第十九章 实数（举一反三讲义）全章题型归纳
2024
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1 !"# ! ........................................................................................................................5
2 $% !"# !& ' ............................................................................................................5
3 ( !"# ! ) ........................................................................................................................6
4 *+,-. ............................................................................................................................................6
5 /0+,1. ........................................................................................................................................7
23 ...................................................................................................................................................................7
6 .4 !,56789 ....................................................................................................................7
7 *+,:;<= ....................................................................................................................................8
8 >+?@A;+?@ ........................................................................................................................8
9 *+B+CDE-% ............................................................................................................................9
10 *+-.,F% ..................................................................................................................................10
知识点1 算术平方根和平方根的区别与联系
x
a, x²=a
x
a
χ
a, x²=a
x
a
!
"#
#$
%&'
()*+,-#
./0
a ( 𝑎
a ./( ±
𝑎
12
3456
𝑎7#89:,;
𝑎≥0
𝑎≥0
a <<,
<( 0
=>
?@A
BC
D
=>
E 0
0 FGB 0
知识点2 开平方
1. HI
a J
K
a LK.
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2.KF12M=>
1)KN
LK a OPB:,.
2)B
BKQ+KB
RJ
BIST.
3)FK'(UJ
<VWJXYZKQB[\.
知识点3
𝐚²与𝐚𝟐的性质
]^
;_
/`
𝒂²
𝒂𝟐=|𝒂|= 𝒂G𝒂≥𝟎H
−𝒂G𝒂< 𝟎H
62=|6|=6
(−6)2=|−6|=6
𝒂𝟐
( 𝐚)𝟐 = 𝐚G𝐚≥𝟎H
( 6)
2 =6
知识点4 立方根和平方根的不同点和相同点
a
x a
a,𝑥3=aI x
a a b
!
x
a, x²=a, x
a
!
c
a #d"#
a
aB
,
aB,
#$
%&
'()*+,-#
./0
3 𝑎
±
𝑎
12
𝑎3456
ef
𝑎≥0
)gh
E 0
0 B 0
0 aB 0
知识点5 开立方
1. JK+ a ,# !,-.LMN# IOP a LMQN +.
2.N AN# ,RS
N
N#
-.T
±
3
QN +
:,
UV+
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K+
0 "#
+
#$+,-#
efaG"#
知识点6 无理数
/WXYZ;+LM/0+[
/0+,\]^_`abcd
G1HN NXe,+,fF !g/0+Ih 2I
3 5ij
G2HklmπnJop`π,+,h 2πI
π
2ij
G3Ha/WXYZ;+^_qr,+,h 0.101 001 000 1…GsK 1 tuvwxJK 0)i[V/0+,;
+?@y+/Wj/0+,;+?@XYZj/0+Xz{|}@+,^_[
知识点7 实数的概念及分类
1. ~
`0+A/0+*+[
2. @
*+`sd@
G1H@
*+@`0+A/0+[
G2H89@
*+@*+"0"8*+[
知识点8 实数与数轴的关系
>+
@+
8>+
8@+
*+
*+
8*+
`0+
/0+
8`0+
8/0+
0
*+
`0+
0
/0+
`0+
8`0+
/0+
8/0+
`W;+YZ;+
/WXYZ;+
>+
@+
8>+
8@+
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JK*+a%+C,JK{|jI+C,JK{|JK*+[*+B+C
,JJF.
知识点9 实数范围内的有关概念
9
f+
a B b f+I𝑎+ 𝑏= 0
3,f+g−3
+
a B b +I𝑎𝑏= 1
2 ,+g
1
2
U*+,)g78+I|𝑎| ≥0
|𝑎|
𝑎(𝑎> 0)
0(𝑎= 0)
−𝑎(𝑎< 0)
)
f+,sK+,)fiI|𝑎| = |−𝑎|
| 2| = |−2| =
2
知识点10 实数的运算
*+¡¢£IX¤a¥¦§"¨"©"ªGª+X«H"© -.I¬a¥¦N# -.an
78*+,N -.[
`0+,-.9A-.® *+¡¢£¯°±%I*+²E-.,³´B`0+²E-.,³´fµI
¶© "N I·©ªI¸¹§¨[µº-.»¼½¾,³´¥¦I`¿ ,¶.¿ ÀÁ,[
知识点11 实数的大小比较
`0+:;<=,  *+¡¢£¯°±%[
s*+,:;Ãhb
*+:Ä 0I8*+;Ä 0I*+:ÄJÅ8*+jsK*+I)
:,*+:jsK8*+I):,8*+;j +C{|,sK*+I¾Æ,+Ç<¼Æ,+
:[ÈÉI<=s*+,:;Ê`hb Â
G1HË<=s*+, ,:;I¥¬Ì*+,:;Ã[h<= 10B 3 ,:;I(Ä( 10)
2 = 10
，32 = 9，10 > 9IÍ 10 > 3[
G2H%1., Â r/0+,ÎÏ)¹I·<=s+,:;[
G3HÐsKÑ! ,/0+<=:;ÒIF%hbÓÔ
① 𝑎> 𝑏≥0⇔𝑎>
𝑏[
② 𝑎> 𝑏⇔
3 𝑎>
3 𝑏[
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【培优篇】
【题型1 直接求平方根、立方根】
1G24-25 ÕÖºb·×ØÙÚ·ÛÜHbÝÞÂPßà,gG H
A[ 5g 5 ,.4 !
