解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练
1．（2025 高三下·甘肃白银·学业考试）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，点
1 0,
3
A
-
，
2
3
3, 2
A æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3
1
0, 2
A æ
ö
ç
÷
è
ø ，
4
1 ,0
4
A æ
ö
ç
÷
è
ø中恰有两点在C 上.
(1)求C 的方程；
(2)C 的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，过点
1F 且斜率存在的直线l 与C 交于P，Q 两点.
（i）若
2
PQF
V
的面积为24
13 ，求l 的斜率；
（ii）过点P 作直线l¢：
4
x = - 的垂线PR，垂足为R，试问直线OR 是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若
不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）
3
1
3
y
x
= ±
+
；（ii）直线QR 过定点
5 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
【详解】（1）由题可知，
1 0,
3
A
-
，
3
1
0, 2
A æ
ö
ç
÷
è
ø 中有且仅有一点在椭圆C 上，
故
3
b =
或
1
2 .
若点
4
1 ,0
4
A æ
ö
ç
÷
è
ø 在椭圆C 上，则
1
4
a
b
=
<
，不符合题意，
故点
4
1 ,0
4
A æ
ö
ç
÷
è
ø 一定不在椭圆C 上，
所以点
2
3
3, 2
A æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
一定在椭圆C 上.
当点
1 0,
3
A
-
，
2
3
3, 2
A æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
在椭圆C 上时，
2
2
3
3
3
1
4
b
a
b
ì
=
ïí
+
=
ïî
，解得
2
3
a
b
=
ìïí =
ïî
.
则椭圆C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
当点
2
3
3, 2
A æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3
1
0, 2
A æ
ö
ç
÷
è
ø 在椭圆C 上时，
考点一
定点问题
2
2
1
2
3
3
1
4
b
a
b
ì
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，方程组无解.
综上，椭圆C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）（i）由题意知直线PQ的斜率不为0，故设其方程为
1
x
ty
=
- ，
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
-
，
联立
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，可得
2
2
3
4
6
9
0
t
y
ty
+
-
-
=
，PQ过点
1F ,则
0
D >
，
设
1
1
2
2
1
2
,
,
,
,
P x y
Q x
y
y
y
>
，故
2
1
2
1
2
2
6
9
,
4
4
3
3
t
y
y
t
y
t
y
-
+
=
=
+
+
，
则
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
6
9
12
1
4
4
3
4
3
4
3
4
t
t
y
y
y
y
y y
t
t
t
-
+
æ
ö
-
=
+
-
=
- ´
=
ç
÷
+
+
+
è
ø
，
故
2
2
1
2
1
2
2
1
1
12
1
24
2
2
2
3
4
13
PQF
t
S
F F
y
y
t
+
=
´
-
=
´ ´
=
+
V
,
即得
2
2
2
13
1
3
4
t
t
+
=
+
，设
2
1
t
s
+
=
，则
2
3
3
1
2
1
s
s
=
+
，解得
2
s =
或1
6 （舍去），
解得
3
t = ±
，故l 方程为
3
1
x
y
= ±
- ,即
3
1
3
y
x
= ±
+
；
（ⅱ）由（i）知当直线l 的斜率存在且不为0 时，
1
2
1
2
2
3
ty y
y
y
-
=
+
，
且
1
4,
R
y
-
，则
2
1
2
4
QR
y
y
k
x
-
=
+
.
所以直线QR 的方程为
2
1
1
2
4
4
y
y
y
y
x
x
-
-
=
+
+
.
由对称性可知，若直线QR 过定点，则定点在x 轴上，
令
0
y =
，得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
3
4
4
y
x
ty y
y
x
y
y
y
y
+
+
= - -
= - -
-
-
1
2
2
1
3
3
5
2
4
4
2
2
y
y
y
y
-
= - -
= - +
= -
-
.
所以直线QR 过点
5 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
当直线l 的斜率为0 时，直线QR ：
0
y =
，过点
5 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
综上，直线QR 过定点
5 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
2．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：
2
2
y
px
=
经过点
3,2 2
Q p
p ，C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，
点A，B 在C 上运动．
(1)求C 的方程．
(2)若直线AB 的方程为
2
y
x
=
-
，求
ABF
△
内切圆的半径r．
(3)设点
3,1
E
，且EF 平分
AFB
Ð
，试问直线AB：
1
x
my
n n
=
+
¹
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，
请说明理由．
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2)10 3
12 2
-
(3)是，
1,4
-
【详解】（1）因为抛物线C：
2
2
y
px
=
经过点
3,2 2
Q p
p ，所以
2
3
2
2 2
p p
p
×
=
，
解得
0
p =
或
2
p = ± ，
又C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，所以
0
p >
，则
2
p =
，则C 的方程为
2
4
y
x
=
．
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
．
由
2
2,
4 ,
y
x
y
x
=
-
ì
í
=
î
得
2
8
4
0
x
x
-
+
=
，
48
0
D =
>
，则
1
2
1
2
8,
4,
x
x
x x
+
=
ì
í
=
î
2
2
1
2
1
2
1 1
4
4 6
AB
x
x
x x
=
+
+
-
=
，
1
2
1
2
1
1
2
10
AF
BF
x
x
x
x
+
=
+ +
+ =
+
+
=
．
因为点
1,0
F
到直线AB 的距离
1
2
d =
，
所以
ABF
△
的面积
1
2 3
2
S
d
AB
=
×
=
，
所以
2
4 3
10 3
12 2
10
4 6
S
r
AF
BF
AB
=
=
=
-
+
+
+
．
（3）是，定点坐标为
1,4
-
，
因为EF 平分
AFB
Ð
，所以
FA
FB
FE
FA
FB
l
æ
ö
ç
÷
=
+
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
则
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1,
1,
1
1,
1
1
1
1
1
1
x
y
x
y
x
x
y
y
FA
FB
x
x
x
x
x
x
FA
FB
-
-
æ
ö
-
-
+
=
+
=
+
+
ç
÷
+
+
+
+
+
+
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
，
因为
1,0
F
，
2,1
FE =
uuur
，所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
x
x
y
y
x
x
x
x
æ
ö
-
-
+
=
+
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
，
整理得
1
2
1
2
2
1
1
2
1
x x
x y
x y
y
y
- =
+
+
+
，
则
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
16
4
4
y y
y
y
y
y
y
y
- =
+
+
+
，
即
2
1
2
1
2
1
2
4
16
16
y y
y
y
y y
+
+
=
-
．①
将x
my
n
=
+
代入
2
4
y
x
=
，得
2
4
4
0
y
my
n
-
-
=
，
则
1
2
1
2
4 ,
4 ,
y
y
m
y y
n
+
=
ì
í
= -
î
代入①可得
4
1
1
0
m
n
n
+
+
-
=
，
因为
1
n ¹ ，所以4
1
0
m
n
+
+ =
，即
4
1
n
m
= -
- ，
所以直线方程为
1
4
x
m y
+ =
-
，
所以直线AB 过定点
1,4
-
．
3．（24-25 高二下·山西·期末）已知抛物线
2
1 :
2
0
C
y
px p
=
>
的焦点为F ，
2,
D
d 是
1
C 上一点，且
3
DF = .椭圆
2
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F ，
3
1, 2
E æ
ö
ç
÷
è
ø 是
2
C 上一点.
(1)求
1
C ，
2
C 的方程；
(2)已知R 为
2
C 上的一点（异于A，B 两点），直线AR ，BR 分别与直线
4
x =
相交于P，Q 两点，求PQ 的最小值；
(3)已知直线
:
0
l x
my
t m
=
+
¹
与
2
C 交于M，N 两点，直线FM 和FN 的斜率分别为
1k ，
2k ，且
1
2
0
k
k
+
=
，证明:
直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
2
1 :
4
C
y
x
=
，
2
C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)6.
(3)证明见解析，定点
4,0
T
.
【详解】（1）因为
2,
D
d ，且
3
DF = ，所以
2
3
2
p
DF =
+
=
，解得
2
p =
，
所以抛物线
2
1 :
4
C
y
x
=
，
10
F
,
，
设
2
C 的半焦距为c ，则由题意得
2
2
2
2
2
1
9
1,
4
1,
,
a
b
c
a
b
c
ì
+
=
ï
ï =
í
ï
-
=
ï
î
解得
2,
3,
1,
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
所以
2
C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）
设
0
0
0
,
2
R x
y
x ¹ ±
，
4,
P
P
y
，
4,
Q
Q
y
，
因为A，R，P 三点共线，所以
//
AR AP
uuur uuur
，
又
0
0
2,
AR
x
y
=
+
uuur
，
6,
p
AP
y
=
uuur
，所以
0
0
2
6
p
x
y
y
+
=
，
所以
0
0
6
2
P
y
y
x
=
+
，同理
0
0
2
2
Q
y
y
x
=
-
，
所以
0
0
0
0
2
0
0
0
4
4
6
2
2
2
4
P
Q
y
x
y
y
PQ
y
y
x
x
x
-
=
-
=
-
=
+
-
-
.
因为点R 在
2
C ，所以
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
= ，所以
2
2
0
0
4
4
3
x
y
-
=
，
所以
0
0
0
2
0
0
4
4
4
3
4
y
x
x
PQ
x
y
-
-
=
=
-
，
令
0
0
4
y
k
x -
=
，则
0
0
4
y
k x
=
-
，
代入
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
= 并整理，得
2
2
2
2
0
0
3
4
32
64
12
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
所以
2
2
2
2
Δ
32
4 3
4
64
12
0
k
k
k
= -
-
+
-
³
，
解得
1
0
2
k
<
£
，所以
0
0
4
3
6
x
y
-
³
，即PQ 的最小值为6.
