专题 02 构造模型解抽象函数
题型脑图·核心考法搭建
考法深研·解题技能进阶
题型01 线性抽象模型1：线性基础
解决抽象函数的求解优先策略：
1.联系函数模型：化抽象为具体
2.通过变量赋值解题：掌握常见的变量赋值规律和技巧。
3.运用函数性质解题：一般情况下，抽象函数都有可能具有函数的三大性质，周期性、奇偶性、单调性
4.借助数形结合解题：结合对应模型函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，来
求解。
抽象函数模型，线性模型，特征就是符合直线的：可累加型。
过原点型：
--过原点直线型f（x）=kx
1．（23-24高三·全国·阶段检测）若 且函数 在 上单调，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件先分析出 的奇偶性和单调性，然后根据条件将 转化为 （ 为实数），再根
据单调性和奇偶性解不等式求出解集.
【详解】令 ，所以 ，所以 ，令 ，所以 ，
所以 且 的定义域为 关于原点对称，
所以 是奇函数；
又因为 且 在 上单调，所以 在 上单调递增；
又因为 ，所以 ，
所以不等式 等价于 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，
故选：A.
【点睛】本题考查抽象函数的综合应用，其中涉及到抽象函数的单调性和奇偶性判断、根据单调性解不等
式，对学生的分析与转化问题的能力要求较高，难度较难.
2．（24-25高三·山东德州·阶段检测）已知连续函数 对任意实数 恒有 ，当
时 ，则以下说法中不正确的是（ ）
A． B． 是 上的奇函数
C． 在 上的最大值是8 D． 在 上递减
【答案】C
【分析】令 、 及奇偶性定义判断A、B；令 结合已知和单调性定义判断D；根据已知
得 ， ，结合单调性判断C.
【详解】A，对任意实数 恒有 ，令 ，可得 ，正确；
B，令 ，得 ，则 ，所以 是奇函数，正确；
D，令 ，则 ，当 时 ，
所以 ，即 ，所以 在 均递减，
函数 连续，所以 在 上递减，正确；
C，由 ，得 ；令 ，得 ，
所以 ， ，则 ，函数在 上的最大值是6，错误；
故选：C
3．（22-23高三·全国坝·阶段检测）已知连续函数 对任意实数 恒有 ,当 时,
, ,则以下说法中正确的是( )
①
② 是 上的奇函数
③ 在 上的最大值是
④不等式 的解集为
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】因为函数 对任意实数 恒有 ,当 时, , ,先证明其奇
偶性和单调性,在逐项判断,即可求得答案..
【详解】奇偶性证明: 令 令
即 又 故 是定义域为 的奇函数
单调性证明:
任取 且 ,则 ; 令
时, 时,又 为奇函数 在 上是减函数;
对于①,因为 ,故①正确;
对于②,因为 是定义域为 的奇函数,故②正确;
对于③, ,可得 令 ,可得 , , ,
在 上是减函数 在 上的最大值是 ,故③正确；
对于④, 不等式
即 则
在 上是减函数 ,解得: 或 ,故④错误.
故选:C．
【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性和单调性,解函数不等式,解题关键是掌握判断奇偶性和单调性
的方法,灵活使用赋值法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
4．（23-24高三全国·模拟测试）已知 是区间 上的单调函数，且对 满足
，若 ，则 的最大值为
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据 可判断 是单调递减函数，根据 可得 是奇函数，进
而可通过赋值法求解最大值.
【详解】令 ，得 ,由于 是单调函数，因此可得 是区间 上的单
调递减，因此 的最大值为 ，
再令 ,得 ,所以 为奇函数，所以 的最大值为
，
令 则 ，再令 ，则
故 故选：C
题型02 线性抽象模型2：线性平移
线性抽象函数上下平移型，不经过原点的直线模型：
1．（2025高三·全国·专题练习）若定义在 上的函数 满足：对于任意 ，有
，且当 时，在 ，设 在 上的最大值，最小值分
别为 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用赋值法可求得 ，设 ，利用已知关系式可推导得
到 ，知 的单调性和最值点，由此可求得结果.
【详解】令 ， ，解得： ；
令 ， ， ，
设 ，
则 ；
， ， ，
在 上单调递减， ， ，
.
故选：B.
2．（23-24高一下·湖南·期中）定义在 上的函数 满足对任意实数 都有
，若 时， ，则 （ ）
A．先单调递减后单调递增 B．在 上单调递增
C．在 上单调递减 D．单调性不确定
【答案】B
【分析】利用函数单调性的定义即可判断.
【详解】任取 ，令 ，
则
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增.