B[0 , !A# !g 0
C[ 9, !g±3
D[−3g(−3)2,JK !
á_ 1-1G24-25 ÕÖºb·âãäØå·æçèéH−
8
27,# !g j 4,.4 !g [
á_ 1-2G24-25 ÕÖºb·êë·ìÛíîHG1Hï{
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
3 𝑎
G2H!ðñòó,ô®ïõ
①
3 3 = 1.442I
3 3000 = ______I
3 0.003 = ______j
②ö÷
3 343 = 7I
3 0.000343 = ______[
á_ 1-3 a"b f+Ic"d 8+I 𝑎2−𝑏2 +
3 𝑐𝑑=
.
【题型2 利用求平方根、立方根解方程】
2G25-26 øÖº·êë·ù¹íîHÄ*+𝑎,𝑏IJd-.“ ⊕”
𝑎⊕𝑏= 𝑎2−2𝑏[Ä𝑥,
'(𝑥+ 1) ⊕ 8 = 0,&
[
á_ 2-1G24-25 ÕÖºb·úåûü·æçèéH bÝý_P, x[
(1)𝑥2 = 81j
(2)(𝑥+ 1)3 = −27[
á_ 2-2G24-25 ÕÖºb·þåÿĀā·ÛÜHĂă '(2𝑥−1)2−16 = 9, x ,)
[
á_ 2-3G24-25 ÕÖºb·Ąą·ÛPH bÝ 'P x ,)
(1)2𝑥2 = 50j
(2)
1
3(𝑥+ 1)2 = 3j
(3)(2−𝑥)3 = 64j
(4)64(𝑥+ 1)3−125 = 0
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【题型3 由平方根、立方根求值】
3G24-25 ÕÖºb·×ØĆć·æçèéHö÷|𝑎−6|B 𝑎+ 2𝑏f+I𝑐+ 5,# !g 2I
𝑎−2𝑏−𝑐, ! [
á_ 3-1ö÷ x ,sK !g𝑎+ 3B2𝑎−15I2𝑏−1,.4 !g 3[
(1) 𝑎,𝑏,𝑥,)j
(2) 𝑎+ 𝑏−1,# ![
á_ 3-2G24-25 ÕÖºb·ĈĉĊ¼·æçèéHö÷3𝑎+ 1,sK !@Sg7−𝑚A2−2𝑚I9 + 𝑏,
# !g 2[
(1) 𝑚I𝑎I𝑏,)j
(2) 7𝑎−𝑏, ![
á_ 3-3G24-25 ÕÖºb·ċĉČč·ÛÜHö÷2𝑎+ 1, !g ± 3.3𝑎+ 2𝑏−4,# !g−2I
(1) 𝑎A𝑏,)j
(2) 3𝑎+ 𝑏, !
【题型4 实数的运算】
4G24-25 ÕÖºb·ĎďĐ·ÛPHđ 1I 2I 3I 6hĒ _ēÝIô(𝑚,𝑛){|Ĕ𝑚ē»
¼ĕ¾Ĕ𝑛K+I(5,4)B(12,4){|,s+tĖg
.
á_ 4-1G2025 ėÖº·êë·ĘèéHę.
16−(−1)2025−
3 27−|1−2|[
á_ 4-2G24-25 ėÖº·úåĚĐ·ÛÜHô
[𝑚]{|Xě𝑚,¸:>+I{𝑚}{|𝑚,;+?@I
[𝑚] + {𝑚} = 𝑚IOP𝑚*+[h[3.14] = 3I{3.14} = 0.14I[3.14] + {3.14} = 3.14[ę.