（3）
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
联立
2
2
,
3
4
12
x
my
t
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
消去x 并整理，得
2
2
2
3
4
6
3
12
0
m
y
mty
t
+
+
+
-
=
，
所以
2 2
2
2
Δ
36
4 3
4
3
12
0
m t
m
t
=
-
+
-
>
，化简得
2
2
3
4
0
m
t
-
+
>
，
由韦达定理得
1
2
2
6
3
4
mt
y
y
m
+
= -
+
，
2
1
2
2
3
12
3
4
t
y y
m
-
=
+
，
所以
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
y
x
y
x
y
my
t
y
my
t
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
-
+
-
+ -
+
+ -
+
=
+
=
=
=
-
-
-
-
-
-
，
此时
1
2
2
1
1
1
0
y
my
t
y
my
t
+ -
+
+ -
=
，即
1
2
1
2
2
1
0
my y
t
y
y
+
-
+
=
，
因为
1
2
2
6
3
4
mt
y
y
m
+
= -
+
，
2
1
2
2
3
12
3
4
t
y y
m
-
=
+
，所以
2
2
2
3
12
6
2
1
0
3
4
3
4
t
mt
m
t
m
m
-
-
´
+
-
´
=
+
+
，
所以
6
4
0
m t -
=
，因为
0
m ¹
，所以
4
t =
，
所以直线l 过定点
4,0 .
4．（24-25 高二下·陕西西安·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b
-
=
>
的左顶点为M ，右焦点为F ，A ，B 是C 上的
两点，线段AB 的中点为H ．当BF
MF
^
时，tan
2
BMF
Ð
=
．
(1)求C 的标准方程；
(2)若
1 8
,
7 7
H æ
ö
ç
÷
è
ø，求直线AB 的斜截式方程；
(3)若M ，A ，B 三点不共线，且
2
AB
MH
=
，证明：直线AB 过定点．
【答案】(1)
2
2
1
8
y
x -
=
(2)
1
y
x
=
+
(3)证明见解析
【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，则
2
2
1
c
b
=
+ ，由题意
,0 ,
1,0
F c
M -
，
当BF
MF
^
时，过点F 且垂直于x 轴的直线为x
c
=
，
将x
c
=
代入双曲线方程，得
2
2
2
1
y
c
b
-
= ，解得
2
y
b
= ±
；又tan
2
BMF
Ð
=
，则
2
,
B c b
，
又
1,0
M -
，所以
2
2
1
b
c
=
+
，结合
2
2
2
2
1
b
c
a
c
=
-
=
- ，得
2
1
2
2
c
c
- =
+
，
解得
3
c = 或
1
c = - ，
所以
2
2
3
1
8
b =
- =
，所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
8
y
x -
= ；
（2）易知直线AB 的斜率存在，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
8
1
8
y
x
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，作差可得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
8
y
y
x
x
-
-
-
=
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
0
8
y
y
y
y
x
x
x
x
-
+
-
+
-
=
，
因为线段AB 的中点坐标为
1 8
,
7 7
H æ
ö
ç
÷
è
ø，所以
1
2
1
2
2
16
,
7
7
x
x
y
y
+
=
+
=
，
所以
1
2
1
2
16
2
7
0
7
8
y
y
x
x
-
-
-
=
，所以直线AB 的斜率为
1
2
1
2
1
y
y
k
x
x
-
=
=
-
，
所以直线AB 的斜截式方程为
8
1
7
7
y
x
-
=
-
，即
1
y
x
=
+ .
（3）由M ，A ，B 三点不共线，故设直线
:
AB x
my
n
=
+
，
联立
2
2
1
8
y
x
x
my
n
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
，得
2
2
2
8
1
16
8
8
0
m
y
mny
n
-
+
+
-
=
，
则
1
2
2
16
8
1
mn
y
y
m
+
= -
- ，
2
1
2
2
8
8
8
1
n
y y
m
-
=
-
，
0
D >
，
因为
2
AB
MH
=
，则AH
MH
BH
=
=
，所以AM
BM
^
，则
0
MA MB
×
=
uuur uuur
，
因
1
1
1
1
1,
1,
MA
x
y
my
n
y
=
+
=
+
+
uuur
，
2
2
2
2
1,
1,
MB
x
y
my
n
y
=
+
=
+
+
uuur
，
所以
1
2
1
2
1
1
0
my
n
my
n
y y
+
+
+
+
+
=
，
即
2
2
1
2
1
2
1
1
1
0
m
y y
m n
y
y
n
+
+
+
+
+
+
=
，
即
2
2
2
2
2
8
8
16
1
1
1
0
8
1
8
1
n
mn
m
m n
n
m
m
æ
ö
-
æ
ö
+
+
+
-
+
+
=
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
，
即
2
2
2
2
2
1 8
8
16
1
8
1
1
0
m
n
m n n
m
n
+
-
-
+
+
-
+
=
，
得
2
7
2
9
0
n
n
-
-
=
，解得
9
7
n =
或
1
n = - ，
若
1
n = - ，则直线
:
1
AB x
my
=
- ，过点M ，不符合题意；
若
9
7
n =
，则直线
9
:
7
AB x
my
=
+
，满足
0
D >
，则过定点9 ,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
则直线AB 过定点9 ,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø .
5．（24-25 高二下·浙江·期末）已知抛物线
2
:
2
(
0)
E
y
px p
=
>
，且过抛物线焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两
点，弦长AB 最小值为4
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过点A 作直线AC 交抛物线于点C ，且直线AC 过定点
(3,0)
P
，连接直线CF 并交抛物线于点D ，请问直线BD 是
否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由.
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2)直线BD 经过定点1 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）因为抛物线
2
:
2
(
0)
E
y
px p
=
>
，所以焦点坐标为：
,0
2
p
F æ
ö
ç
÷
è
ø，
过该焦点的直线方程为：
2
p
x
my
=
+
，与抛物线的交点为：
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
与抛物线方程联立得：
2
2
2
2
0
2
2
p
x
my
y
pmy
p
y
px
ì =
+
ï
Þ
-
-
=
í
ï
=
î
，则
1
2
2
1
2
2
y
y
pm
y y
p
+
=
ì
í
= -
î
，
而由抛物线的定义可知
2
1
2
1
2
2
2
2
2
p
p
AB
x
x
p
my
my
p
pm
p
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
，
因为
0
p >
，所以当
0
m =
时，AB 有最小值，所以2
4
2
p
p
=
Þ
=
，
所以抛物线方程为
2
4
y
x
=
.
（2）
由（1）得，直线AB 方程为
1
x
my
=
+ ，且
1
2
1
2
4
4
y
y
m
y y
+
=
ì
í
= -
î
①
设直线AC 方程为
3
x
ty
=
+
，
3
3
,
C x
y
与抛物线方程联立得：
2
2
3
4
12
0
4
x
ty
y
ty
y
x
=
+
ì
Þ
-
-
=
í
=
î
，则
1
3
1
3
4
12
y
y
t
y y
+
=
ì
í
= -
î
②
设直线CD 方程为
1
x
ny
=
+ ，
4
4
,
D x
y
，同理可得
3
4
3
4
4
4
y
y
n
y y
+
=
ì
í
= -
î
③
联立①②③可得
2
4
4
3
y y = -
设直线BD 方程为x
ay
b
=
+
与抛物线方程联立得：
2
2
4
4
0
4
x
ay
b
y
ay
b
y
x
=
+
ì
Þ
-
-
=
í
=
î
，则
2
4
2
4
4
4
y
y
a
y y
b
+
=
ì
í
= -
î
因为
2
4
4
3
y y = -
，所以
1
3
b =
，所以直线BD 经过定点1 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
6．（24-25 高二下·云南·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
7
x
y
C
b
b
-
=
>
的离心率为2,O为坐标原点，过点O 的直线l 交C
于P ，Q 两点，其中点P 在第一象限.
(1)求C 的标准方程.
(2)设
5
OP =
.
①求直线l 的方程.
②过点P 作斜率分别为
1
2
,
k k 的两条直线1
2
,
l l ，且直线1l 与C 交于另一点A ，直线2l 与C 交于另一点B .若
1
2
3
k
k
+
=
，证明直线AB 过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)
2
2
1
7
7
x
y
-
=
(2)①3
4
0
x
y
-
=
；②证明见解析，
1
2,
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【详解】（1）因为C 的离心率为2 ，所以
2
1
2
7
b
+
=
，解得
2
7
b = ，
所以C 的标准方程为
2
2
1
7
7
x
y
-
= .
（2）
①由
5
OP =
，得点P 在以O 为圆心，5 为半径的圆
2
2
25
x
y
+
=
上.
设
,
0,
0
P m n
m
n
>
>
，则
2
2
2
2
7,
25,
m
n
m
n
ì
-
=
í
+
=
î
解得
4,
3,
m
n
=
ì
í =
î
即
4,3
P
，
所以直线l 的斜率为3
4 ，直线l 的方程为
3
4
y
x
=
，即3
4
0
x
y
-
=
.
②当直线AB 的斜率不存在时，点
,
A B 关于x 轴对称，设
0
0
0
0
,
,
,
A x
y
B x
y
-
，
由
1
2
3
k
k
+
=
，得
0
0
0
0
3
3
3
4
4
y
y
x
x
-
-
-
+
=
-
-
，即
0
6
3
4
x
-
=
-
，解得
0
2
7
x =
<
，不符合题意，
所以直线AB 的斜率存在.
设直线
:
AB y
kx
t
=
+ ，由
2
2
1,
7
7
,
x
y
y
kx
t
ì
-
=
ïí
ï
=
+
î
得
2
2
2
1
2
7
0
k
x
ktx
t
-
-
-
-
=
，
则
2
2 2
2
2
1
0,Δ
4
4 1
7
0
k
k t
k
t
-
¹
=
+
-
+
>
，即
2
2
7
7
t
k
>
-
.
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
2
1
2
1
2
2
2
7
2
,
1
1
t
kt
x x
x
x
k
k
+
= -
+
=
-
-
，
因为
1
2
3
k
k
+
=
，所以
1
2
1
2
3
3
3
4
4
y
y
x
x
-
-
+
=
-
-
，即
1
2
1
2
3
3
3
4
4
kx
t
kx
t
x
x
+ -
+ -
+
=
-
-
，
得
1
2
1
2
2
3
4
9
8
24
0
k
x x
t
k
x
x
t
-
+
-
+
+
-
-
=
，
所以
2
2
3
24
14
18
8
3
0
t
k
k
kt
t
+
-
+
-
-
=
，即
4
3
6
3
1
0
k
t
k
t
+ -
+
+
=
，
所以4
3
0
k
t
+ -
=
或6
3
1
0
k
t
+
+ =
.
