第 27 讲 平面向量的坐标法
1.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x,y)，b＝(x,y)，则a＋b＝ ( x ＋ x , y ＋ y)，a－b＝ ( x － x , y － y)，λa＝ ( λx , λy )，|a|＝.
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x,y)，B(x,y)，则＝ ( x － x , y － y)，||＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
2.平面向量数量积的坐标表示
(1)两向量的数量积的坐标表示
已知a=(x,y),b=(x,y),则a·b= xx+y y .即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
1 1 2 2 1 2 1 2
(2)平面向量长度(模)的坐标表示
①若a=(x,y),则|a|=❑√x2+ y2.即向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.
②若点A(x,y),B(x,y),则⃗AB=(x-x ,y-y ),|⃗AB|=❑√(x -x ) 2+(y - y ) 2,即A,B两点间的距离为
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
❑√(x -x ) 2+(y - y ) 2.
2 1 2 1
(3)平面向量夹角的坐标表示
设a,b都是非零向量,a=(x,y),b=(x,y),θ是a与b的夹角,则 .
1 1 2 2
(4)两向量垂直的坐标表示
设非零向量a=(x,y),b=(x,y),则a⊥b xx+y y=0.
1 1 2 2 1 2 1 2
⇔
3.向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．
(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b ＝
⇔x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0(x
2
≠0，y
2
≠0)．
⇔
(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b a·b＝0 xx＋yy＝0．
1 2 1 2
(4)求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝＝.
⇔ ⇔
4.常用结论
(x +x y + y )
(1)已知P为线段AB的中点,若点A(x,y),B(x,y),则点P的坐标为 1 2, 1 2 .
1 1 2 2
2 2
x +x +x y + y + y
(1)已知△ABC的顶点A(x,y),B(x,y),C(x,y),则△ABC的重心G的坐标为 1 2 3, 1 2 3 .
1 1 2 2 3 3
3 3
(3)若点A(x,y),B(x,y),若以 为直径的圆的方程为： .
1 1 2 2考点一 坐标公式法解决平面向量共线垂直问题
考点二 利用坐标运算法求平面向量数量积
考点三 坐标公式法求平面向量的模
考点四 坐标法求平面向量夹角
考点五 建系坐标法求平面向量问题
考点一：坐标公式法解决平面向量共线垂直问题
例1．已知 ， ， ， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知 与 为两个不共线的单位向量，若向量 与向量 垂直，则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．
考点二：利用坐标运算法求平面向量数量积
例3．已知 ， ，其中 ．满足 ，则 （ ）
A． B． C．9 D．22
考点三：坐标公式法求平面向量的模
例4．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点四：坐标法求平面向量夹角
例5．已知向量 ， ，若 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
考点五：建系坐标法求平面向量问题
例6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方形ABCD中，已知| |=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则 的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
一、单选题
1．已知向量 ， ， .若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．-2
2．已知向量 ， ，且 ，则 在 方向上的投影是（ ）
A． B．-11 C． D．11
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则实数λ的
值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
4．设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．10
5．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若 ，且 ， ，则 的最大值
是（ ）A． B．
C． D．
7．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
9．已知向量 ，则向量 在 方向上的射影为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 的顶点坐标分别为 、 、 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知边长为 的正方形 ，点 满足 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知点 是 所在平面内一点，若 ，则 与 的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
13．如图所示，正六边形 的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则 的取值范
围为（ ）A．[2，6] B．[-2，6] C．[4，12] D．[-4，12]
14．已知梯形ABCD 中， ， ， ， ， ，点P，Q在线段BC上移动，
且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
15．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知向量 ， ，且 ，则
______．
16．单位向量 与 夹角为90°，则 _________．
17．（2023·四川遂宁·统考二模）已知 ， ， ，则实数 ______.
18．（2023·甘肃·统考一模）已知向量 ，若 与 共线且方向相反，则
___________.
19．已知向量 ， ，若 ，则 的值为___________.
20．（2023·江西吉安·统考一模）已知向量 、 的夹角为 ， ， ，则 的坐标为
___________.
21．已知平面向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围为____________.