[−3]−{ 5}
=
[
á_ 4-3G24-25 ÕÖº·Ĝċĝã·ÛPHK'´ç(ĞğĠġĢ}IģĤĥęĦJç-.'´h
Ē
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h
ÐħĨ x ,)−1ÒIę.Óĩ 3 < 4jđħĨ)á(−1) +1Ī0Ię.Óĩ 6 < 4j·đħĨ
)áĦ0 + 1 = 1IīĬ-.I ½ę.ÓĩX;Ä 4IĭħrĮÓĩ[
įİıbÝIJ[
(1)ÐħĨ x ,) 5Iħr y ,)gxijĴįÝ_ę.[
(2)ÐĵĶħĨ x ,) 1IįËę.Þķĸcw'´-¦¹ĭzħr y[
【题型5 无理数的估算】
5G24-25 ÕÖºb·ĹĺĻļ·ÛÜH:Ľ°gľ,ĥęĤIĿgJŀ;;,ŁłIŃńpŅ“ľ
”[hĒI
𝐵𝐶
𝐴𝐵,) ÎņŇ<
5−1
2 IbÝ1.Ì,gG H
A[0 <
5−1
2
<
2
5
B[
2
5 <
5−1
2
<
1
2
C[
1
2 <
5−1
2
< 1
D[1 <
5−1
2
< 2
á_ 5-1G24-25 ėÖºb·ċňʼnŊ·æçèéHö÷432 = 1849I442 = 1936I452 = 2025I462
= 2116[𝑛>+𝑛<
2022 < 𝑛+ 1I𝑛,)G H
A[43
B[44
C[45
D[46
á_ 5-2G24-25 øÖº·ċňʼnŊ·ÛPH𝑎<
23 < 𝑏I𝑎"𝑏ŋĬ>+I𝑎+ 𝑏=
á_ 5-3G24-25 ÕÖºb·þŌō×·ÛÜHö÷𝑘<
17−1I𝑘>+I𝑘,)ag
GqrJKH[
【拔尖篇】
【题型6 算术平方根的双重非负性】
6G24-25 ÕÖºb·úŌŎŏ·æçèéHö÷ aIb *+I𝑏=
𝑎−8−8−𝑎+25I
3 𝑎+
𝑏,
)G H[
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A[10
B[9
C[8
D[7
á_ 6-1G25-26 ėÖº·êë·ŐőèéH𝑎+
𝑎−3 = 3I 𝑎+ 3,)[
á_ 6-2G24-25 ÕÖºb·âãâĐ·ÛPHö÷|𝑎−3| +
3 + 𝑏= 0I
𝑎
𝑏
2025
= G H
A[1
B[−1
C[2
D[−2
á_ 6-3G2025 ėÖºb·úŌ·ĘèéHö÷7«*+ aIb Ăă|2𝑎−4| + |𝑏+ 2| +
(𝑎−4)𝑏2
+4 = 2𝑎I𝑎+ 𝑏=
[
【题型7 实数的大小比较】
7G24-25 ÕÖºb·ĄąŒœČ·ÛPH<=:;
11 3j−5 −2j
5+1
2
3
2[Gï“ > ”"
“ = ”“ < ”H[
á_ 7-1G24-25 ÕÖºb·×ØŔã·ÛPH𝑎=
3 7I𝑏=
5I𝑐= 2I aIbIc ,:;ÃG H
A[𝑏≤𝑐< 𝑎
B[𝑏< 𝑎< 𝑐
C[𝑎< 𝑐< 𝑏
D[𝑎< 𝑏< 𝑐
á_ 7-2G25-26 ėÖº·êë·ŐőèéH<= 65−2B 10 +2,:;[
á_ 7-3G25-26 ėÖº·êë·ŐőèéH<=bÝýĢ+,:;
(1)
1
2B
10
6 j
(2)
6−1
2 B 1[
【题型8 求整数部分和小数部分】
8G24-25 ėÖº·þåČŕ·æçèéH 3,>+?@ aI;+?@ bI4−3,>+?@
cI;+?@ dI
𝑏+𝑑
𝑎𝑐,)G H
A[
1
2
B[
1
4
C[
3−1
2
D[
3+1
2
á_ 8-1G24-25 ÕÖºb·ĈØĈã·ÛPH6 +
5,>+?@g𝑚I;+?@g𝑛I|𝑛−𝑚|G H
A[ 5−10
B[10−5
C[ 5−6
D[6−5
á_ 8-2G24-25 ėÖº·úåĚĐ·ÛÜHô
[𝑚]{|Xě𝑚,¸:>+I{𝑚}{|𝑚,;+?@I
[𝑚] + {𝑚} = 𝑚IOP𝑚*+[h[3.14] = 3I{3.14} = 0.14I[3.14] + {3.14} = 3.14[ę.