当4
3
0
k
t
+ -
=
时，直线AB 的方程为
3
4
y
kx
k
=
+ -
，经过定点
4,3
P
，不符合题意；
当6
3
1
0
k
t
+
+ =
时，直线AB 的方程为
1
2
3
y
kx
k
=
-
-
，经过定点
1
2,
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø.
综上，直线AB 过定点，且定点坐标为
1
2,
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø.
7．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知
1
2
,
F F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左､右焦点，A 是C 的右顶
点，
1
3
AF =
，且C 与椭圆
2
2
1
5
x
y
+
= 有相同的焦点.
(1)求C 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
=
+ 与C 的公共点个数为1，求k 的值；
(3)已知
,
M N 是C 上不同的两点，直线
,
AM AN 的斜率分别为
1
2
,
,
k k
A不在直线MN 上，且
1 2
3
k k =
，证明：直线MN
过定点.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)
3
±
或2
±
(3)证明见解析
【详解】（1）椭圆
2
2
1
5
x
y
+
= 的焦点为
2,0 , 2,0
-
，所以双曲线C 的焦点也为
2,0 , 2,0
-
，即
2
c =
.
因为
1
3
AF
a
c
=
+
=
，所以
1
a = ，所以
2
2
2
3
b
c
a
=
-
=
，
故双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）联立
2
2
1
1
3
y
kx
y
x
ì
=
+
ïïí
ï
-
=
ïî
，得
2
2
3
(
1)
3
0
x
kx
-
+
-
=
，即
2
2
3
2
4
0
k
x
kx
-
-
-
=
.
①当
2
3
0
k
-
=
，即
3
k = ±
时，直线l 与C 的渐近线平行，只有1 个交点；
②当
2
2
2
Δ
4
16 3
48 12
0
k
k
k
=
+
-
=
-
=
，即
2
k = ± 时，
直线l 与C 相切，只有1 个交点.
综上，当直线l 与C 的公共点个数为1 时，
3
k = ±
或2
± ；
（3）
易知
1,0
A
，如图，设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
显然直线MN 不与y 轴垂直，则设MN 的方程为x
my
n
=
+
，且
1
n ¹ .
联立
2
2
1
3
x
my
n
y
x
ì =
+
ïïí
ï
-
=
ïî
，消去x 得
2
2
2
3
1
6
3
3
0
m
y
mny
n
-
+
+
-
=
，
显然
2
2
2
6
4 3
1 3
3
0
mn
m
n
D =
-
-
-
>
，
所以
2
1
2
1
2
2
2
3
3
,
3
1
3
1
6
n
y
y
y
m
y
m
m
n
-
-
+
=
=
-
-
，
因为
1
2
1
2
1
2
3
1
1
y
y
k k
x
x
=
×
=
-
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
3
1
1
3
1
1
y y
x
x
my
n
my
n
=
-
-
=
+
-
+
-
，
化简得
2
2
1
2
1
2
3
1
3
1
3(
1)
0
m
y y
m n
y
y
n
-
+
-
+
+
-
=
，即
2
2
2
2
2
2
3
1 3
3
18
1
3(
1)
0
3
1
3
1
m
n
m n n
n
m
m
-
-
-
-
+
-
=
-
-
，
又
1
n ¹ ，化简得
0
n =
，所以直线MN 过定点
0,0 .
8．（2025·河北邢台·三模）椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，点
3 , 3
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
在C 上.
(1)求C 的方程；
(2)圆Q ：
2
2
2
(
3)
x
y
t
+
-
=
在椭圆C 内，过C 的右顶点P 作圆Q 的两条切线1l ，2l ，斜率分别为
1k ，
2k ，且分别与
C 交于A ，B 两点（均不与点P 重合）.
①求
1
2
k
k
×
的值；
②当t 变化时，证明：直线AB 与x 轴交于定点.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
y
x
+
=
(2)①1；②证明见解析
【详解】（1）由题意可得
1
e
2
c
a
=
=
，且
2
2
3
3
1
4
a
b
+
= ，
又
2
2
2
a
b
c
=
+
，解得
2
a =
，
3
b =
，
1
c = ，故C 的方程为
2
2
1
4
3
y
x
+
= .
（2）①由题可得
( 3,0)
P
，设直线PA ，PB 的斜率分别为
1k ，
2k ，
则直线PA 的方程为
1(
3)
y
k x
=
-
，
由直线PA 与圆Q 相切可知，圆心Q 到直线PA 的距离
1
2
1
3
3
1
k
t
k
-
-
=
+
，
整理得
2
2
2
1
1
3
6
3
0
t
k
k
t
-
+
+ -
=
，同理
2
2
2
2
2
3
6
3
0
t
k
k
t
-
+
+ -
=
，
则
1k ，
2k 为方程
2
2
2
3
6
3
0
t
k
k
t
-
+
+ -
=
的两个根，所以
1
2
1
k
k
×
= .
②证明：设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，由
1
2
2
(
3),
1,
4
3
y
k x
y
x
ì
=
-
ïí
+
=
ïî
得
2
2
2
2
1
1
1
3
4
6 3
9
12
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
则
2
1
1
2
1
9
12
3
3
4
k
x
k
-
=
+
，即
2
1
1
2
1
3 3
4 3
3
4
k
x
k
-
=
+
，所以
1
1
2
1
8 3
3
4
k
y
k
-
=
+
，
所以
2
1
1
2
2
1
1
3 3
4 3
8 3
,
3
4
3
4
k
k
A
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
，
同理得
2
2
2
2
2
2
2
3 3
4 3
8 3
,
3
4
3
4
k
k
B
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
，
直线AB 的斜率
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
8 3
8 3
3
4
3
4
3 3
4 3
3 3
4 3
3
4
3
4
AB
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
+
+
=
-
-
-
+
+
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
8 3
8 3
1
3
3
3
24 3
24 3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
+
-
=
=
=
-
+
-
，
所以直线AB 的方程为
2
1
1
2
2
1
1
2
1
8 3
3 3
4 3
1
3
4
3
3
4
k
k
y
x
k
k
k
k
æ
ö
-
-
+
=
-
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
，
令
0
y =
，得
2
1
2
1
21 3
28 3
7 3
3
4
k
x
k
-
-
=
= -
+
，
所以直线AB 与x 轴交于定点( 7 3,0)
T -
.
1．（24-25 高二下·江西新余·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左顶点为A ，离心率为
5
2
，过点
2, 2
-
-
作直线l 与交于B ，C 两点，当直线l 的斜率为0 时，
ABC
V
的面积为4 5 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若AB
AC
^
，求直线l 的方程；
(3)若直线AB ，AC 分别与直线
2
x =
交于D ，E 两点，试探究在直线
2
x =
上是否存在定点P ，使得
PD
PE 为定值？
若存在，求出定点P 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
-
=
(2)3
2
10
0
x
y
+
+
=
(3)存在，定点
2,1
P
，定值为1
【详解】（1）因为当直线l 的斜率为0 时，
ABC
V
的面积为4 5 ．
所以
ABC
V
的面积为
1
2
4 5
2
S
BC
BC
=
´ -
=
=
，
由对称性得B ，C 点坐标为
2 5, 2
±
-
，
则
2
2
2
2
2 5
2
1
a
b
±
-
-
=
结合
2
2
2
5 ,
2
e
c
a
b
=
=
+
，得
2
a =
，
1
b = ，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
4
x
y
-
= ．
（2）因为双曲线
2
2
1
4
x
y
-
= 的左顶点为A ，则
2 0
A - ，，
因为直线l 斜率不存在时不满足题意，
所以设直线l ，AB ，AC 的斜率分别为k ，
1k ，
2k ，直线l 的方程为
2
2
y
k x
+
=
+
，
则
1
2
1
2 k x
y
é
ù
+
-
=
ë
û
，
双曲线
2
2
1
4
x
y
-
= ，即
2
2
4
4
x
y
-
=
，
所以
2
2
2
2
4
4
x
y
+
-
-
=
，则
2
2
2
4
4
2
0
x
y
x
+
-
-
+
=
，
所以
2
2
1
2
4
4
2
2
0
2
x
y
x
k x
y
é
ù
+
-
-
+
×
+
-
=
ë
û
，
考点二
定值问题
即
2
2
4
2
2
2
1
2
0
y
x
y
k
x
-
+
+
-
+
=
，
所以
2
4
2
2
1
0
2
2
y
y
k
x
x
æ
ö -
+
- =
ç
÷
+
+
è
ø
，
设
1
1
,
B x y
，
2
2
,
C x
y
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
,
2
2
2
2
2
4
y
y
y
y
k
k
k
k k
x
x
x
x
-
+
=
+
=
=
×
=
+
+
+
+
，
若AB
AC
^
，则
1
2
2
1
3
1
4
2
k
k k
k
-
=
=- Þ
=-
，
则直线l 的方程为
3
2
2
2
y
x
+
= -
+
，即3
2
10
0
x
y
+
+
=
．
（3）设直线AB ：
1
2
y
k
x
=
+
，
令
2
x =
，得
1
4
y
k
=
，则
1
2,4
D
k
，同理可得
2
2,4
E
k
，
假设存在点
2,
P
t 满足题设，
则
2
1
2
2
2
2
1
4
4
2
4
2
4
4
4
4
t
k
PD
t
k
t
k
PE
t
k
k
t
k
æ
ö
-
-
ç
÷
-
-
+
è
ø
=
=
=
-
-
-
为定值，
所以
2
4
1
4
t
t
-
=
=-
-
，所以
1
t = ，且
2
2
1
4
1
1
4
PD
k
PE
k
- +
=
=
-
，
即存在定点
21
P
，，使得
PD
PE 为定值1．
2．（24-25 高二下·广西崇左·期末）已知双曲线Ω ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的焦距为2 6 ，
0,
B
b ，且点
,
2 2
b b
Aæ
ö
ç
÷
è
ø在Ω 上．
(1)求Ω 的方程；
(2)若直线l ：
1
y
t x
=
+
与Ω 的右支交于点
,
E
E
E x
y
（
2
E
x >
），求
2t 的取值范围；
(3)若M ，N 是Ω 上不同的两点（异于点A ），
MAN
Ð
的平分线垂直于OB （O 为坐标原点），证明：直线MN 的倾
斜角为定值．
【答案】(1)
2
2
1
5
y
x -
=
(2) 5 ,5
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
(3)证明见详解
【详解】（1）由题知
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 6
1
1
4
4
5
c
a
b
b
a
b
b
a
b
c
ì
=
ï
ì
=
ï
-
= Þ
í
í
=
î
ï
+
=
ïî
，
则Ω 的方程为
2
2
1
5
y
x -
= .
