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专题 02 数列通项与数列求和
题型1 由Sn与an关系求通项
1、关系： ，要注意验证 与 两种情况能否统一．
2、已知 与 的关系式，记为 ，求它的通项公式 ，一般有两种思路：
（1）消 ：容易直接求 的情况，可利用阶差公式： ，消去 ，转化等差或等
比数列直接求出 ；
（2）消 ：难以直接求 的情况，可利用阶差公式： ，消去 ，得出 与
的递推关系式，先求出 ，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出 ．
在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求 ，要
比直接求 麻烦；但也有时先直接求 ，会比先求 麻烦得多．
1．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列 的前 项和为 ，则 .
2．（25-26高三上·云南昆明·月考）记 为数列 的前 项和，若 ， ，则3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
题型2 累加法求通项公式
累加法适用于邻项差结构 ．
利用 ，将问题转化为基本数列求和，从而
得到所求数列的通项．
5．（25-26高三上·四川广安·开学考试）数列 满足： ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·河北张家口·一模）已知数列 满足 ， 且 ，则 .
8．（24-25高三上·福建三明·月考）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则
.题型3 累乘法求通项公式
累乘法适用于邻项商结构
利用 ，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
9．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知 为数列 的前 项和，若 ， ，则 的值
为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
10．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列 满足 ，则
（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
11．（24-25高三上·天津·月考）在数列 中，若 ，则 （ ）
A．1012 B．1013 C．2023 D．2024
12．（24-25高三上·河南驻马店·月考）若数列 满足 ， ，则
．
题型4 构造法求通项公式
（1）形如 ，引入参数 ，构造新的等比数列 ；
（2）形如 ，引入参数 ，构造新的等比数列 ；
（3）形如 ，两边同除以 ，构造新的数列 ．13．（2025·天津河北·二模）设 数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A．3059 B．2056 C．1033 D．520
14．（2025·河南·模拟预测）设 为数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．520 B．521 C．1033 D．1034
15．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列 中， ， ，则通项 ．
16．已知数列 的首项 ，且 ，则 的通项公式为 ．
题型5 分组（并项）法求和
1、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组
求和法，分别求和后再相加减．
2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如
类型，可采用两项合并求解．
17．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知 是等差数列 的前 项和， ，数列 是公
比大于1的等比数列，且 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 .
18．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值.
19．（25-26高三上·浙江·开学考试）记 为正项数列 的前 项和，已知
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 ，求数列 的前 项和 .
20．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列 中，已知 ， ， 成等比数列，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 ．
题型6 逆序相加法求和
如果一个数列 的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．求和时可以将正着写
与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和．21．（24-25高三下·四川容县·月考）已知函数 ，数列 满足
，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知 ， ，则
数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25高三上·广东·开学考试）若 ，数列 的前 项和为 ，
且 ， ，则 （ ）
A．76 B．38 C．19 D．0
24．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数 是 上奇函数，若数列 的项满足：
（ ）.则数列 的通项公式为：
.
题型7 裂项相消法求和
裂项相消的原则及规律
（1）裂项原则：一般时前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
25．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1的正项数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；(2)令 ，求数列 的前n项和 ．
26．（24-25高三下·云南·月考）设正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求 ；
(2)求证：数列 为等差数列；
(3)求数列 的前100项的和 .
27．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列 中， 为 的前 项和， 是首项为1，公差为1
的等差数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ．
28．（24-25高三下·山西晋中·月考）已知数列 的前n项和为 ， ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .题型8 错位相减法求和
1、如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和时，常采用错位相减法．
2、写错位相减法求和时，应注意：在写出“ ”与“ ”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便
于下一步准确地写出“ ”的表达式．
3、万能公式：形如 的数列的前 项和为 ，其中
， ， ．
29．（25-26高三上·山东淄博·开学考试）数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 满足递推关系：
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 的前n项和．
30．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．31．（24-25高三上·四川德阳·月考）已知数列 ．令 ，
(1)证明数列 是等差数列，并求出通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
32．（24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求证：数列 是等差数列.
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 .