[−3]−{ 5}
=
[
á_ 8-3G24-25 ÕÖºb·ĈØċŖ·æçèéHö÷*+8 +
13,>+?@𝑎I;+?@g𝑚j*+
9−13,>+?@𝑏I;+?@g𝑛[
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(1) qr𝑎I𝑚I𝑏I𝑛,)j
(2) 12𝑚+ 12𝑛+
𝑎+ 𝑏−7,), !j
(3)
3 (𝑚+ 𝑛)2025 +(𝑎−2𝑏)+ 6,)[
【题型9 实数与数轴综合运用】
9G24-25 ÕÖºb·þŌŗŘř·ÛÜHŚøś.4ŜPŝŞ4ş
“ŝŞýĽ©IŠ¬N ªtI
š”I𝑐=
𝑎2 + 𝑏2G𝑎“ŝ”I𝑏“Ş”I𝑐“š”H“ŝ”2I“Ş”3I“š” hĒŢ|+C{|
G
H
A[𝐴
B[𝐵
C[𝐶
D[𝐷
á_ 9-1G24-25 ÕÖºb·ţڍ׷ÛPHhĒI ^𝐴𝐵𝐶𝐷,Áť 7IŦ A +C{|,+
−1I E +CG E A ,¼ŧHI𝐴𝐷= 𝐴𝐸I E Ţ{|,+
[
á_ 9-2G24-25 ėÖºb·ŨĻċũŪċ·ÛÜH*+𝑎I𝑏 +C,yūhĒŢ|IŬŭ
|𝑎+ 1|−(𝑏−1)2
+
(𝑎−𝑏)2 =
[
á_ 9-3G24-25 ÕÖºb·úå\Ŕ·ÛPHhĒIËŮÆû 1 , ^Iůz
Ì,Ű 2{| +
C𝐴1űIŲ𝐴1¾ŧ¸Î,>+𝐵1Ia𝐵1kųI𝐴1𝐵1ŴŵŮŴkIŶ+CÄ𝐴2IŲ𝐴2¾ŧ
¸Î,>+𝐵2Ia𝐵2kųI𝐴2𝐵2ŴŵŮŴkIŶ+CÄ𝐴3IhÈīĬI𝐴2026𝐵2026,û
[
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【题型10 实数运算的应用】
10G24-25 ÕÖºb·úåûü·æçèéHŷĤŸ`JKŹť200cm3,źŻżŽIŷĤŸžſđƀ
KźŻƁŬŠ6ČƂƃ}Č,^Ƅ[
(1)đżŽ6ČƂƃ}JKƅÁ ^"Ɔ8cm,û ŹI û ŹƅÁ ^,Æû[
(2)ŷĤŸóđżŽƂƃ}ƇK:;fµ, ŹźŻIíƈ}¹Ɖb,莏ť8cm3I í},
JK; ŹźŻ,Ɗû[
á_ 10-1G24-25 ÕÖº·Ĝċ·ÛPHhĒIJKƅÁŴŵ3cm,Ƌƌ£ƍŅJoƎƏ[ÐƋƌ
ƐÒIƋ£ƎƏ,ƆƑ16cmjƐÒIõč?@,ƆƑ4cm[Ƌ£,ƎƏƒĂ 2 KJƓ:,
ŹƔƕGπƖ 3IƔƕ,ƗƑXęH[
(1)ĮƋƌ,ƔťGƍĂÒƎƏ,ŹťHgxij# ƘƙĴ
(2) ŹƔƕ,ƊûgxijƘƙĴ
á_ 10-2Jƚƛù¹IĦ{Ɯ ìÛvƝƞƟƈ}+ íî,;ƠA;ơµ I+ ģĤƢ
ƣÉƤ ƥ 2 ƦƧƨg 16 Ʃ,ƪƫƬƭƮƯ[»ƪƫā½ ƛ,ưƱƧƲƳƴ 1.6 ƩI(
Ä+ ģĤgĮ ƥ,ƵƶIƷÈƧaĿ%JK ƥƸƳ, 5 Ʃ ƥƹƺưƱƧ,Çƨ¨ƻ 5
ƩGƱƧÇƨXpƲƳƴIµJƱƧƼƽƾĿ%JKƹƺH[ƿ!ðĮƪƫā,ǀǁǂIÐƱƧÇƨGX
pƲƳƴHĂ 30 ƩÒI5 Ʃ, ƥƹƺǃDŽJK 7 Ʃ,āDžƹƺIadžƱƧÇƨGXpƲƳƴH
¨ƻ 7 ƩÐ+ ģĤµÒĦ 2 Ʀƪƫ
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