(α-β)
(2)公式C ：cos(α+β)= cos α cos β -sin α sin β .
(α+β)
(3)公式S ：sin(α-β)= sin α cos β -cos α sin β .
(α-β)
(4)公式S ：sin(α+β)= sin α cos β +cos α sin β .
(α+β)
tanα−tanβ
(5)公式T ：tan(α-β)= .
(α-β) 1+tanαtanβ
tanα+tanβ
(6)公式T ：tan(α+β)= .
(α+β) 1−tanαtanβ
2.辅助角公式
b a
asin α+bcos α=❑√a2+b2 sin( α + φ ) ，其中sin φ= ，cos φ= .
❑√a2+b2 ❑√a2+b2
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α= 2sin α cos α .
2α
(2)公式C ：cos 2α= cos 2 α -sin 2 α = 2cos 2 α -1 = 1-2sin 2 α .
2α
2tanα
(3)公式T ：tan 2α= .
2α 1−tan2α
4.半角公式(不要求记忆)
α √1−cosα α √1+cosα α √1−cosα α
sin =±❑ ；cos =±❑ ；tan =±❑ .符号由 所在象限决定.
2 2 2 2 2 1+cosα 2
1.熟记公式的常用变形
(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
( α α) 2
(2)1±sin α= sin ±cos .(升幂公式)
2 2α α
(3)1-cos α=2sin2 ，1+cos α=2cos2 .(升幂公式)
2 2
1−cos2α 1+cos2α 1−cos2α
(4)sin2α= ，cos2α= ，tan2α= .(降幂公式)
2 2 1+cos2α
(5)半角正切公式的有理化
α sinα 1−cosα
tan = = .
2 1+cosα sinα
(6)万能公式
α α α
2tan 1−tan2 2tan
2 2 2
sin α= ，cos α= ，tan α= .
α α α
1+tan2 1+tan2 1−tan2
2 2 2
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件.
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
【题型突破●明方向】
题型一 三角恒等变换基本公式
命题点1 两角和与差的正余弦与正切
2 1 ( π) ( π)
例1 (2025·新余模拟)已知sin(α+β)= ，cos(α-β)= ，则sin α+ sin β+ 等于( )
3 3 4 4
1 ❑√2 1 ❑√3
A. B. C. D.
2 2 3 3
【答案】A
( π) π π ❑√2
【解析】因为sin α+ =sin αcos +cos αsin = (sin α+cos α)，
4 4 4 2
( π) π π
sin β+ =sin βcos +cos βsin
4 4 4
❑√2
= (sin β+cos β)，
2
( π) ( π)
所以sin α+ sin β+
4 4
1
= (sin α+cos α)(sin β+cos β)
2
1
= (sin αsin β+sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β)
2
1
= [sin(α+β)+cos(α-β)]
21 (2 1)
= × +
2 3 3
1
= .
2
命题点2 二倍角公式的应用
( π)
例2 已知α∈ 0， ，3sin 2α=cos 2α+1，则tan 2α等于( )
2
3 4
A.❑√2 B.❑√3 C. D.
4 3
【答案】C
【解析】由3sin 2α=cos 2α+1，
得6sin αcos α=2cos2α，
( π) 1
而α∈ 0， ，即cos α>0，则tan α= ，
2 3
1
2×
2tanα 3 3
所以tan 2α= = = .
1−tan2α (1) 2 4
1−
3
命题点3 辅助角公式
( π)
例3 已知函数f(x)=3sin x+4cos x.若x=θ时，f(x)取得最大值，则cos θ+ 等于( )
4
7❑√2 7❑√2 ❑√2 ❑√2
A. B.- C. D.-
10 10 10 10
【答案】C
4 3
【解析】f(x)=3sin x+4cos x=5sin(x+φ)，其中sin φ= ，cos φ= ，
5 5
π π
∵当x=θ时，f(x)取得最大值，∴θ+φ= +2kπ，k∈Z，即θ= +2kπ-φ，k∈Z，
2 2
( π) (π π)
∴cos θ+ =cos +2kπ−φ+
4 2 4
(3π ) 3π 3π
=cos −φ =cos cos φ+sin sin φ
4 4 4
❑√2 3 ❑√2 4 ❑√2
=- × + × = .
