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专题一 数列（解答题11 种考向）
1
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考向一 等差数列和等比数列
【例1-1】（2025·河南·模拟预测）已知项数为
的数列
满足：
且
．
(1)若
为等比数列，求
的值；
(2)若
是等差数列，求公差
的值．
2
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【例1-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列
为等差数列，
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【例1-3】（2025·广东惠州·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
，并比较
与
的大小.
3
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【例1-4】（2024·湖北黄冈·一模）设
为数列
的前
项和，满足
．
(1)求证：
；
(2)记
，求
．
考向二 数列中求通项、求和的方法
【例2-1】（24-25 高三下·湖南·开学考试）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前
项和
.
4
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【例2-2】（24-25 高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前
项和为
；
(3)求数列
的前
项和.
【例2-3】（2021·天津和平·二模）已知等比数列
是递减数列，
的前n 项和为
，且
，
，
成
等差数列，
.数列
的前n 项和为
，满足
，
.
(1)求
和
的通项公式；
5
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(2)若
，求
【例2-4】（2024·广东）在数列
中，已知
，
，记
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)记______，数列
的前n 项和为
，求
．
在①
；②
；③
三个条件中选择一个补充在第（2）
问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考向三 数列与三角函数的综合
【例3-1】（2024 海南）已知函数
的最小正周期为6．
(1)已知△
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，若
，
，求
的值；
6
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(2)若
，求数列
的前2022 项和
．
【例3-2】（2025 云南）已知函数
，
(1)求
的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若
在区间
上的根按从小到大的顺序依次记为
求数列
的通项公式及其前n 项
和
．
【例3-3】（2024 宁夏）已知
的三个内角
、
、
的对边分别为
、
、，内角
、
、
成等差数
7
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列，
，数列
是等比数列，且首项、公比均为
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
．
考向四 数列与统计概率综合
【例4-1】（24-25 高三上·辽宁丹东·期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教
练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为
，抽到乙练习的概率为
，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为
，抽到丙练习的概率为
，每次丙练习后，系统抽到甲练习的
概率为
，抽到乙练习的概率为
，直到这天练习结束，一共练习了n（
，
）轮，已知练习从甲开
始.
(1)当
时，求甲一共参与练习次数X 的分布列与期望；
(2)求第n 轮为甲练习的概率.
8
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【例4-2】（2025·安徽·模拟预测）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1 或2 时得1 分，掷得的点数为3，
4，5，6 时得2 分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2 次骰子，最终得分为
，求随机变量
的分布列与期望；
(2)设最终得分为
的概率为
，证明：数列
为等比数列，并求数列
的通项公式.
（提示：请结合数列的递推关系求解）
【例4-3】（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3 种套餐，小王第一次选择A，B，C 三种套餐的概率相等，
若某次选择A 之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B 套餐之后，下一次只会在B，
C 两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C 套餐之后，以后只会选择C 套餐，根据以上规则回答下列问题：
(1)试写出第n 次选择时，小王选A 套餐的概率表达式，并求出第3 次选择B 套餐的概率.
(2)试写出第n 次选择时，小王选B 套餐的概率表达式，并求出选A 套餐的均值.
9
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【例4-4】（24-25 高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进
行了问卷调查，据统计，其中
的人计划只参观黄鹤楼，另外
的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游
客若只参观黄鹤楼，则记1 分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2 分．假设每位首次来武汉旅游的游客计
划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2 人，记这2 人的合计得分为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n 人
，记这n 人的合计得分恰为
分的概率为
，求
；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为
，求数列
的通项公式．
考向五 数列与导数综合
【例5-1】（2024·浙江·一模）已知数列
的首项是1，其前
项和是
，且
，
.
(1)求
，
的值及数列
的通项公式；
(2)若存在实数
，使得关于
的不等式
，
有解，求实数
取到最大值时
的值.
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【例5-2】（24-25 高三上·山西吕梁·期末）如图，在横坐标为
的点处作
的切线，该切线与
轴的交点为
；在横坐标为
的点处作
的切线，该切线与
轴的交点为
；一直继续下去，得到数列
．
(1)求证：
；
(2)若函数
，记
．
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由．
【例5-3】（24-25 高三上·浙江金华·期末）已知数列
是等比数列，满足
，且
，
，
成等差
数列，数列
满足
，记数列
的前
项和为
，
11
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(1)求
；
(2)求数列
的前
项和；
(3)记
，若
恒成立，求
的值.
【例5-4】（24-25 高三上·河南周口·期末）已知函数
，点
均为曲线
图象上的
点，且
，
，
.
(1)当
时，证明：
是等比数列；
(2)求
的取值范围；
(3)证明：直线
的斜率随
的增大而增大.
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考向六 数列与解析几何的综合
【例6-1】（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知正项数列
的前
项之和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若点列
是曲线
在第一象限上的点，点
的横坐标为
，点
到原点的距离为
，求数列
的通项公式，并证明：
.