故选：B.
3．（24-25高二·全国·暑假作业）已知连续函数 对任意实数 恒有 ，当
时， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B． 在 上的最大值是4
C． 图像关于 中心对称
D．不等式 的解集为
【答案】B
【分析】抽象函数问题，一般使用特殊函数法确定错误项，或赋值法研究性质即可.选项A求函数值，令
；选项B求函数最值，先研究单调性，令 ， ，构造 ；
选项C研究函数对称性，证明 ；
选项D求解抽象不等式，变形为 ，用单调性解.【详解】法一：令 ， 在 上的最大值是 ，即B错误.
法二：由已知，对任意实数 恒有 .
对选项A，令 ，则 ，解得， ，即A正确；
对选项B，令 ， ，
则 ，
即 ，
当 时， ， ，
即 在定义域上单调递增.
由单调性可知， 最大值为 ，
已知 ，得 ，则 ，即B项错误；
对选项C，由 ，得 ，
由 ，则 ，
故任意 恒有 ，
所以 图像关于 中心对称，即C正确；
对选项D，由 ，
得 ，
则 ，即D正确；
故选：B.
4．（2025·辽宁沈阳·阶段检测）若定义在 上的函数 满足：对于任意 ，有
，且 时，有 ，设 在 上的最大值，最小值
分别为 ，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：令 ，依题意 ，所以 ，令
，依题意 ，所以 ，令 ，则
，根据题意有
，即 ，即 ，所以 为减函数，故最值在区
间端点取得，所以 ．
考点：抽象函数判断单调性、奇偶性．
题型03 线性抽象模型3：二次幂模型
二次幂函数型模型：
模型特征：线性抽象+ xy型
模型记忆分析：二次函数首先是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的和平方，即（x+y）2，则必然会有xy的项“增加出来”（要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特征）。
1．（2025高三·全国·专题练习）已知连续函数 的定义域为 ，若 ，
且 ，则函数 的图象的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 得 ，应用特殊值及排除法确定正确选项.
【详解】由题设 ，
令 ，则 ，且 ，
若 ，则 ，显然 ，A排除；
若 ，则 ，显然 ，B排除；
若 ，则 ，显然 ，C排除；
故选：D
2．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数 定义域为 ，满足 ，当
时，总有 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在等式 中，分别令 、 可得出 、 的关系
式，再由 ，可得出 ，即可得出关于 、 的方程组，即可解得
的值.
【详解】在等式 中，令 可得 ，
令 可得 ，
当 时，总有 ，则 ，
所以， ，解得 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自
变量与所赋的自变量值之间的关系.
3．（23-24高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数 满足 ，则
（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】分别令 ， ， 得出 与 的关系后可得结论．
【详解】令 ，得 ；
令 ， ，得 ；
令 ， 得 .
将以上三式相加得 ，即 .
故选：A．
4．（2025·全国·阶段检测）定义在R上的函数 对任意x， 均满足 ，
，则 等于（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【分析】令 求出 ，再令 ， 即可求出 ；
【详解】解：因为函数 对任意x， 均满足 且 ，所以令
，所以 ，令 ， ，则
故选：D
题型04 线性抽象模型3：三次幂模型
一元三次模型：
模型特征：线性抽象+ x2y+ xy2型。
模型记忆分析：三次函数依旧是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的3次方，即（x+y）3，
则必然会有x2y与xy2的项“增加出来”，但是这个抽象函数结构式xy对称性，所以增加出来的项的系数应
该是一致的，所以前边 x2y+ xy2中， = （）要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特
征）。
11．（2024·福建莆田·二模）已知定义在 上的函数 满足： ，则
（ ）
A． 是奇函数
B．若 ，则
C．若 ，则 为增函数D．若 ，则 为增函数
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项
进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A： 定义域为 ，关于原点对称；
对原式，令 ，可得 ，解得 ；
对原式，令 ，可得 ，即 ，
故 是奇函数，A正确；
对B：对原式，令 ，可得 ，
又 ，则 ；
由A可知， 为奇函数，故 ，故B正确；
对C：由A知， ，又 ，对 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 时，不是单调增函数，故C错误；
对D： 在 上任取 ，令 ，
则
，
由题可知 ，又 ，故 ，
即 ， ，故 在 上单调递增，
也即 在 上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是合理的使用赋值法，对已知条件赋值，求得需要的函数值；
二是对函数奇偶性和单调性定义的熟练掌握；三是在D选项处理过程中，对 合理变形为
，进而根据抽象函数满足的条件进行计算，属综合题.