（2）因为直线l ：
1
y
t x
=
+
与Ω 的右支交于点
,
E
E
E x
y
（
2
E
x >
），
所以
2
2
2
2
1
5
1
5
E
E
E
E
y
x
y
x
-
= Þ
=
-
，
2
2
2
2
2
5
1
5
1
2
5
5 1
,5
1
1
3
1
1
E
E
E
E
E
E
E
x
x
y
t
x
x
x
x
-
-
æ
ö
æ
ö
=
=
=
=
-
Î
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
+
+
è
ø
，
则
2t 的取值范围为5 ,5
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
（3）证明：根据题意直线MN 斜率存在，
设y
kx
m
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
2
2
2
2
2
5
2
5
0
1
5
y
kx
m
k
x
kmx
m
y
x
=
+
ìï
Þ
-
-
-
-
=
í
-
=
ïî
，
2
1
2
1
2
2
2
2
5
,
5
5
km
m
x
x
x x
k
k
-
-
+
=
=
-
-
，
2
1
2
1
2
2
2
2
10
2
2
5
5
k m
m
y
y
k x
x
m
m
k
k
+
=
+
+
=
+
=
-
-
，
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
10
2
10
2
5
5
5
km
k
km
k
x y
x y
kx x
m x
x
k
k
k
-
-
-
+
=
+
+
=
+
=
-
-
-
，
由（1）知
5
5
,
,
0, 5
2
2
A
B
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，又
MAN
Ð
的平分线垂直于OB ，
所以直线
,
AM AN 的斜率
1
2
,
k k 互为相反数，
即
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
5
5
5
5
5
2
2
2
2
2
2
5
5
5
5
2
2
2
2
x
y
x
y
y
y
k
k
x
x
x
x
æ
öæ
ö
æ
öæ
ö
-
-
+
-
-
ç
֍
÷
ç
֍
÷
-
-
è
øè
ø
è
øè
ø
+
=
+
=
æ
öæ
ö
-
-
-
-
ç
֍
÷
è
øè
ø
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
5
5
5
2
2
2
0
5
5
2
2
x y
x y
x
x
y
y
x
x
+
-
+
-
+
+
=
=
æ
öæ
ö
-
-
ç
֍
÷
è
øè
ø
，
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
5
5
5
10
5
5 5
5
2
2
2
5
5
5
2
k
km
m
x y
x y
x
x
y
y
k
k
k
-
+
-
+
-
+
+
=
-
-
+
-
-
-
2
2
2
5
5
1
2 5
5
20
2 5
10 5
25
5
2 5
2 5
k
k
k
k
km
m
k
k
k
-
+
-
-
+
-
-
-
+
-
=
=
-
-
2
5
5
2 5
5
2
2
0
2 5
k
k
m
k
æ
ö
-
+
+
-
ç
÷
è
ø
=
=
-
，
,
M N
Q
异于点A ，\点A 不在直线MN 上，
即
5
5
5
5
0
2
2
2
2
k
m
k
m
+
¹
Þ
+
-
¹
，
所以
5
0
5
k
k
+
=
Þ
= - ，
即直线MN 的倾斜角为定值.
3．（24-25 高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的长轴长为2 3 ，离
心率为
6
3
，直线l 与x 轴交于点
,0
M m
，与相交于A 、B 两点．
(1)求的标准方程；
(2)若l 的斜率为1，且
0
OA OB
×
=
uuur uuur
，求m 的值；
(3)是否存在m ，使
2
2
1
1
MA
MB
+
恒为定值l ？若存在，请求出m 与l 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
+
=
(2)
6
2
m = ±
(3)
6
2
m = ±
，
4
l =
【详解】（1）由已知椭圆的长轴长为2
2 3
a =
，即
3
a =
，
又椭圆的离心率
6
3
c
e
a
=
=
，则
2
c =
，
所以
2
2
1
b
a
c
=
-
= ，
故椭圆方程为
2
2
1
3
x
y
+
= ；
（2）由已知直线l 的斜率为1，且过点
,0
M m
，则直线l 的方程为y
x
m
=
-
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立直线与椭圆
2
2
1
3
x
y
y
x
m
ì
+
=
ïí
ï
=
-
î
，得
2
2
4
6
3
3
0
x
mx
m
-
+
-
=
，
则
2
2
Δ
36
4 4 3
3
0
m
m
=
- ´
-
>
，即2
2
m
- <
<
，
且
1
2
3
2
m
x
x
+
=
，
2
1
2
3
3
4
m
x x
-
=
，
则
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
m
y y
x
m
x
m
x x
m x
x
m
-
=
-
-
=
-
+
+
=
，
则
2
2
2
1
2
1
2
3
3
3
4
6
0
4
4
4
m
m
m
OA OB
x x
y y
-
-
-
×
=
+
=
+
=
=
uuur uuur
，
解得
6
2
m = ±
；
（3）当直线l 斜率存在时，设直线
:l y
k x
m
=
-
，即y
kx
km
=
-
，
联立直线与椭圆
2
2
1
3
x
y
y
kx
km
ì
+
=
ïí
ï
=
-
î
，得
2
2
2
2
2
1 3
6
3
3
0
k
x
k mx
k m
+
-
+
-
=
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
Δ
6
4 1 3
3
3
12 3
1
0
k m
k
k m
k
k m
= -
-
+
-
=
-
+
>
，
且
2
1
2
2
6
1 3
k m
x
x
k
+
= +
，
2
2
1
2
2
3
3
1 3
k m
x x
k
-
=
+
，
则
2
2
2
2
2
1
1
1
1
MA
x
m
y
k
x
m
=
-
+
=
+
-
，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
MB
x
m
y
k
x
m
=
-
+
=
+
-
，
则
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
k
MA
MB
x
m
x
m
æ
ö
ç
÷
+
=
×
+
ç
÷
+
-
-
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
3
6
8
12
3
3
1
3
1
m
k
m
m
m
m
k
m
k
+
-
-
-
=
=
+
-
-
+
-
+
，
又
2
2
1
1
MA
MB
+
恒为定值l ，
则
2
8
12
0
m -
=
，解得
2
3
2
m =
，即
6
2
m = ±
，
且
2
6
4
3
m
l =
=
-
；
当直线l 斜率不存在时，直线:l x
m
=
，
则
2
2
1
3
x
y
x
m
ì
+
=
ïí
ï =
î
，则
2
2
2
1
2
1
3
m
y
y
=
= -
，
2
3
m <
，
此时
2
2
2
3
3
m
MA
MB
-
=
=
，
则
2
2
2
1
1
6
3
m
MA
MB
l =
+
=
-
，
易知当
6
2
m = ±
时，
2
2
2
1
1
6
4
3
m
MA
MB
l =
+
=
=
-
.
4．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，离心率为2，过点
0,
0
M
m
m >
且倾斜角为45 度的直线1l 交双曲线于A ，B 两点（A 在y 轴右侧）且
3
AM
MB
=
uuuur
uuur
，
3
OA OB
×
=
uuur uuur
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线2l 是过C 的右支上点P 的切线，且2l 不与x 轴垂直，过
1F ，
2F 分别作直线2l 的垂线，垂足为
1T ，
2T ．
①求证：点
1T ，
2T 均在以O 为圆心的定圆上，且
1
2
//
OT
PF ，
2
1
//
OT
PF ；
②求证：
1 1
2
2
FT
F T
×
是定值．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)①证明见解析；②证明见解析
【详解】（1）
2
c
e
a
=
=
Q
，
2
c
a
\ =
，
3
b
a
=
，
设1 :
l
y
x
m
=
+
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
3
0
3
x
y
x
mx
m
a
a
a
y
x
m
ì
-
=
ï
Þ
-
-
-
=
í
ï
=
+
î
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
2
2
2
4
8
3
0
m
m
a
D =
+
+
>
，
1
2
2
2
1
2
3
0
2
x
x
m
m
a
x x
+
=
ìïí
-
-
=
<
ïî
，
所以直线1 :
l
y
x
m
=
+
与双曲线交点位于两支上，即B 点在y 轴左侧，
又
3
AM
MB
=
uuuur
uuur
Q
，
1
2
3
x
x
\
= -
，
解得：
1
3
2
m
x =
，
2
2
m
x = -
2
2
6
m
a
\
=
又
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
OA OB
x x
y y
x x
x
m
x
m
x x
m x
x
m
×
=
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
uuur uuur
Q
，
即
2
3
3
2
3
2
2
2
2
m
m
m
m
m
m
æ
ö
-
æ
ö
×
×
+
+
=
ç
÷
è
ø
-
ç
÷
è
ø
，又
0
m >
，解得
6
m =
，
2
1
a
\
= ，
2
2
1
3
y
x
\
-
= .
（2）（2）①设
2
1 1
PF
FT
Q
=
I
，
1
2
2
PF
F T
W
=
I
，
由双曲线光学性质，
1
1
2
2
F PT
F PT
Ð
= Ð
，
1
1 1
PT
FT
^
Q
，
2
2
2
PF
F T
^
，
1
PFQ
\V
，
2W
PF
V
均为等腰三角形，
1
PF
PQ
\
=
，
1 1
1
FT
QT
=
，
2
PF
PW
=
，
2
2
2
F T
WT
=
又
1
OT
Q
，
2
OT 分别为
1 2
QFF
V
，
1
2
WF F
△
的中位线，
1
2
//
OT
PF
\
，
2
1
//
OT
PF ，
又
2
2
1
2
2
2
QF
PQ
PF
PF
PF
a
=
-
=
-
=
=
Q
，
1
1
OT
\
= ，同理，
2
1
OT = ，
1T
\
，
2T 在以原点为圆心的单位圆上.