【例6-2】（2025·浙江温州·模拟预测）已知双曲线
过点
，其渐近线的方程为
．按照如下方式依次构造点
；过右支上点
作斜率为1 的直线与C 的左支交于点
，
过
再作斜率为
的直线与C 的右支交于点
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)用
表示点
的坐标；
(3)求证：数列
是等比数列．
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【例6-3】（2025·福建·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，
为抛物线C 上的一
个动点（不与坐标原点重合），
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知点
，按照如下方式构造点
，设直线
为抛物线C 在点
处的切线，过点
作
的垂线交抛物线C 于另一点
，记
的坐标为
．
（ⅰ）证明：当
时，
；
（ⅱ）设
的面积为
，证明：
．
【例6-4】（2025·陕西渭南·一模）已知双曲线
．点
在
上．按如下方式构造点
．
过点
作斜率为
的直线与
的下支交于点
．点
关于
轴的对称点为
．记点
的坐标为
(1)求
的值：
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(2)记
．证明：数列
为等比数列；
(3)记
的面积为
．证明：
是定值．
考向七 插项数列
【例7-1】（24-25 高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列
的前n 项和为
，
(1)求数列
的通项公式;
(2)在数列
的相邻项
与
之间插入k 个相同的数
，使其与原数列构成新数列
，设
为
数列
的前n 项和，求
.
【例7-2】（2024 陕西）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
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(2)在
和
之间插入n 个数，使这
个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为
，求数列
的前
n 项和
．
【例7-3】（24-25 高三上·天津南开·期末）已知等差数列
的前
项和为
，数列
是等比数列，满足
，
，
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)对任意的正整数
，设
，求
；
(3)若对于数列
，在
和
之间插入
个
，组成一个新的数列
，记数列
的前
项和为
，
求
.
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【例7-4】（24-25 高三上·天津滨海新·阶段练习）已知数列
是公差为1 的等差数列，且
，数列
是等比数列，且
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
：
(3)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，若
对
恒成立，求
实数
的取值范围.
考向八 数列中的存在性问题
【例8-1】（2024 江西）已知数列
满足：
.
(1)当
时，求数列
中的第10 项；
(2)是否存在正数
，使得数列
是等比数列，若存在求出
值并证明；若不存在，请说明理由.
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【例8-2】．（24-25 高三下·全国·开学考试）记数列
的前n 项和为
，已知
，
(1)求
的通项公式;
(2)是否存在m 和k，使得
是
和
的等差中项?若存在，求出m 和k 的值;若不存在，请说明理由.
【例8-3】（2024·广东·二模）在数列
中，
，
都有
，
，
成等差数列，且公差为
.
(1)求
，
，
，
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)是否存在
，使得
，
，
，
成等比数列.若存在，求出
的值；若不存在，说明
理由.
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【例8-4】（2024·山东·模拟预测）已知数列
，
，
的首项均为1，
为
，
的等差中项，且
．
(1)若数列
为单调递增的等比数列，且
，求
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和
，数列
的前
项和为
，是否存在正整数
使
对
恒成立？
若存在，求出
的最大值；若不存在，请说明理由．
考向九 数列与二项式定理的综合
【例9-1】（2023·江苏无锡·校联考三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
.
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(1)求
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，求
除以3 的余数.
【例9-2】（2024·江苏）已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)集合
，将集合
的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为
，求
．
【例9-3】（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列
的前
项和为
，满足
.等差
20
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数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)将数列
满足__________（在①②中任选一个条件）的第
项
取出，并按原顺序组成一个新的数列
，
求
的前20 项和
.①
，②
，其中
.
考向十 数列中求参数
【例10-1】（24-25 高三上·河北·期末）数列
满足：
，
.
(1)求数列
通项；
(2)
恒成立，求m 最小值.
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【例10-2】（23-24 吉林长春·阶段练习）设正项数列
的前
项之和
，数列
的前
项
之积
，且
．
(1)求证：
为等差数列，并分别求
，
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，不等式
对任意正整数
恒成立，求正实数
的取值范围．
【例10-3】（2024·广东韶关·一模）设数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
和
之间插入1 个数
，使
成等差数列；在
和
之间插入2 个数
，使
成等
差数列；依次类推，在
和
之间插入
个数
，使
成等差数列.
（i）若
，求
；
（ii）对于（i）中的
，是否存在正整数
，使得
成立？若存在，求出所有的正整数对
；若不存在，说明理由.
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【例10-4】（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项
为1 的递增数列，若
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)求使得
成立的最大整数
．
考向十一 新定义数列
【例11-1】（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列
满足：对于
，
，其中A 为常数，则
称数列
为“A 数列”．
(1)若等比数列
为“A 数列”，求
的公比q；
(2)若数列
为“A 数列”，且
，
．
23
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①求证：
；
②若
，且
是正项数列，
，求满足不等式
的
的最小值．
【例11-2】（2024·安徽·模拟预测）若数列
满足：
，若存在
，都有
，则称这个数列
为下界数列，并把其中最小的值
叫做临界值，记为
.
(1)记数列
前
项和为
，证明：数列
是下界数列；
(2)记数列
前
项和为
，判断数列
是否为下界数列，并说明理由；
(3)若数列
是首项及公比均为2 的等比数列，记
，数列
的临界值为
，证明：
．
【例11-3】（2025·福建厦门·一模）若数列
满足数列
是等差数列，则称
为“绝对等差数列”，
24
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的公差称为
的“绝对公差”．
(1)若“绝对等差数列”
的“绝对公差”为2，且
，求
的值；
(2)已知“绝对等差数列”
满足
，
，且
的“绝对公差”为1，记
为
的前n 项和．
（ⅰ）若
，求
；
（ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在
，使得
．
【例11-4】（24-25 高三上·浙江嘉兴·期末）若数列
满足如下两个条件：①
是1，2，3，
，
的一个全排列;②
或
，k 为常数且
则称数列
为“
数列”.
(1)请写出所有的“
数列”;
(2)证明：k 是奇数;
(3)当
时，求k 的最大值，并说明理由.
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