题型9 斐波那契数列
1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契
数列，又称黄金分割数列；表达式 ， ， ．
①逐项罗列：，1，2，3、5，8，13，21，34，55，……；
②递推公式： ， ；③通项公式： （又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范
例）．
2、求和问题
①前 项和： ；
②奇数项和： ；
③偶数项和： ．
3、平方和问题：
4、余数列周期性
①被2除的余数列周期为3：1，1，0，……
②被3的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，……
③被4的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，……
5、裂项问题：
33．（24-25高三上·山东聊城·月考）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，
2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（
）个奇数
A．1012 B．1348 C．1350 D．1352
34．（2024·海南·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁
殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这
一数列以如下递推的方法定义： ， ，记此数列为 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
35．（24-25高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列 为“斐波那契数列”，则
（ ）A．2023 B．2024 C．1 D．2
36．（24-25高三上·安徽·月考）数列 ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该
数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为
“兔子数列”， 满足 ， （ ， ），则 是斐波
那契数列的第 项.
题型10 数列与不等式综合问题
数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的
单调性比较大小；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题；
（3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题大多要借助函数取证明，或者直接利用放缩法证
明．
37．（24-25高三下·湖北襄阳·月考）已知数列 满足 ，且 ，则使不等式
成立的 的最大值为（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
38．（24-25高三下·上海·月考）已知数列 的前n项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，问是否存在正整数m，使得 成立，并说明理由.39．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在数列 中， ， .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的取值范围.
40．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知数列 满足 ，且对任意正整数 有
，数列 满足
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，数列 的前 项和 ；
①求 ；
②若不等式 对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
题型11 公共项与增减项问题
1、对于公共项问题，要注意两个等差数列的公共项是等差数列，且公差时两等差数列公差的最小公倍
数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比时两个等比数列公比的最小公倍数．
2、对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了
多少项（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项．41．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 为
公比大于0的等比数列，且 ．
(1)求 ；
(2)若在 与 之间插入 个1，由此构成一个新的数列 ，记 的前 项和 ，求 的值．
42．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线 经过原点， 是 的方向向量．数列
满足：点 均在 上， ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 是以4为首项，2为公差的等差数列，若 与 的公共项为 ， 的值由小到大构成数列
，求 的前 项和 ．
43．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知数列 满足 ，公差不为0
的等差数列 满足 成等比数列，
(1)证明：数列 是等比数列．
(2)求 和 的通项公式．
(3)在 与 之间从 的第一项起依次插入 中的 项，构成新数列 ，
求 中前60项的和 ．44．（2025·湖南·三模）已知数列 满足 ，数列 满足 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的通项公式；
(3)将 中的项按从小到大的顺序插入 中，且在任意的 之间插入 项，从而构成一个新
数列 ，设 的前 项和为 ，求 .
题型12 数列的新定义问题
1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模
型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和
方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的．
2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性
质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
45．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知 是 项正整数数列，令
，其中 .若对任意的 中均无相同的项，则称
数列 为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列.
(2)已知 ，其中 为两两不同的正整数，问： 是否为“和差单值”数列？请
说明理由．
(3)证明：若 的最大值不超过 ，则 一定不是“和差单值数列”.46．（24-25高三下·河北沧州·月考）设 是整数数列，m是某个取定的正整数，若 是 除以m
的余数，则称数列 是 关于m的模数列，记作 ．斐波那契数列 是常见的整数数列，
满足 ．
(1)写出数列 的第3项、第4项和第5项；
(2)斐波那契数列 有许多非常好用的性质，比如： ，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列 是周期为8的周期数列；
（ii）求 的个位数字．
参考数据： ．
47．（24-25高三下·云南·月考）设数列 的前n项和为 ，由 ， ，…， 组成的数列记为
，把新数列 称为原数列 的一阶和数列，设数列 的前n项和为 ，把数列 称为数
列 的二阶和数列，依此类推，可得数列 的p阶和数列 ，其中 ．
(1)若 ，求数列 的二阶和数列 的通项公式；
(2)若 ．
①求数列 的三阶和数列 的通项公式；
②写出数列 的p阶和数列 的通项公式（不用证明）．48．（24-25高三下·浙江湖州·月考）1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字
电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖
计算机的设备里都使用二进制．设正整数 ， ，其中 ，
，那么，十进制数 可以用二进制表示为 ，记作 ，此时，令
，数列 满足 ．
(1)二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如
震卦“ ”对应的二进制数为100．请写出巽卦“ ”和兑卦“ ”对应的十进制数．
(2)证明： ， ．
(3)是否存在正偶数 ，使得对任意 ，满足 ．若存在，请写出符合
要求的 ；若不存在，请说明理由．
