立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练
1．（24-25 高一下·四川成都·期末）如图，已知四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD 为边长等于2 的正三角形，底面
ABCD 为菱形，
60
DAB
Ð
=
°，O 为AD 中点，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°．
(1)证明AD ^ 平面PBO；
(2)求点P 到平面ABCD 的距离；
(3)求二面角A
PB
C
-
-
的余弦值．
2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，PA ^平面
,
1,
3
ABC PA
AB
BC
PC
=
=
=
=
．
(1)求证：
^
BC
平面PAB ；
(2)记PC 的中点为G，求二面角G
AB
C
-
-
的大小．
考点一
线面垂直的判定
3．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PAD ^平面ABCD ，
PAD
△
为等边三角形，
PD
AB
^
，
/ /
AD
BC ，
4
=
AD
，
2
AB
BC
=
=
，M 为PA 的中点.
(1)证明：DM ^平面PAB ；
(2)求直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值.
4．（24-25 高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
3π
/ /
,
,
4
AD
BC
ABC
Ð
=
1
2
4,
AD
DD
BC
=
=
=
AB
CD
=
．
(1)证明：AB ^平面
1
1
CDD C ；
(2)求直线
1
1
AD 与平面
1
1
A DC 所成角的正弦值．
5．（24-25 高一下·湖北荆州·期末）如图所示，在四棱锥P
ABCD
-
中，已知
3
AC =
，
2
PA
BC
=
=
，PA ^底面
ABCD ，平面PAC ^ 平面PCD.
(1)求点A 到平面PCD的距离；
(2)证明：CD ^ 平面PAC ；
(3)若AB
AC
=
，求二面角P
BC
A
-
-
的余弦值.
6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，
90
ADC
Ð
=
° ，
3
AB
AD
PD
=
=
=
，且
2
DC
AB
=
uuur
uuur
，
2
CE
EP
=
uur
uur .
(1)证明：AD ^ 平面PDC ；
(2)求平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值.
7．（23-24 高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，四边形ABCD 是菱形，
1
5,cos
5
AB
BAD
=
Ð
=
，平面DBEF ^ 平
面
,
,
ABCD AB
DF DF
BE
^
∥
，且
2
2
DF
BE
=
=
.
(1)求证：BE ^ 平面ABCD ；
(2)求点B 到平面AEF 的距离．
8．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
PAD
△
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，底面ABCD 是等
腰梯形，且
/ /
BC
AD ，
2
2
AD
DC
CB
=
=
，
60
ADC
Ð
=
° ，
2
PC
BC
=
，M 为AD 中点．
(1)求证：PM ^ 平面ABCD ；
(2)求直线AB 与PD 所成角的余弦值；
(3)求平面BPC 与平面PCD夹角的正弦值．
1．（24-25 高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD ^平面ABCD ，
PAD
△
是边长为2 的等边
三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中
//
BC AD ，AB
AD
^
，
1
AB
BC
=
= ．
(1)求证：AB
PD
^
．
(2)求线段PA 中点M 到平面PCD的距离．
(3)线段PD 上是否存在一点E ，使得平面EAC 与平面DAC 夹角的余弦值为10
5
？若存在，求出PE
PD 的值；若不存
在，请说明理由．
2．（24-25 高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AC
AA
=
=
=
，
90
BAC
Ð
=
°，E ，F
分别为
1
C C ，BC 的中点．
(1)求证：
1
1
A B
B C
^
；
(2)求直线
1A B 与平面AEF 所成角的余弦值．
考点二
线面垂直的性质
3．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥V
ABC
-
中，
2
VA
VB
AB
AC
BC
=
=
=
=
=
，
1
VC = ．
(1)求证：AB
VC
^
；
(2)求直线VB 与平面AVC 所成角的正弦值；
(3)若
/ /
AB
a ，
/ /
VC
a ，用平面α 将三棱锥V
ABC
-
分为两部分，求截面面积的最大值．
4．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD 中，边长为a，E 为AB 中点，F 是边BC 上的动点，将
AED
△
，
BEF
△
分别沿着
,
DE ED 折起，使A，B 两点重合于点S.