2 5 2 5 10
【思维升华】(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；对asin x+bcos x化
简时，要清楚如何求辅助角φ的值.(2)三角函数式的化简，一是要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征；二是要注
意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
【跟踪训练】1 (1)(2026·南昌模拟)化简tan 35°+tan 100°+tan 35°tan 80°等于( )
A.tan 65° B.-tan 65°
C.1 D.-1
【答案】D
【解析】由两角和的正切公式得tan 35°+tan 100°=tan(100°+35°)(1-tan 35°tan 100°)
=tan 135°(1-tan 35°tan 100°)=-1×(1-tan 35°tan 100°)=tan 35°tan 100°-1，
由诱导公式得tan 80°=tan(180°-100°)=-tan 100°，
则原式=tan 35°tan 100°-1-tan 35°tan 100°=-1.
α ❑√5 ( π)
(2)(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos = ，则sin α− 等于( )
2 5 4
❑√2 ❑√2 3❑√2 7❑√2
A. B. C. D.
10 5 10 10
【答案】D
α
【解析】由题意得cos α=2cos2 -1
2
(❑√5) 2 3
=2× -1=- ，
5 5
因为0<α<π，则sin α=❑√1−cos2α=❑ √ 1− ( − 3) 2 = 4 ，
5 5
( π) π π 4 ❑√2 ( 3) ❑√2 7❑√2
所以sin α− =sin αcos -cos αsin = × - − × = .
4 4 4 5 2 5 2 10
题型二 三角恒等变换求值
命题点1 利用角的拆分求值
1 5❑√3
例4 (2025·苏州模拟)已知α，β为三角形的两个内角，cos α= ，sin(α+β)= ，则β等于( )
7 14
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 2 3
【答案】B
1 1
【解析】因为α，β为三角形的两个内角，且0<cos α= < ，
7 2
π π 4❑√3
则 <α< ，sin α=❑√1−cos2α= ，
3 2 7
5❑√3 ❑√3 π
因为sin(α+β)= < ， <α<α+β，
14 2 32π
得 <α+β<π，
3
11
则cos(α+β)=-❑√1−sin2 (α+β)=- ，
14
11 1 5❑√3 4❑√3 1
故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- × + × = ，
14 7 14 7 2
π
因为0<β<π，则β= .
3
命题点2 利用升降幂求值
❑√2−2cos80°−4sin25°cos25°
例5 计算： = .
❑√1−sin80°
【答案】-2
❑√4sin240°−2sin50°
【解析】原式=
❑√(sin40°−cos40°) 2
2sin40°−2sin50°
=
|sin40°−cos40°|
2sin40°−2cos40°
= =-2.
cos40°−sin40°
命题点3 统一函数名换元求值
例6 (2021·北京)函数f(x)=cos x-cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值( )
A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2
9 9
C.奇函数，最大值为 D.偶函数，最大值为
8 8
【答案】D
【解析】由题意，f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos 2x=f(x)，x∈R，所以该函数为偶函数，
( 1) 2 9
又f(x)=cos x-cos 2x=-2cos2x+cos x+1=−2 cosx− + ，
4 8
1 9
所以当cos x= 时，f(x)取最大值 .
4 8
【思维升华】利用三角恒等变换求值策略
(1)条件告知某些“已知角”时，一般把“所求角”用“已知角”、特殊角等表示，再利用诱导公式、
α+β α−β π π (π )
两角和差公式求值.常见的角的变换：2α=(α+β)+(α-β)，α= + ， +α= - −α ，α=(α+β)-
2 2 3 2 6
(π ) (π ) π
β=(α-β)+β， +α + −α = 等.
4 4 2
(2)利用倍角公式升降幂，把所求式子化成同次的三角形式，再利用两角和差公式逆用、同角基本关系
式求解.(3)利用同角基本关系式、诱导公式、倍角公式把所求式子化为同名函数，构造关于三角函数的复合函
数，利用函数的性质求解.
【跟踪训练】2 (1)(2025·宜昌模拟)古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，
cos18°
发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin 18°，则 √ m= .
cos36°·❑1−
2
【答案】❑√2
cos18°
sin72°
【解析】 √ m=
cos36°·❑1− cos36°·❑√1−sin18°
2
sin72°
=
cos36°·❑√1−cos72°
2sin36°cos36°
=
cos36°·❑√1−(1−2sin236°)
2sin36°cos36°
= =❑√2.
cos36°·❑√2sin36°
( π) 4 (5π ) 12 (π 3π) ( π)
(2)已知cos α− = ，sin +β =- ，α∈ ， ，β∈ 0， ，则sin 2α= ，
4 5 4 13 4 4 4
cos(α+β)= .