②法一：设P 关于O 的对称点为点R ，设R 处双曲线的切线交
1 1
FT 于
2T ¢，
由对称性：
2
1 2
2
F T
FT
=
¢ ，
由于
2
2
1
3
y
x -
= 的左右顶点为
1,0 ,
1,0
H
K
-
，
故
1,0 ,
1,0
H
K
-
，
1T ，
2T ，
2T ¢，均在单位圆上，如图，
由圆的性质得
2
2
2
1 1
1 2
1 1
1
1
3
F T
FT
FT
FT
F
F K
c
a
c
a
H
b
×
=
×
=
×
=
-
+
=
=
¢
；
法二、设
0
0
,
P x
y
，过
0
0
,
P x
y
的直线
2
0
0
:
l
y
y
k x
x
-
=
-
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
3
2
3
0
1
3
y
kx
y
kx
k
x
k y
kx
x
y
kx
y
x
=
+
-
ìï
Þ
-
-
-
- -
-
=
í
-
=
ïî
2
2
2
2
0
0
0
0
4
4 3
3
0
k
y
kx
k
y
kx
é
ù
D =
-
-
-
- -
-
=
ë
û
，
即
2
2
0
0
3
y
kx
k
=
-
-
，故
2
2
2
0
0
0
0
1
2
3
0
k
x
kx y
y
-
-
+
+
=
，
又
2
2
0
0
1
3
y
x -
= ，故
2
2
0
0
3
3
x
y
=
+
，
所以
2
0
2
0
2
0
0
2
3
0
3 k
x y
y
k
x
-
+
=
，即
2
0
0
3
0
3
y k
x
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，解得
0
0
3x
k
y
=
，
0
2
0
:
1
3
y y
l
x x
\
-
= ，
又
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
-
，
2
0
0
0
1 1
2
2
2
2
2
2
0
2
2
0
0
0
0
0
4
1
2
1
2
1
9
9
9
x
x
x
FT F T
y
y
y
x
x
x
-
-
-
-
\
×
=
×
=
+
+
+
，
2
2
0
0
1
3
y
x -
=
Q
，
∴
2
2
2
2
2
0
0
2
0
0
0
0
1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
4
3
4
1
3
3
3
9
9
9
y
y
x
x
x
x
FT F T
y
y
y
x
x
x
+
-
-
×
=
=
+
=
=
+
+
+
.
5．（24-25 高二下·上海青浦·期末）已知椭圆
2
2
1
2
2
2
Γ :
1
0 ,
,
x
y
a
b
B B
a
b
+
=
>
>
分别是椭圆短轴的上下两个端点，
1F 是
椭圆左焦点，M 是椭圆上异于点
1
2
,
B B 的点，
1
1
2
B F B
V
是边长为2 的等边三角形.
(1)写出椭圆Γ 的标准方程和离心率；
(2)当直线
1
MB 的一个法向量是
1,1
-
时，求以
1
MB 为直径的圆的标准方程；
(3)设点P 满足:
1
1
2
2
,
PB
MB PB
MB
^
^
，求证:
1
2
1
2
:
MB B
PB B
S
S
V
V
为定值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ，
3
2
e =
；
(2)
2
2
4
1
32
5
5
25
x
y
æ
ö
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）因为
1
1
2
B F B
V
是边长为2 的等边三角形，所以
2
2
a
b
=
=
，
3
=
c
b ，
又
2
2
2
b
c
a
+
=
，所以
2
a =
，
1
b = ，
3
c =
故椭圆Γ 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ，离心率为
3
2
e =
；
（2）因为
1
MB 的一个法向量是
1,1 ,
-
且直线
1
MB 过点
1 0,1
B
，
所以直线
1
MB 方程为:
1
0
x
y
-
+ =
，
联立直线
1
MB 方程与椭圆方程
2
2
1
4
x
y
+
= ，得
2
5
2
3
0
y
y
-
-
=
，解得
8
3
,
5
5
M æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，
所以线段
1
MB 中点为
4 1
,
5 5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，线段
1
MB 长度为
1
8 2
5
MB =
，
故以
1
MB 为直径的圆的标准方程为
2
2
4
1
32
5
5
25
x
y
æ
ö
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
（3）由题意，点P 为直线
1
MB 过点
1B 的垂线与直线
2
MB 过点
2
B 的垂线的交点，
设点
0 ,
M x
0y
，所以直线
1
MB 为:
0
0
1
1
y
y
x
x
-
=
+ ，直线
2
MB 为
0
0
1
:
1
y
y
x
x
+
=
- ，
则直线
1
PB 为
0
0
:
1
1
x
y
x
y
=
+
-
，直线
2
PB 为
0
0
:
1
1
x
y
x
y
-
=
-
+
，
联立直线
1
PB 方程与直线
2
PB 方程，消去y ，得
0
0
0
0
1
1
1
1
x
x
x
x
y
y
-
+ =
-
-
+
，
整理得
0
0
0
0
1
1
x
x
y
y
æ
ö
+
ç
÷
-
+
è
ø
2
x = - ，即
0
2
0
2
2
1
x
x
y
= -
-
，解得
2
0
2
0
0
0
0
1
4
4
P
x
y
x
x
x
x
-
-
=
=
= -
，
因为
1
2
1
2
0
1
2
0
1
2
1
2
1
1
1
,
2
2
2
4
MB B
PB B
P
x
S
B B
x
S
B B
x
B B
=
=
=
V
V
，
所以
1
2
1
2
:
4
MB B
PB B
S
S
=
V
V
，得证.
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆
2
2
1 :(
1)
1
F
x
y
+
+
= ，圆
2
2
2 :(
1)
9
F
x
y
-
+
=
.若动圆C 与圆
1F 外切，且与圆
2F
内切，设动圆圆心C 的轨迹为E .不过原点O 的动直线l 与曲线E 交于
,
A B 两点，平面上一点D 满足OA
AD
=
uuur
uuur ，连
接BD 交E 于点F （点F 在线段BD 上且不与端点重合），若
1
4
FAB
OAB
S
S
D
D
=
.
(1)求轨迹E 的方程；
(2)试问：直线OA，OB 的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形
F
OA B 的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
2
2
1(
2)
4
3
x
y
x
+
=
¹ -
(2)不是，理由见解析
(3)是定值，15 5
16
【详解】（1）设动圆C 的半径为R，Q动圆C 与圆
1F 外切，则
1
1
CF
R
=
+ ，
又因为Q动圆C 与圆
2F 内切，结合图象可知：
3
R <
，
2
3
CF
R
\
=
-
，
所以
1
2
1
2
4
CF
CF
F F
+
=
>
，
由椭圆的定义可知，动点C 在以
1F 、
2F 为焦点，4 为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，半焦距为c ，
则
2
a =
，
1
c = ，
2
2
2
3
b
a
c
\
=
-
=
，
又可知圆
1F 与圆
2F 内切，所以点C 不能在切点处，即椭圆应去掉点( 2,0)
-
，
\曲线C 的方程为
2
2
1(
2)
4
3
x
y
x
+
=
¹ -
.
（2）直线OA，OB 的斜率乘积不是定值，理由如下：设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，则
1
1
(2 ,2
)
D
x
y
，
因为
1
4
FAB
FAB
OAB
DAB
S
S
BF
S
S
BD
D
D
D
D
=
=
=
，所以
1
4
BF
BD
=
uuur
uuur
，进而
1
2
1
2
3
3
,
2
4
2
4
F
F
x
x
y
y
x
y
=
+
=
+
，
由点F 在曲线E 上得
2
2
1
2
1
2
3
3
(
)
(
)
2
4
2
4
1
4
3
x
x
y
y
+
+
+
= ,
所以
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
9
3
(
)
(
)
(
)
1
4
4
3
16
4
3
4
4
3
x
y
x
y
x x
y y
+
+
+
+
+
= ,
又因为点A，B 均在E 上，即
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，带入上式得
1
2
1
2
1
4
3
4
x x
y y
+
=
,
所以
1
2
1
2
1
2
3
1
1
4
OA
OB
y y
k
k
x x
x x
æ
ö
×
=
=
-
ç
÷
è
ø
不为定值；
（3）因为点A，B 均在E 上，所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，
两式同向相乘得
2
2
2
2
1
1
2
2
(
)(
)
1
4
3
4
3
x
y
x
y
+
+
= ，整理得：
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
(
)
(
)
1
4
3
12
x x
y y
x y
x y
+
+
-
= ,
由（2）知
1
2
1
2
1
4
3
4
x x
y y
+
=
，带入上式解得：
2
1
2
2
1
45
(
)
4
x y
x y
-
=
，
又因为
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
|
||
| sin
1
2
2
|
| |
|
AOB
OA OB
S
OA OB
AOB
x
y
x
y
OA
OB
D
×
=
Ð
=
+
×
+
-
uuur uuur
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
x
y
x
y
x x
y y
x
y
x
y
x
y
x
y
+
+
-
+
=
+
×
+
×
+
×
+
1
2
2
1
1
3 5
|
|
2
4
x y
x y
=
-
=
，
所以
5
15 5
4
16
OAB
FAB
OAB
OAFB
S
S
S
S
D
D
D
=
+
=
=
四
.
7．（24-25 高二下·北京顺义·期中）椭圆
2
2
1
4
3
x
y
+
= 的左、右顶点分别为A，B 过右焦点F 的直线l 与椭圆交于C，
D 两点（与A，B 重合），设
1
2
,
AC
BD
k
k k
k
=
=
．
(1)求椭圆的离心率e 与右焦点F 的坐标．
(2)求证：
1
2
k
k 为定值．
【答案】(1)
1
2
e =
，
10
F
,
.
(2)证明见解析
【详解】（1）由椭圆方程
2
2
1
4
3
x
y
+
= 得
2
4
a =
，
2
3
b =
，
则
2
a =
，
2
2
4
3
1
c
a
b
=
-
=
-
= .
所以离心率
1
2
c
e
a
=
=
.
椭圆右焦点坐标为
1,0
F
.
（2）由题，
2,0 ,
2,0
A
B
-
，
如图，当直线l 的斜率
0
k ¹
时， 设:
1
l x
ty
=
+ ，
1
1
2
2
( ,
),
(
,
),
C x y
D x
y
则
1
1
1
2
y
k
x
=
+
，
2
2
2
2
y
k
x
=
-
，
联立
2
2
1
4
3
1
x
y
x
ty
ì
+
=
ïí
ï =
+
î
，消x 得
2
2
(4
3 )
6
9
0
t
y
ty
+
+
-
= ，
且
2
2
2
Δ
36
36 4
3
144
144
0
t
t
t
=
+
+
=
+
>
，则
1
2
2
1
2
2
6
4
3
9
4
3
t
y
y
t
y y
t
ì
+
= -
ïï
+
í
ï
= -
ï
+
î
.