(1)求证：SE
DF
^
；
(2)当F 是边BC 的中点时，将
AED
△
，
BEF
△
，DCF
分别沿着
,
,
DE ED DF 折起，使A，B，C 三点重合于点
S，求三棱锥SDEF 的外接球的表面积；
(3)
4
a =
，若
1
BF > ，设直线SE 与平面DEF 所成角为q ，求sinq 的最大值.
5．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，所有的棱长均相等，D 是AC 的中点，D 在上底面
1
1
1
A B C
的投影为
1
1
1
A B C
△
的重心O ．
(1)证明：AC
BO
^
；
(2)求平面ABC 与平面
1
1
A ACC 的夹角的正弦值．
6．（2025·甘肃白银·三模）如图，在五面体ABCEF 中，底面ABC 为等边三角形，AF ^底面ABC ，
//
AF BE ，
2
AB
BE
=
=
，
1
AF = ，D ，M 分别是AC ，BE 的中点．
(1)证明：BD
CF
^
；
(2)求平面CEF 与平面ACM 夹角的余弦值．
7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，AB
AD
^
，P 为棱
1
1
A B 上一点，且
PA
PB
=
，F 为CD 的中点.
(1)证明：AB
PF
^
；
(2)若
4
AB
AD
PD
=
=
=
，当直线PB 与平面PCD所成的角的余弦值为
2
2 ，且二面角P
CD
A
-
-
的平面角为锐角
时，求三棱锥B
APD
-
的体积.
8．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在四面体ABCD 中，
π ,
1,
2
ACD
BDC
AC
BD
CD
x
Ð
Ð
=
=
=
=
=
，记二面角
A
CD
B
-
-
为,
,
M N
q
分别为
,
AD BC 的中点.
(1)求证：MN
CD
^
；
(2)若
3
π
,
2
3
x
q
=
=
，求直线MN 与平面ABD 所成角的正弦值.
1．（24-25 高一下·山东威海·期末）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，侧面PBC 是边长为2 的等边三角形，AC
BC
^
，
E 、F 分别为AB 、BC 的中点．
(1)证明：
//
EF
平面PAC ；
(2)证明：平面PEF ^ 平面PBC ；
(3)若
3
AC =
，二面角P
BC
A
-
-
的大小为30o ，求PA ．
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是边长为3 的菱形，PA ^平面
ABCD ，
3
PA = ，
π
3
ABC
Ð
=
，点
,
M N 为线段PD 上的三等分点.
(1)证明：平面MBD ^平面PAC .
(2)求二面角A
BM
N
-
-
的余弦值.
考点三
面面垂直的判定
3．（24-25 高三上·山东·期中）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PCD ^ 平面ABCD ，AD
AB
^
，
/ /
AB
CD ,
1,
2,
2
AB
AD
CD
PD
PC
=
=
=
=
=
，点E 在棱PA 上，且
2
PE
EA
=
.
(1)求证:平面PAD ^平面DBE ;
(2)求平面PAB 与平面ABCD 所成角的大小.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在以
, ,
,
,
,
A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为
等腰祶形，
/ /
,
/ /
,
AB
CD CD
EF
2,
AB
DE
EF
CF
=
=
=
=
4,
10,
2 3
CD
AD
BC
AE
=
=
=
=
，M 为CD 的中点．
(1)证明：平面ABCD ^ 平面CDEF ；
(2)设点N 是
ADM
△
内一动点，
0
ND NM
×
=
uuur uuuur
，当线段AN 的长最小时，求直线EN 与直线BF 所成角的余弦值．
5．（2025·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
//
AD BC ，
2
2
4
BC
AD
AB
=
=
=
，
π
3
BAD
Ð
=
，
PBD
△
为等边三角形，直线PA 与平面ABCD 所成角的大小为π
4 ，点E 是棱PB 上的一点（不包含端点）.
(1)求证：平面ECD ^ 平面PBD；
(2)若二面角P
CD
E
-
-
的余弦值为5 7
14
，求线段PE 的长.
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是矩形，
90
PDC
Ð
=
° ，PA
PD
^
，
2
1
BC
AB
=
= ．
(1)求证：平面PAB ^平面PCD．
(2)若PA
PD
=
，求平面PAD 与平面PBC 的夹角的余弦值．
7．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥P
ABCD
-
的底面是直角梯形，
2,
1
AD
PA
DC
BC
=
=
=
= ，
/ /
AD
BC ，
90
BCD
Ð
=
°，且
,
.