7 16
【答案】 -
25 65
[ ( π) π] ( π) ( π) (4) 2 7
【解析】sin 2α=sin 2 α− + =cos 2 α− =2cos2 α− -1=2× -1= .
4 2 4 4 5 25
(π 3π) π ( π)
由α∈ ， ，得α- ∈ 0， ，
4 4 4 2
又cos
(
α−
π)
=
4
，则sin
(
α−
π)
=❑
√
1−
(4) 2
=
3
，
4 5 4 5 5
( π) 5π (5π 3π)
由β∈ 0， ，得 +β∈ ， ，
4 4 4 2
(5π ) 12
而sin +β =- ，
4 13
则cos (5π +β ) =-❑ √ 1− ( − 12) 2 =- 5 ，
4 13 13
[( π) (5π )] ( π) (5π ) ( π) (5π )
所以cos(α+β)=-cos α− + +β =-cos α− cos +β +sin α− sin +β
4 4 4 4 4 44 ( 5 ) 3 ( 12) 16
=- × − + × − =- .
5 13 5 13 65
题型三 和差化积与积化和差
1
例7 (1)(链接教材，人教A版必修第一册P230习题5.5T19)若sin(α+β)sin(α-β)= ，则cos 2α-cos
4
2β等于( )
1 1 1 1
A. B.- C. D.-
4 4 2 2
【答案】D
【解析】方法一 因为sin(α+β)sin(α-β)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β
=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)
=cos2β-cos2α
1+cos2β 1+cos2α 1
= - = ，
2 2 4
1
所以cos 2α-cos 2β=- .
2
1 1
方法二 cos 2α-cos 2β=-2sin(α+β)·sin(α-β)=-2× =- .
4 2
(2)(链接教材，人教A版必修第一册P226练习T4，T5)计算sin215°+cos245°+sin 15°sin 45°的值是(
)
3 1 1
A.1 B. C. D.
4 2 4
【答案】B
1 2−❑√3 1 1
【解析】根据积化和差公式可得sin215°= (cos 0°-cos 30°)= ，cos245°= ，sin 15°sin 45°=
2 4 2 2
❑√3−1 2−❑√3 1 ❑√3−1 3
[cos(15°-45°)-cos(15°+45°)]= ，则原式= + + = .
4 4 2 4 4
【思维升华】利用和差化积与积化和差公式，不但能让三角函数的化简求值更为简洁，而且能减少思
维量，但是需牢记公式的结构特征，其中正弦、余弦，加减容易混淆，需特别注意.
【跟踪训练】3 计算：cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°= .
1
【答案】-
2
【解析】cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°
1
=2cos 120°cos 26°+2× (cos 120°+cos 26°)
2( 1) ( 1) 1
=2× − cos 26°+ − +cos 26°=- .
2 2 2
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2026·重庆南岸区模拟)sin 33°cos 27°+sin 57°sin 27°等于( )
❑√3 1 ❑√3 1
A. B. C.- D.-
2 2 2 2
【答案】A
【解析】因为sin 57°=sin(90°-33°)=cos 33°，
❑√3
所以原式=sin 33°cos 27°+cos 33°sin 27°=sin(33°+27°)=sin 60°= .
2
( π)
2.若tan α+ =-2，则tan α等于( )
4
1 1
A. B.- C.3 D.-3
3 3
【答案】C
( π) tanα+1
【解析】由tan α+ =-2，即 =-2，解得tan α=3.
4 1−tanα
1+❑√5 α
3.(2023·新高考全国Ⅱ)已知α为锐角，cos α= ，则sin 等于( )
4 2
3−❑√5 −1+❑√5
A. B.
8 8
3−❑√5 −1+❑√5
C. D.
4 4
【答案】D
【解析】因为α为锐角，
α √1−cosα √3−❑√5
所以sin =❑ =❑
2 2 8
√(❑√5−1) 2 ❑√5−1
=❑ = .