所以
1
2
1
2
3 (
)
2
ty y
y
y
=
+
，代入得，
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
3
3
3
2
1
y
y
y ty
k
x
ty
ty y
y
y
y
k
y
ty
ty y
y
x
ty
-
+
+
-
=
=
=
=
+
+
-
-
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
3
1
3
(
)
1
2
2
2
3
3
9
3
(
)
3
2
2
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
+
-
=
=
=
+
+
+
+
，
当直l 的斜率
0
k =
时，可得
1
2
0
k
k
=
=
，
1
2
k
k 不能做比值，所以
0
k =
情况不存在；
所以
1
2
k
k 为定值，得证.
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
E
y
a
a -
=
>
过点
2,1 ,
,
M
MP MQ 分别为圆C ：
2
2
2
3
(
2)
0
3
x
y
r
r
æ
ö
-
+
=
<
<
ç
÷
è
ø
的两条切线，且分别交双曲线E 于点,
P Q ．
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)证明：直线PQ的斜率为定值．
【答案】(1)
6
2
(2)证明见解析
【详解】（1）解：将
2,1
M
的坐标代入
2
2
2
1
x
y
a -
= ，得
2
2
a =
，
所以双曲线E 的离心率
2
1
6
1
2
e
a
=
+
=
．
（2）证明：由题意知，直线
,
MP MQ 的斜率都存在且不为0，
设直线MP 的方程为
1
2
1
y
k
x
=
-
+ ，直线MQ 的方程为
2
1
1
2
2
2
1,
,
,
,
y
k
x
P x y
Q x
y
=
-
+
．
由
1
2
2
2
1,
1,
2
y
k
x
x
y
ì
=
-
+
ïí
-
=
ïî
消去y ，整理得
2
2
2
1
1
1
1
1 2
4
2
1
2 2
1
2
0
k
x
k
k
x
k
-
+
-
-
-
-
=
．
由
2
1
1
2
0
k
-
¹
，得
1
2
2
k ¹ ±
，
由
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
Δ
16
2
1
4 1 2
2 2
1
2
16
1
0
k
k
k
k
k
é
ù
=
-
-
-
-
-
-
=
-
>
ë
û
，得
1
1
k ¹ ．
由题意
1
1
1
2
1
4
2
1
2
1
2
k
k
x
k
-
+
= -
-
，解得
2
1
1
1
2
1
4
4
2
2
1
k
k
x
k
-
+
=
-
，所以
2
1
1
1
1
1
2
1
2
4
1
2
1
2
1
k
k
y
k
x
k
-
+
-
=
-
+ =
-
，
所以
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
4
2
2
4
1
,
2
1
2
1
k
k
k
k
P
k
k
æ
ö
-
+
-
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
，同理
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
4
1
,
2
1
2
1
k
k
k
k
Q
k
k
æ
ö
-
+
-
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
．
由题意，
2
2
1
2
1
1
3
3
1
1
r
k
k
=
=
<
+
+
，得
2
2
1
2
2
k
k
=
>
．
因为
1
2
k
k
¹
，所以
2
1
k
k
= -
，故
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
4
2
2
4
1
,
2
1
2
1
k
k
k
k
Q
k
k
æ
ö
+
+
-
-
-
ç
÷
-
-
è
ø
，
所以直线PQ的斜率
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
4
1
2
4
1
8
2
1
2
1
1
4
4
2
4
4
2
8
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
-
-
-
-
-
-
=
=
= -
-
+
+
+
-
-
-
-
，即直线PQ的斜率为定值1
- ．
1．（24-25 高二下·广西桂林·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为
1,0
F
，左、右顶点分别为A ，
B ，且
3
AF
FB
=
．
(1)求C 的方程；
(2)设过点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点（不与A ，B 两点重合）．
（i）若
APQ
△
的面积为15 ，求l 的方程；
（ii）若直线AP 与直线BQ 交于点T ，证明：T 在一条定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
(2)（i）3
6
3
0
x
y
+
-
=
或3
6
3
0
x
y
-
-
=
；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意，
3
AF
FB
=
，即
1
3
1
a
a
+ =
-
，解得
2
a =
，则
3
b =
，
所以，椭圆C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）
由题意，直线l 不与x 轴重合，且过点
1,0
F
，设直线:
1
l x
my
=
+ ，
联立
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，可得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
+
-
=
，
则
2
2
36
36 3
4
0
m
m
D =
+
+
>
，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
-
-
+
=
=
+
+
.
（i）因为
1
2
1
3
15
2
APQ
AFP
AFQ
S
S
S
y
y
=
+
=
´
-
=
V
V
V
，所以
1
2
2 15
3
y
y
-
=
，
则
2
2
1
2
1
2
1
2
20
4
3
y
y
y
y
y y
-
=
+
-
=
，即
2
2
2
6
9
20
4
3
4
3
4
3
m
m
m
-
-
æ
ö - ´
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
整理可得
4
2
45
12
28
0
m
m
+
-
=
，即
2
2
15
14
3
2
0
m
m
+
-
=
，
解得
2
2
3
m =
或
14
15
-
（舍去），所以
2
2
3
m =
，
6
3
m = ±
，
考点三
定直线问题
所以直线l 的方程为
6
1
3
x
y
= ±
+ ,即3
6
3
0
x
y
+
-
=
或3
6
3
0
x
y
-
-
=
.
（ii）由题意，
2,0 ,
2,0
A
B
-
，
所以直线
1
1
:
2
2
y
AP y
x
x
=
+
+
，直线
2
2
:
2
2
y
BQ y
x
x
=
-
-
，
联立两直线方程，消去y 可得
1
2
1
2
2
2
2
2
y
y
x
x
x
x
+
=
-
+
-
，即
1
2
1
2
2
2
3
1
y
y
x
x
my
my
+
=
-
+
-
，
整理得
1
2
1
2
2
1
3
2 2
3
y
y
x
my y
y
y
+
=
+
-
，即
1
2
1
1
2
1
2
1
3
2
2 2
3
4
y
y
y
x
my y
y
y
y
+
-
=
+
+
-
é
ù
é
ù
ë
û
ë
û ，
1
1
2
2
2
6
9
6
3
2
2 2
3
4
3
4
3
4
3
4
m
m
y
x
m
y
m
m
m
-
-
-
æ
ö
æ
ö
´
-
=
´
+ ´
-
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø ，
即
1
1
2
2
18
36
2
2
4
3
4
3
4
m
m
y
x
y
m
m
-
-
æ
ö
æ
ö
-
=
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø ，解得
4
x =
，
所以，直线AP 与直线BQ 的交点T 在定直线
4
x =
上.
2．（24-25 高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，A，B 分别为椭圆的左，右顶
点，C 为椭圆的上顶点，且
3
CA CB
×
= -
uuur uuur
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
1,0
E
作斜率不为0 的直线交椭圆于M，N 两点，直线MA 与NB 相交于点P .
（i）证明：点P 在定直线上；
（ii）求
APB
Ð
的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）π
6
【详解】（1）由题意知，
,
CA
a
b
= -
-
uuur
，
,
CB
a
b
=
-
uuur
，
所以
2
2
2
3
CA CB
a
b
c
×
= -
+
= -
= -
uuur uuur
，即
3
c =
.
又
3
2
c
e
a
=
=
，所以
2
a =
，
2
2
1
b
a
b
=
-
= .
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）（i）由于直线MN 过点
1,0
E
且斜率不为0，所以可设直线MN 的方程为
1
x
my
=
+ .
由
2
2
1
1
4
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，得
2
2
4
2
3
0
m
y
my
+
+
-
=
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
1
2
2
2
4
m
y
y
m
+
= -
+
，
1
2
2
3
4
y y
m
= -
+
，
所以
1
2
1
2
3
2
my y
y
y
=
+
.
因为椭圆的左，右顶点分别为
2,0
A -
，
2,0
B
，
所以直线MA的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
+
+
，
直线NB 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
所以
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
3
3
3
3
2
3
2
2
2
2
3
3
1
3
2
2
1
2
2
2
y
y
y
y
y
y
x
y
my
x
x
y
x
y
my
y
y
y
y
y
æ
ö
+
+
+
ç
÷
+
+
+
è
ø
=
=
=
=
=
-
-
-
+
-
+
，
解得
4
x =
，所以点P 在定直线
4
x =
上.
（ii）设直线
,
MA NB 的倾斜角分别为,
a b ，则
APB
b
a
Ð
=
-
，
由（i）知
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
tan
3
tan
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
b
a
+
-
=
=
=
-
+
，
所以tan
3tan
b
a
=
，
所以
2
2 tan
tan
tan
2
tan
tan
1
1
tan tan
1 3tan
3 tan
tan
APB
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
-
Ð
=
-
=
=
=
£
+
+
+
2
3
3
2 3
=
当且仅当
3
tan
3
a =
时取等号，所以
APB
Ð
的最大值为π
6 .
3．（2025·甘肃白银·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，上、下顶点分别为
1B ，
2
B ，四边形
1
1
2
2
B F B F 为正方形，点
2 ,0
E
a
，且
1
2
B EB
V
的面积为4 2 .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过
2 ,0
2
b
F æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
的直线l 与C 交于M ，N 两点，求证：
ME
MF
NE
NF
=
；
(3)已知直线:
2
l y
kx
=
+
交椭圆C 于P ，Q 两点，直线
1
PB ，
2
QB 相交于点A .试判断点A 是否在定直线上，若在，
请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3)在，
1
y =
【详解】（1）解：由四边形
1
1
2
2
B F B F 为正方形，点
2 ,0
E
a
，且
1
2
B EB
V
的面积为4 2 ，
可得
2
2
2
2
2
1
2
2
4 2
2
c
b
a
b
a
b
c
=
ì
ïï ´
´
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
2,
2,
2
a
b
c
=
=
=
，
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= .
