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第二章 函 数
§2.10 函数的零点与方程的解
【高考考向预测】
近三年高考函数零点与方程的解考查频次较高，多以选择填空为主，也常融入函数综合题，
重点考查零点存在定理、零点个数判断、零点区间确定及数形结合转化交点问题，常结合各类基
本函数联合出题；预测2027 年仍为热门考点，命题更侧重含参零点问题、分段函数零点分析与零
点范围探究，强化函数与方程思想运用，注重结合不等式、导数综合设问，侧重逻辑分析与数形
结合解题能力。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ( )
(2)连续函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0. ( )
(3)连续函数y=f(x)在区间(a，b)上单调，则f(x)在区间(a，b)上有一个零点. ( )
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法. ( )
2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
3.(2026·沈阳模拟)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如表.
x 1 1.5 1.75 1.875 2
y -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158
则f(x)在[1，2]上的零点( )
A.只有1个 B.至少有2个
C.至多有2个 D.只有2个
4.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 026的所有零点之和为 .【核心梳理●明考点】
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y=f(x)，我们把使 f ( x )=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与 x 轴 有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，函数y=f(x)
在区间 ( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c )=0 ，这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f ( a ) f ( b )<0 的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分
为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，
而是方程f(x)=0的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)连续函数f(x)在区间[a，b]上，若满足f(a)f(b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论.
【题型突破●明方向】
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)(2025·天津)函数f(x)=0.3x-❑√x的零点所在区间是 ( )
A.(0，0.3) B.(0.3，0.5)
C.(0.5，1) D.(1，2)
(2)用二分法求方程ln x=2-x的近似解，最初选取的区间为[1，2]，要求精确度为0.01，则所需二分
区间的次数最少为 .
【跟踪训练】1 (1)(2025·随州模拟)已知函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(m，m+1)(m∈Z)上，则
m= .
(2)(2025·宣城期末)已知函数f(x)=x3+3x-6，利用二分法求f(x)的零点的近似值x ，若零点的初始区
0
间为[0，2]，精确度为0.3，则x 可以是( )
0
A.0.35 B.0.65 C.1.45 D.1.85题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)函数f(x)=❑√36−x2·cos x的零点个数为 .
(2)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f(x)=x2，则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零
点个数是( )
A.9 B.10 C.11 D.18
{ x2−1,x≤0,
【跟踪训练】2 (1)函数f(x)= 的零点个数为( )
x−2+lnx,x>0
A.5 B.4 C.3 D.2
(2)(2026·渭南模拟)函数f(x)=3x|log x|-1的零点个数为( )
2
A.0 B.1 C.2 D.3
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
{x2+2x,x≤1,
例3 (2026·西宁期中)已知函数f(x)= 若函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则实数a的
x+lnx,x>1,
取值范围是( )
A.(-∞，0]∪(2，+∞) B.(-1，1]∪(3，+∞)
C.(-1，1] D.[1，+∞)
命题点2 根据函数零点的范围求参数
2+ax
例4 已知函数f(x)=3x- .若存在x ∈(1，2)，使得f(x )=0，则实数a的取值范围是
x 0 0
.
【跟踪训练】3 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，
曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于( )
1
A.-1 B. C.1 D.2
2
1
(2)(2025·宁波模拟)已知曲线y= +ax与直线y=x在y轴右侧无交点，则实数a的取值范围是
x2
.
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开
区间(a，b)内至少有一个零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在用二分法求方程3x+2x-10=0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)=3x+2x-10，依次计算得f(1)<0，
f(2)>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是( )
A.(1，1.5) B.(1.5，1.625)
C.(1.625，1.75) D.(1.75，2)
3.已知函数f(x)=3x-4，则方程f(x)=2x的根的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2026·武汉期中)函数f(x)=cos 2x·(ln x-2π+1)，x∈(0，2π]的零点个数为( )
A.4 B.5 C.3 D.2
5.函数f(x)=❑√x+x2+m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是( )
A.(-∞，-18) B.(4+❑√2，+∞)
C.(4+❑√2，18) D.(-18，-4-❑√2)
{2−x+1,x≤0,
6.已知函数f(x)= 1 g(x)=f(x)-x-a，若函数g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是( )
ln ,x>0,
x
A.[-1，0) B.[1，+∞)
C.(-∞，1] D.[2，+∞)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在下列区间内，函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是( )
A.(0，1) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
1 1
8.(2025·大连模拟)已知x ，x 分别是函数f(x)=2x- 和g(x)=log x- 的零点，则( )
1 2 x 2 x
A.2x 1-x
2
=0
B.log x +log x =0
2 1 2 2
C.x >2
2
D.2x 1·log
2
x
2
=1
三、填空题(每小题5分，共10分)
{ ln(−x),x<0,
9.已知函数f(x)= 则函数y=f(x)的零点是 .
x2−3x−4,x>0,{ x2,x≥a,
10.(2026·绵阳模拟)已知函数f(x)= 若∃m∈R，方程f(x)=m有三个实数根，则实数a的取
2x+3,x<a,
值范围是 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c.
(1)求c；(6分)
(2)若函数g(x)=f(x)-mx+1在(1，3)上有两个零点，求m的取值范围.(7分)
12.(15分)(2025·天水模拟)已知函数f(x)=log (2+x)-log (2-x).
2 2
(1)判断f(x)的奇偶性；(6分)
(2)若关于x的方程f(x)=log (a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分)
2
[每小题5分，共10分]
( 1) ( 1 )
13.(2025·石家庄模拟)函数f(x)=sin x+ 在 ，10 上的零点个数为( )
x 10
A.3 B.4 C.6 D.8
14.(2026·银川模拟)当x∈[0，4]时，函数y=2x-2+mx2与y=4mx-2-x+2的图象有唯一的交点，则实数m的值
为 .