16 4
sin50°+sin70°
4.(2025·六安模拟) 等于( )
sin80°A.2❑√3 B.❑√3 C.2 D.1
【答案】B
sin50°+sin70°
【解析】方法一 由和差化积公式得
sin80°
50°+70° 50°−70°
2sin cos 2sin60°cos(−10°)
= 2 2 =
sin80°
sin80°
❑√3cos10°
= =❑√3.
cos10°
sin50°+sin70°
方法二
sin80°
sin(60°−10°)+sin(60°+10°)
= =
sin(90°−10°)
sin60°cos10°−cos60°sin10°+sin60°cos10°+cos60°sin10°
cos10°
=2sin 60°=❑√3.
5.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于( )
m m
A.-3m B.- C. D.3m
3 3
【答案】A
【解析】由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ①
sinαsinβ
由tan αtan β=2得 =2， ②
cosαcosβ
{cosαcosβ=−m,
由①②得
sinαsinβ=−2m,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
6.(2025·江苏省部分学校模拟)已知2cos(2α+β)-3cos β=0，则tan αtan(α+β)等于( )
1 1
A.5 B. C.-5 D.-
5 5
【答案】D
【解析】已知2cos(2α+β)-3cos β=0，可变形为2cos(2α+β)=3cos β，
所以2cos(α+β+α)=3cos(α+β-α)，
即2cos(α+β)cos α-2sin(α+β)sin α
=3cos(α+β)cos α+3sin(α+β)sin α，
即5sin(α+β)sin α=-cos(α+β)cos α.
sin(α+β)sinα 1
所以 =- ，
cos(α+β)cosα 51
即tan(α+β)tan α=- .
5
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·景德镇期末)下列式子正确的是( )
1−tan215° 2❑√3
A. =
tan15° 3
1−cosα α
B. =tan
sinα 2
( π) 1+sin2α
C.cos2 α+ =
4 2
D.(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2
【答案】BD
1−tan215° 1−tan215° 2
【解析】 =2× = =2❑√3，选项A错误；
tan15° 2tan15° tan30°
1− ( 1−2sin2 α) 2sin2 α sin α
1−cosα 2 2 2 α
= = = =tan ，选项B正确；
sinα α α α α α 2
2sin cos 2sin cos cos
2 2 2 2 2
( π) ( π)
( π) 1+cos2 α+ 1+cos 2α+ 1−sin2α
cos2 α+ = 4 = 2 = ，选项C错误；
4 2
2 2
(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°
=1+tan(18°+27°)(1-tan 18°tan 27°)+tan 18°tan 27°=2，选项D正确.
( π) 5 3
8.(2026·连云港模拟)已知α，β∈ 0， ，cos(α+β)= ，sin(α-β)= ，则( )
2 13 5
12 4
A.sin(α+β)= B.cos(α-β)=-
13 5
63 tanα 7
C.sin 2α= D. =
65 tanβ 33
【答案】AC
( π) 12
【解析】对于A，因为α，β∈ 0， ，则α+β∈(0，π)，所以sin(α+β)=❑√1−cos2 (α+β)= ，故A
2 13
正确；
( π) 3 ( π)
对于B，因为α，β∈ 0， ，且sin(α-β)= >0，则α-β∈ 0， ，所以cos(α-β)=❑√1−sin2 (α−β)
2 5 2
4
= ，故B错误；
5
对于C，因为2α=(α+β)+(α-β)，所以sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]
=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)
12 4 5 3 63
= × + × = ，故C正确；
13 5 13 5 65
tanα
+1
sin(α+β) sinαcosβ+cosαsinβ tanα+tanβ tanβ 20 tanα 33
对于D，因为 = = = = ，则 = ，故D
sin(α−β) sinαcosβ−cosαsinβ tanα−tanβ tanα 13 tanβ 7
−1
tanβ
错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数f(x)=2sin x+cos x的最大值是 .
【答案】❑√5
1
【解析】f(x)=2sin x+cos x=❑√5sin(x+φ)，其中tan φ= ，由正弦函数的值域可得其最大值为❑√5.
2
( π) 3 (π )
10.(2026·成都模拟)已知sin α+ = ，则sin −2α = .
6 10 6
41
【答案】
50
( π) 3
【解析】由sin α+ = ，
6 10
(π ) [π ( π)]
得sin −2α =sin −2 α+
6 2 6
( π) ( π)
=cos 2 α+ =1-2sin2 α+
6 6
( 3 ) 2 41
=1-2× = .