（2）解：证明：由（1）可得
4,0
E
，
10
F
,
，
若直线l 与x 轴重合，则M ，N 为椭圆C 长轴的端点，
不妨设点
2,0
M
，则
2,0
N -
，所以
2
1
6
3
ME
NE =
=
，
1
3
MF
NF =
，
所以
ME
MF
NE
NF
=
成立；
②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为
1
x
ty
=
+ ，
联立方程组
2
2
1
1
4
2
x
ty
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，整理得
2
2
2
2
3
0
t
y
ty
+
+
-
=
，
设点
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，所以
2
2
Δ
4
12
2
0
t
t
=
+
+
>
，
且
1
2
2
2
2
t
y
y
t
+
= -
+
，
1
2
2
3
2
y y
t
= -
+
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
4
4
3
3
3
3
ME
NE
ty y
y
y
y
y
y
y
k
k
x
x
ty
ty
ty
ty
-
+
+
=
+
=
+
=
-
-
-
-
-
-
2
2
1
2
6
6
2
2
0
3
3
t
t
t
t
ty
ty
-
+
+
+
=
=
-
-
，
所以x 轴平分
MEN
Ð
，
在MEF
V
中，由正弦定理得sin
sin
ME
MF
MFE
MEF
=
Ð
Ð
，
在NEF
V
中，由正弦定理得sin
sin
NE
NF
NFE
NEF
=
Ð
Ð
，
又
π
MFE
NFE
Ð
+ Ð
=
，
所以sin
sin
MFE
NFE
Ð
=
Ð
，两式相除得
ME
MF
NE
NF
=
.
（3）解：由（1）可得
1 0
2
B
,
，
2 0,
2
B
-
，
联立方程组
2
2
2
1
4
2
y
kx
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，整理得
2
2
1
2
8
4
0
k
x
kx
+
+
+
=
，
则
2
2
(8 )
16(1
2
)
0
k
k
D =
-
+
>
，可得
2
1
2
k >
，
设点
3
3
,
P x
y
，
4
4
,
Q x
y
，则
3
4
2
8
1
2
k
x
x
k
+
= - +
，
3
4
2
4
1
2
x x
k
= +
，
直线
1
PB 的方程为
3
3
2
2
y
y
x
x
-
=
+
，直线
2
QB 的方程为
4
4
2
2
y
y
x
x
+
=
-
，
设直线
1
PB 和
2
QB 的交点为
,
A x y ，
则
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
3
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
x
kx
kx x
x
y
y
x
y
x
kx
kx x
x
+
+
+
+
+
=
=
=
-
+
+
-
+
-
-
，
把
3
4
2
8
1
2
k
x
x
k
= -
-
+
，
3
4
2
4
1
2
x x
k
= +
代入上式得
4
2
2
4
2
4
8
2
2
2
1
2
1
2
3
2 2
4
2
2
2
1
2
k
k
x
y
k
k
k
y
x
k
-
æ
ö
+
+
-
ç
÷
+
+
+
è
ø
=
= -
+
-
+
-
+
，整理得
1
y = ，
所以点A 在定直线上，定直线的方程为
1
y = .
4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，点
3
3, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
(0,6)
Q
的直线（非y 轴）交椭圆于A，B 两点，过点A 作y 轴的垂线与直线BP 相交于点D，求证：线段
AD 的中点在定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
12
9
x
y
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）由
1
2
c
e
a
=
=
，得
2
a
c
=
，则
2
2
2
2
4
a
c
b
c
=
=
+
，所以
2
2
3
b
c
=
，
将点
3
3, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø 代入椭圆方程，得
2
2
9
9
4
1
4
3
c
c
+
= ，解得
2
3
c =
，
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
12
9
x
y
+
= ．
（2）易知直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为
6
y
kx
=
+ ，
并设点
1
1
2
2
,
,
,
,
,
D
D
A x y
B x
y
D x
y
，AD 的中点坐标设为
0
0
,
x
y
．
联立方程，
2
2
6,
3
4
36,
y
kx
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
消去y，得
2
2
3
4
48
108
0
k
x
kx
+
+
+
=
，
所以
1
2
1
2
2
2
48
108
,
3
4
3
4
k
x
x
x x
k
k
-
+
=
=
+
+
，且
2
12
9 13
0
k
D =
- ´
>
即
39
2
k < -
或
39
2
k >
,
由条件，
1
D
y
y
=
，点B，P，D 共线，其中
2
2
3
3,
2
PB
x
y
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
uuur
，
1
3
3,
2
D
PD
x
y
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
uuur
，
则
2
1
2
3
3
3
3
2
2
D
x
y
x
y
æ
ö
æ
ö
-
-
=
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
所以
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
3
9
9
3
3
3
2
2
2
3
3
9
9
3
2
2
2
D
x
y
x
kx
kx x
k x
x
x
x
kx
kx
y
æ
ö
æ
ö
-
-
-
+
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
+
=
+
=
æ
ö
+
+
-
ç
÷
è
ø
，
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
0
1
2
2
9
3
9
3
1
2
2
4
9
9
2
2
2
2
D
kx x
k x
x
x
kx x
k x
x
x
x
x
x
x
x
kx
kx
æ
ö
+
-
+
+
-
+
+
ç
÷
+
=
=
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
，
2
1
2
2
2
1
2
2
108
3
9
( 48 )
3
3
4
2
4
3
4
9
2
9
2
k
k
k x
x
k x
x
k
k
kx
kx
-
+
-
+
´
-
+
+
=
=
+
+
，
0
1
1
6
y
y
kx
=
=
+
，
而
1
2
1
2
2
2
9
108
9
( 48 )
0
4
3
4
4
3
4
k
k
kx x
x
x
k
k
-
+
+
=
+
´
=
+
+
，
所以
1
2
1
2
9
0
4
kx
kx
kx
kx
+
+
=
，可得
1
2
1
9
9
4
kx
kx
kx
-
=
+
，
而
1
1
2
1
1
1
0
1
2
1
27
3
3
3
9
4
2
18
2
9
3
9
9
4
kx
kx
kx
kx
kx
kx
x
kx
kx
kx
-
-
-
+
=
=
= -
-
+
+
+
，故
1
0
3
2
kx
x
= -
，
又
0
1
6
y
kx
=
+ ，所以
0
0
3
6
2
y
x
= -
+
，
即线段AD 的中点在定直线
3
6
2
y
x
= -
+
上．
5．（24-25 高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线
2
2
2
2
Γ :
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率和焦距分别为2 和2 2 ，设点
A B C
､､
的坐标分别为
,0 ,
,0 , 2 ,0
a
a
a
-
.
(1)求双曲线Γ 的方程；
(2)已知M 是双曲线Γ 的左支上异于点A 的一个动点，直线CM 交Γ 的右支于点,
P O 是坐标原点.
（i）记ABM
V
和
OCP
△
的面积分别为
1
2
,
S S ，且
1
2
6
S
S
-
=
，求直线CM 的方程；
（ii）设直线AM 与直线BP 的交点为N ，证明：点N 在一条定直线上.
【答案】(1)
2
2
1
x
y
-
=
(2)（i）
3
2
x
y
= ±
+ ；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意：
2
2
2
2
2
c
a
c
a
b
c
ì
=
ï
ïï =
í
ï
+
=
ï
ïî
，解得
1
2
a
b
c
=
=
ìïí =
ïî
，
所以双曲线Γ 的方程为：
2
2
1
x
y
-
= .
（2）
（i）因为M 与A 不重合，所以直线CM 的斜率不为0，故可设直线CM 的方程为
2
x
my
=
+
，
联立
2
2
2
1
x
my
x
y
=
+
ì
í
-
=
î
得
2
2
1
4
3
0
m
y
my
-
+
+
=
，设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
P x
y
，
因为点M 在双曲线的左支上，所以
2
1
2
2
Δ
4
12
0
3
0
1
m
y y
m
ì
=
+
>
ïí
=
>
ï
-
î
，解得
2
1
m > ，
又
2
AB
OC
=
=
，则
1
2
1
2
6
S
S
y
y
-
=
-
=
，
即有
2
2
1
2
1
2
2
2
4
12
4
6
1
1
m
y
y
y y
m
m
-
æ
ö
+
-
=
-
=
ç
÷
-
-
è
ø
，则
4
2
3
8
3
0
m
m
-
-
=
，解得
2
3
m =
，
满足
2
1
m > ，所以
3
m = ±
，于是直线CM 的方程为
3
2
x
y
= ±
+ .
（ii）由（i）
1
2
1
2
2
2
4
3
,
1
1
m
y
y
y y
m
m
-
+
=
=
-
- ，则
1
2
1
2
2
2
4
3
3
1
1
4m
m
y
y
m
y y
m
+
-
=
=
-
-
-
，故
1
2
1
2
3
4
y
y
my y
+
= -
.
1,0 ,
1,0
A
B
-
，则
1
1
1
AM
y
k
x
=
+ ，所以直线AM 的方程为
1
1
1
1
y
y
x
x
=
+
+
，
同理
2
2
1
BP
y
k
x
=
- ，所以直线BP 的方程为：
2
2
1
1
y
y
x
x
=
-
-
，
故点N 的横坐标满足：
1
2
1
2
1
1
1
1
y
y
x
x
x
x
+
=
-
+
-
，
显然
1
x ¹ ，由题意得：
1
1
2
2
2,
2
x
my
x
my
=
+
=
+
，
则
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
3
3
1
3
3
3
3
1
4
3
3
1
1
1
3
4
y
y
y
y
x
y
my
y
y
my y
y
x
y
y
x
y
x
y
my
my y
y
y
y
y
+
-
+
+
+
-
-
+
+
=
=
=
=
=
= -
+
-
-
+
+
-
-
+
，
则
1
1
3
1
2
x
x
x
+ = -
-
Þ
=
，故点N 在定直线
1
2
x =
上.