PA
AB PD
CD
^
^
(1)证明：平面PAB ^平面ABCD ；
(2)求二面角B
PC
D
-
-
所成平面角的余弦值．
8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图（一），四边形ABEF 是梯形，
/ /
AF
BE ，AB
BE
^
，
2
AB
BE
=
=
，
3
AF =
，
C 为线段BE 的中点，
/ /
CD
AB 且交AF 于点D .四边形ABCD 沿CD 翻折，如图（二）所示，线段BE 的中点为G，
M 是线段AF 上一点，且C，D，M，G 四点共面.
(1)求证：平面ABE ^ 平面CDMG ；
(2)若
5
AF =
，求直线CM 与平面AEF 所成角的正弦值.
1．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥S
ABCD
-
中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥
,
BC AD
DC
^
，平面SAD ^
平面
,
ABCD P 为AD 的中点，
1
2,
1,
3
2
SA
SD
BC
AD
CD
=
=
=
=
=
.
(1)求证：SP
AB
^
；
(2)求直线BS 与平面SCD 所成角的正弦值；
(3)设M 为SC 的中点，求平面SPB 与平面PBM 的夹角余弦值.
2．（2025·江西新余·模拟预测）在棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
1
1
1
AAC C
A B C
^
平面
平面
，
1
1
2
AC =
，
1
1
1
1
2
A B
C B
=
=
，
1
1
5
AA
AC
=
=
，E，G 分别为线段
1
AC ，
1
B C 的中点，F 为直线
1
AB 与直线
1A B 的交点．
(1)求证：
1
1
EFG
AAC C
^
平面
平面
；
(2)求直线
1A B 与平面
1
1
AB C 所成角的正弦值．
考点四
面面垂直的性质
3．（2025·海南·模拟预测）如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ^ 平面
1
1
CDD C ，
1
2
AA
AB
AD
=
=
，
1
60
D DC
Ð
=
°，O，E 分别为CD，
1
1
AD 的中点．
(1)证明：
1
D O ^平面ABCD；
(2)求平面
1
AB E 与平面
1
1
AA B B 的夹角的余弦值．
4．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知
//
//
AD BC FE ，平面ABF ^ 平面ADEF ，AB
AF
^
，AF
AD
^
，
2
2
2
2
AD
BC
EF
AF
=
=
=
=
，点P 为梯形ADEF 内（包括边界）一个动点，且
//
BP
平面CDE ．
(1)求点P 的轨迹长度；
(2)当线段BP 最短时，直线BP 与平面BCEF 所成角q 的正弦值为
3
6 ，求三棱锥P
CDE
-
的体积．
5．（2025·安徽·三模）如图，矩形ABCD 中，
2
2
AD
AB
=
=
，E 为边BC 的中点，现将CDE
沿DE 翻折至
PDE
△
，
得四棱锥P
ABED
-
，且平面PDE ^ 平面ABED ，点Q 为线段AP 上一动点，且AQ
AP
l
=
uuur
uuur
．
(1)求证：PD
EQ
^
；
(2)当
1
2
l =
时，若点A 关于平面DEQ 的对称点为F ，求直线AF 与平面ABED 所成角的正弦值．
6．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PAD ^平面
//
ABCD
AB CD
AB
AD
^
，
，
，
2
4
AC
BP
AD
AB
CD
^
=
=
=
，
.
(1)证明：
PAD
△
是等腰三角形.
(2)若平面PAB ^平面PBC ，求点A 到平面PBC 的距离.
7．（2025·安徽合肥·三模）如图，三棱锥A
BCD
-
中，
2
DB
DC
BC
=
=
=
，
7
AD =
，
5
AB =
，平面ABC ^ 平
面DCB ，E 是BC 中点，且满足EF
DA
=
uuur
uuur .
(1)证明：AE
BC
^
；
(2)求二面角D
AB
F
-
-
的正弦值.
8．（2025·天津·一模）在直角梯形ABCD 中，已知
/ /
AD
BC ，
1
AD
AB
=
= ，
90
BAD
o
Ð
=
，
45
BCD
Ð
=
o ，
AE
BD
^
.将
ABD
△
沿对角线BD 折起，记折起后点A 的位置为P 且使平面PBD ^平面BCD.
(1)求三棱锥P
BCD
-
的体积；
(2)求平面PBC 与平面PCD所成夹角的大小.