2．（2024·贵州·三模）已知定义域为 的函数 满足 为
的导函数，且 ，则（ ）
A．
B． 为奇函数
C．
D．设 ，则
【答案】ABD
【详解】对于A：令 可得；对于B：令 可得；对于C ：先确定 的奇偶性，然后令后对 两边同时求导，再代入 即可；对于D：利用累加法求通项公
式.
【点睛】对于A：令 得 ，所以 ，A正确；
对于B：令 得 ，所以 ，B正确；
对于C：因为 ，所以 ，即 ，
所以 为偶函数，由 可得 ，
令 得 ，
则 ，令 ，得 ，
所以 ，C错误；
对于D：因为 ， ，
所以 ，且
所以 ，相加可得 ，
所以 ，则 ，D正确.
故选：ABD.
3．（2023·湖南永州·二模）已知定义域为 的函数 满足 为
的导函数，且 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 在 处的切线斜率为7
C． D．对
【答案】ACD
【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法结合对函数求导，可判断B；将
变形为 形式，利用柯西方程可求得
，代入求值，即可判断C；结合 ，利用作差法可判断D.
【详解】由题意定义域为 的函数 满足
令 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
故 为奇函数，A正确；
由于 ，故 ，即 ，
则 为偶函数，由 可得 ，
由 ，令 得 ，
故 ，令 ，则 ，B错误；
又 ，则 ，
令 ，则 ，
由柯西方程知， ，故 ，
则 ，由于 ，故 ，
即 ，则 ，C正确；
对
,
故 ，D正确，
故选：ACD
4．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知定义域为 的函数 满足 ，
为 的导函数，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数
B．
C．
D．对 ， ，
【答案】ABC
【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法并对函数求导，可判断B；将
变形为 形式，利用柯西方程可求得
，代入求值，即可判断C；结合 ，利用作差法可判断D.
【详解】由题意定义域为 的函数 满足
令 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
故 为奇函数，A正确；
由于 ，故 ，即 ，
则 为偶函数，由 可得 ，
由 ，令 得 ，
故 ，令 ，则 ，B正确；
又 ，则 ，
令 ，则 ，
由柯西方程知， ，故 ，
则 ，由于 ，故 ，
即 ，则 ，C正确；
对
,
故 ，D错误，
故选：ABC.
题型05 三大函数模型 1：幂函数模型
满足 ，对应的是幂函数
1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数 ，满足 ， ，
，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． 可能是单调递减函数
C． 为奇函数 D．若 ，则
【答案】B
【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误.
【详解】因 为定义在R上的单调函数，则 ， 时 .
对于A，令 ，则 或 ，
若 ，则对 ，取 ，都有 ，不满足单调函数性质，
故 ，故A正确；
对于B，令 ，则 或
由 ，则 舍去，得 ，
因 ，结合 为定义在R上的单调函数，则 只能是单调递增函数，故B错误；
对于C，令 ，则 或 （舍），则 ，取 ，
则 ，又 定义域为R，则 为奇函数，故C正确；
对于D，令 ，则 ，
令 ，则 ，
则 ，故D正确.
故选：B
2．（2016·河南商丘·三模）下列函数中，满足 的单调递增函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是抽象函数和函数的单调性，对于本题可依据函数运算性质逐项检验，再分析其单调
性即可判断.
【详解】对于A: ；故A项不符合题意;
对于B,由于定义域 分成两个部分,所以不是定义域上的单调递增函数；故B项不符合题意;
对于C: 且为单调递增函数, 故C项符合题意;
对于D: . 故D项不符合题意.
故选：C.
3．（21-22高三上·甘肃天水·开学考试）下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先判断各选项中函数的单调性，再根据解析式判断 是否成立，即可知正确选
项.
【详解】A： 为单调增函数， ，符合题设；
B： 为单调减函数，不合题设；
C： 为单调增函数， ，不合题设；
D： 为单调增函数，在 ，不合题设；
故选：A
4．（24-25高三·河南·阶段检测）下列函数中，满足 的单调递增函数是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由 依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于 ，有 ，满足 ，符合题意；
对于B， ，为对数函数，不满足 ，不符合题意；
对于C， ，为指数函数，不满足 ，不符合题意；
对于D， ，为指数函数，不满足 ，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查函数的值的计算，涉及函数单调性的判断，属于基础题．题型06 三大函数模型 2：指数函数模型
满足 ，对应的是指数函数
1．（25-26高三·全国·阶段检测）对于任意的 ，都有 ，且 ，则下列等
式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】应用赋值法计算判断A，C，应用 特殊函数计算判断B，多次应用已知条件计算判断D.