6．（24-25 高二下·上海宝山·阶段练习）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
2 5,0 ，离心率为
5 ．记C
的左、右顶点分别为
1A 、
2
A .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)双曲线上任意一点E （不与
1A 、
2
A 重合），求证：
1
2
A E
A E
k
k
×
为定值；
(3)过点
4,0
-
的直线与C 的左支交于M 、N 两点，直线
1
MA 与
2
NA 交于点P ．证明：点P 在定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
4
16
x
y
-
=
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）设双曲线C 的方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
，
由题意可得
2
2
2
2 5
5
c
c
a
c
a
b
ì =
ïï
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
2
4
2 5
a
b
c
ì =
ï =
í
ï =
î
，所以，双曲线C 的方程为
2
2
1
4
16
x
y
-
= ．
（2）由（1）可得
1
2,0
A -
、
2 2,0
A
，设
0
0
,
E x y
，则
2
2
0
0
1
4
16
x
y
-
= ，可得
2
2
0
0
4
16
y
x
=
-
，
因为
1
0
0
2
A E
y
k
x
=
+
，
2
0
0
2
A E
y
k
x
=
-
，所以，
1
2
2
2
0
0
2
2
0
0
4
16
4
4
4
A E
A E
y
x
k
k
x
x
-
×
=
=
=
-
-
为定值.
（3）设点
1
1
,
M x y
、
2
2
,
N x y
，
若直线MN 与x 轴重合，此时，直线MN 与双曲线C 的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意，
设直线MN 的方程为
4
x
my
=
-
，
联立
2
2
4
4
16
x
my
x
y
=
-
ì
í
-
=
î
可得
2
2
4
1
32
48
0
m
y
my
-
-
+
=
，
由于直线MN 与双曲线C 的左支有两个不同的交点，
则
2
2
2
2
1
2
2
4
1
0
Δ
32
192 4
1
0
48
0
4
1
m
m
m
y y
m
ì
ï
- ¹
ïï
=
-
-
>
í
ï
ï
=
<
ï
-
î
，解得
1
1
2
2
m
-
<
<
，
由韦达定理可得
1
2
2
32
4
1
m
y
y
m
+
=
- ，
1
2
2
48
4
1
y y
m
=
- ，
直线
1
MA 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
+
+
，直线
2
NA 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
联立直线
1
MA 与直线
2
NA 的方程可得：
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
6
6
y
x
y
my
my y
y
y
y
x
x
y
x
y
my
my y
y
+
-
-
+
+
+
=
=
=
-
-
-
-
1
1
2
2
2
1
1
2
2
48
32
16
2
2
2
1
4
1
4
1
4
1
48
48
3
6
6
4
1
4
1
m
m
m
y
y
m
m
m
m
m
y
y
m
m
-
×
- ×
+
+
-
-
-
=
=
= -
´
-
-
-
-
，
由
2
1
2
3
x
x
+
= -
-
可得
1
x = - ，即
1
P
x = - ，据此可得点P 在定直线
1
x = - 上运动．
7．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
=
>
的焦点为F，点
( ,2)
E n
是C 上一点，且|
| 5
EF =
，记O 为
坐标原点，过点F 的直线1l 与C 相交于A，B 两点．
(1)求抛物线C 的方程与准线l 的方程；
(2)求4 |
|
|
|
AF
BF
+
的最小值；
(3)已知P，M 分别是抛物线C 与准线l 上的动点，若C 在点P 处的切线2l 交y 轴于点Q，且MN
MP
MQ
=
+
uuuur
uuur
uuuur
，试
判断点N 是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
2
12
x
y
=
；=
3
y -
；
(2)27 ；
(3)N 在定直线上，直线方程为：
3
y = .
【详解】（1）由
( ,2)
E n
是C 上一点，且|
| 5
EF =
，结合抛物线定义，
可得准线方程为：=
3
y -
，则焦点为
(0,3)
F
，则
2
3
12
2
p
C
x
y
=
Þ
=
：
；
（2）由题可得点F 的直线1l 的斜率存在，
设过点F 的直线1l 方程为：
3
y
kx
=
+ ，将直线方程与抛物线方程联立，
可得
2
2
12
3
12
36
0
x
kx
x
kx
=
+
Þ
-
-
=
，判别式为
2
144
144
0
k +
>
.
设
1
1
2
2
( ,
)
,
A x y
B x
y
，
，由韦达定理，可得
1
2
36
x x = -
，则
2
1
2
1
2
9
144
x x
y y =
=
.
又由抛物线定义可得
1
2
1
2
1
2
4
3
3
4
15
2 4
15
27
y
y
y
y
y y
+
+
+
=
+
+
³
+
=
，
当且仅当
1
2
4y
y
=
，即
1
2
3
6
2
y
y
=
=
，
时取等号；
（3）设
0
0
3
(
,
)
, 3
P x
y
M x -
，
，
2
2
12
12
6
x
x
x
y
y
y¢
=
Þ
=
Þ
=
，
则在
0
0
(
,
)
P x
y
处的切线方程为：
0
0
0
0
0
6
6
6
x
y
y
x
x
x x
y
y
-
=
-
Þ
-
=
.
令
0
x =
，得
0
0
0,
y
y
Q
y
=
Þ
-
，设
4
4
,
N x
y
，则
4
3
4
,
3
MN
x
x
y
=
-
+
uuuur
.
又注意到
0
3
0
,
3
MP
x
x
y
=
-
+
uuur
，
3
0
,
3
MQ
x
y
= -
-
+
uuuur
，
则
0
3
2
,6
MP
MQ
x
x
+
=
-
uuur
uuuur
.因MN
MP
MQ
=
+
uuuur
uuur
uuuur
，
则
4
3
0
3
4
0
3
4
4
2
6
3
3
x
x
x
x
x
x
x
y
y
-
=
-
=
-
ì
ì
Þ
í
í
=
+
=
î
î
，从而
0
3,3
N x
x
-
，即N 在定直线上，
直线方程为：
3
y = .
8．（2025·湖南岳阳·三模）已知抛物线E 的顶点在坐标原点O 处，对称轴为x 轴，且过点
2, 4
T
-
，A ，B 是E 上
两个动点．
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)已知C 是E 上一点，且E 的焦点F 为
ABC
V
的重心，设C 的横坐标为t ，求t 的取值范围；
(3)已知P 为直线OT 在第二象限内一点，直线PA ，PB 与抛物线E 分别相切于A ，B 两点，设PA ，PB 与y 轴分别
交于M ，N 两点，证明：直线AN 与直线BM 的交点在定直线上．
【答案】(1)
2
8
y
x
=
(2)
0,4
(3)证明见解析
【详解】（1）设抛物线方程为
2
2
y
px
=
，代入点
2, 4
T
-
，得16
4p
=
，得
4
p =
，
所以抛物线E 的标准方程为
2
8
y
x
=
；
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
,
C t y
，
则重心坐标公式可知，
1
2
2
3
x
x
t
+
+ =
，
1
2
3
0
3
y
y
y
+
+
=
，
得
1
2
6
x
x
t
+
+ =
，
1
2
3
0
y
y
y
+
+
=
，
3
1
2
y
y
y
= -
+
且
2
1
1
8
y
x
=
，
2
2
2
8
y
x
=
，
2
3
8
y
t
=
，
所以
2
2
1
2
6
8
y
y
t
+
+ =
，且
2
2
1
2
2
2
3
1
2
4
2
2
y
y
y
y
y
t
+
+
³
=
=
，
所以4
6
8
t
t
+ £
，得
4
t £
且
0
t ³
，
综上可知，t 的取值范围是
0,4 ；
（3）直线OT 的斜率
2
k = - ，直线OT 的方程为
2
y
x
= -
，
设
0
0
,
P x
y
，
0
0
x <
，
0
0
2
y
x
= -
，
2
8
y
x
=
两边求导，2
8
y y
× ¢ = ，得
4
y
y
¢ =
，
设
2
1
1
,
8
y
A
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
,
8
y
B
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
抛物线在点A 处的切线方程为
2
1
1
1
4
8
y
y
y
x
y
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø
，即
1
1
4
2
y
y
x
y
=
+
，
因为切线过点
0
0
,
P x
y
，即
1
0
0
1
4
2
y
y
x
y
=
+
，
整理得
2
1
0
1
0
2
8
0
y
y y
x
-
+
=
，
同理，抛物线在点B 处的切线方程为
2
2
0
2
0
2
8
0
y
y y
x
-
+
=
，
所以
1
2
,
y y 是方程
2
0
0
2
8
0
y
y y
x
-
+
=
的两个根，则
1
2
0
2
y
y
y
+
=
，
1
2
0
8
y y
x
=
，
切线
:
PA
1
1
4
2
y
y
x
y
=
+
，令
0
x =
，得
1
2
y
y =
，得
1
0, 2
y
M æ
ö
ç
÷
è
ø，同理
2
0, 2
y
N æ
ö
ç
÷
è
ø，
直线AN 的方程为
2
1
2
2
1
2
2
0
8
y
y
y
y
x
y
-
-
=
-
，即
1
2
2
2
1
4 2
2
y
y
y
y
x
y
-
-
=
，
同理，直线BM 的方程为
2
1
1
2
2
4 2
2
y
y
y
y
x
y
-
-
=
，
设直线AN 与直线BM 的交点为
,
Q x y ，
联立直线AN 与直线BM 的方程为
1
2
2
2
1
4 2
2
y
y
y
x
y
-
+
=
2
1
1
2
2
4 2
2
y
y
y
x
y
-
+
，
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
4 2
4 2
2
2
y
y
y
y
y
y
x
y
y
é
ù
-
-
-
=
-
ê
ú
ë
û
，得
2
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
2
64
8
8 4
24
8
3
y y
x
y y
x
y
y
y y
y
x
y
y
y y
=
=
=
é
ù
+
-
-
+
-
ë
û
，
且
0
0
2
y
x
= -
，代入上式化简为
0
0
2
3
x
x
x
=
-
，①
代回直线AN 得，
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
4 2
4 2
2
8
y
y
y
y
y
y y
y
x
y
y
y
y
y y
-
-
-
=
=
×
+
-
，
得
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
3
y
y
y
y y
y
y
y y
y
y
y
y
y
y
y y
y
y
y y
y
y
y y
-
+
+
=
+
=
=
é
ù
+
-
+
-
+
-
ë
û
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
8
2
2
2(4
24
)
6
x
y
x y
y
x
y
x
×
=
=
-
-
0
0
0
2
0
0
0
2
( 2
)
2
4
6
2
3
x
x
x
x
x
x
-
-
=
=
-
-
即
0
0
2
2
3
x
y
x
-
=
-
，②
由①②可得
2
y
x
= -
，
所以直线AN 与直线BM 的交点在定直线上
2
y
x
= -
上.