10 50
四、解答题(共28分)
cos2θ−sin2θ+1
11.(13分)(1)化简： (θ为第二象限角)；(6分)
cosθ❑√1−sin2θ
(2)求值：sin 50°(1+❑√3tan 10°).(7分)
【解析】(1)因为θ为第二象限角，
所以sin θ>0，cos θ<0，
cos2θ−sin2θ+1 2cos2θ−1−2sinθcosθ+1
=
cosθ❑√1−sin2θ cosθ❑√(sinθ−cosθ) 2
2cos2θ−2sinθcosθ
=
cosθ|sinθ−cosθ|2cosθ(cosθ−sinθ)
= =-2.
cosθ(sinθ−cosθ)
(2)sin 50°(1+❑√3tan 10°)
( ❑√3sin10°)
=sin 50° 1+
cos10°
❑√3sin10°+cos10°
=sin 50°·
cos10°
2sin40° 2sin50°cos50°
=sin 50°· =
cos10° cos10°
sin100° sin(10°+90°) cos10°
= = = =1.
cos10° cos10° cos10°
❑√6 ❑√3
12.(15分)(2025·无锡期末)已知α，β均为锐角，且sin α= ，cos(α+β)=- .
3 3
(1)求cos β的值；(7分)
(2)求tan(2α-β)的值.(8分)
❑√6
【解析】(1)因为α为锐角，且sin α= ，
3
❑√3
所以cos α=❑√1−sin2α= ，
3
❑√3
因为cos(α+β)=- ，且0<α+β<π，
3
❑√6
所以sin(α+β)=❑√1−cos2 (α+β)= ，
3
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
❑√3 ❑√3 ❑√6 ❑√6 1
=- × + × = .
3 3 3 3 3
1
(2)由(1)知，cos β= ，又β是锐角，
3
2❑√2
则sin β=❑√1−cos2β= ，
3
sinα sinβ
所以tan α= =❑√2，tan β= =2❑√2，
cosα cosβ
2tanα
所以tan 2α= =-2❑√2，
1−tan2α
tan2α−tanβ 4❑√2
所以tan(2α-β)= = .
1+tan2αtanβ 7[每小题5分，共10分]
13.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的
一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α=sin(2α+α)可求得
sin 3α= (用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°= .
❑√5+1
【答案】3sin α-4sin3α
4
【解析】sin 3α=sin(2α+α)
=sin 2αcos α+cos 2αsin α
=2sin αcos2α+(1-2sin2α)sin α
=2sin α(1-sin2α)+(1-2sin2α)sin α
=3sin α-4sin3α，
因为sin 72°=sin 108°，
从而2sin 36°cos 36°=3sin 36°-4sin336°，
即2cos 36°=3-4sin236°=3-4(1-cos236°)，
令cos 36°=x，0<x<1，则4x2-2x-1=0，
❑√5+1 −❑√5+1
解得x= 或x= (舍去).
4 4
14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余
弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x ，y )，B(x ，y )，O为坐标原点，余弦
1 1 2 2
相似度为向量⃗OA，⃗OB夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1-cos(A，B).已知P(cos α，sin
1 1 π
α)，Q(cos β，sin β)，R(cos α，-sin α)，若P，Q的余弦距离为 ，Q，R的余弦距离为 ，且0<α<β<
3 2 2
，则cos 2α= .
2+❑√15
【答案】
6
【解析】⃗OP=(cos α，sin α)，⃗OQ=(cos β，sin β)，
⃗OP·⃗OQ
所以cos(P，Q)=
|⃗OP||⃗OQ|
cosαcosβ+sinαsinβ
=
❑√cos2α+sin2α·❑√cos2β+sin2β
=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)，
1
所以由题意得1-cos(α-β)= ，
3
同理可得，cos(Q，R)=cos(α+β)，
1
所以1-cos(α+β)= ，
21 2
解得cos(α+β)= ，cos(α-β)= ，
2 3
π
因为0<α<β< ，
2
π
所以0<α+β<π，- <α-β<0，
2
❑√3
所以sin(α+β)=❑√1−cos2 (α+β)= ，
2
❑√5
sin(α-β)=-❑√1−cos2 (α−β)=- ，
3
所以cos 2α=cos(α+β+α-β)
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
1 2 ❑√3 ( ❑√5) 2+❑√15
= × - × − = .
2 3 2 3 6