【详解】令 ，有 ，且 ，得 ，A成立；
令 ，得 ，C成立；
不妨设 ，满足 ，则 ，B不成立；
，D成立．
故选：B．
2．（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足 的函数解析式 __________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题意考虑常数函数 ， 或者指数函数即可.
【详解】由题意知 ，
当 ， 时满足条件，
当 ， 且 时，
可得 ，
形如 ， 或 且 均可.
故答案为： （答案不唯一）
3．（23-24高三下·云南·阶段检测）函数 对定义域内任意的 ， ，都有 ，写出
一个满足上述条件的函数 ___________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用指数的运算性质可知指数函数符合题意.
【详解】根据题意， 且 ，
则 ，有 ， ，
所以定义域内任意的 ， ，都有 ，
所以指数函数符合题意.
故答案为： （答案不唯一）4．（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知定义域为R的函数 满足：① ；②
.则满足条件的 的一个解析式为 ______.
【答案】
【分析】利用抽象函数关系式，可知常见函数类型中的指数函数符合题意.
【详解】由 ，可知符合该性质的函数可以为指数函数 （ 且 ），又因
为 ，解得 ，所以满足条件的 的一个解析式为 .
故答案为： .
题型07 三大函数模型 3：对数函数模型
满足 ，对应的是幂函数
1．（23-24高三·浙江阶段检测）设函数 的定义域为 ， ，若
，则 等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用赋值法分析求解.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，即 ，可得 ；
令 ，则 ，即 ，可得 ；
令 ，可得 .
故选：D.
2．（22-23高一上·河北衡水·期中）已知函数 的定义域是 ，且满足
，如果对于 ，都有 ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由赋值法得 ，由函数的单调性转化后求解，【详解】由于 ，令 得 ，即 ，
则 ，由于 ，则 ，
即有 ，
由于对于 ，都有 ，则 在 上递减，
不等式 即为 .
则 ，解得 或 ，即解集为 .
故选：D
3．（24-25高三·全国·阶段检测）若函数 对任意实数x和y均满足 ，且 ，
，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】结合 ，先求出 ，再由 即可求解
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D
4．（2025·全国·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，且函数 满足 ，若
，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得 （16） （2） ，从而求得 的值．
【详解】 函数 满足 ，且 ，
（16） （4） （4） （2） （2） （2）
，
故选：C．
题型08 三角抽象模型1:正弦与双曲正弦模型
正弦与双曲正弦型：1．（2024·广西南宁·一模）已知函数 的定义域为 ，且当
时， ，则（ ）
A． B． 是偶函数 C． 是增函数 D． 是周期函数
【答案】C
【分析】对A，令 求解即可；对B，令 化简可得 即可；对C，设
，结合题意判断 判断即可；对D，根据 是增函数判断即可.
【详解】对A，令 ，则 ，得 ，故A错误；
对B，令 ，得 ，
由 整理可得 ，
将 变换为 ，则 ，
故 ，故 ，故 是奇函数，故B错误；
对C，设 ，则 ，
且
，故 ，则 .
又 ， 是奇函数，故 是增函数，故C正确；
对D，由 是增函数可得 不是周期函数，故D错误.
故选：C
2．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数 的定义域为R， ，
且当 时， ，则下列正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是周期函数
C．当 时， D．当 时，
【答案】D
【分析】对于A，令 ，得 ，令 ，整理得到 判定；对于B，先证明
是增函数，可得 不是周期函数判断；对于C，D运用单调性可判断.
【详解】对于A ，
令 ，则 ，得 ，
令 ，得 ，由 整理可得 ，
由题干可知 不恒为0，故 ，
即 ，故 是奇函数，不是偶函数，A错误；
对于B，设 ，则 ，
则 ，
且 ，
故 ，则 ，
又 ， 是奇函数，故 是增函数，
由 是增函数可得 不是周期函数，故B错误；
对于C， 时， ， ，
， ，C错误；
对于D， 时， ，
， ，D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再
不断变换求解即可.
3．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数 的定义域为 ，且满足
，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D．
【答案】B
【分析】利用赋值 判断A，令 可判断C，令 ，结合条件求出函数周期可判断BD.
【详解】令 ，则 ，解得 ，故A正确；
令 ，则 ，即 ，
因为 不恒为0，所以 ，且定义域为 ，故函数为奇函数，故C正确；
令 ，则 ，因为 不恒为0，且 ，
所以只能 ，从而 ，周期为4，
显然 ，故B错误D正确.
故选：B
4．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且当
时， ，则下列正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 是周期函数
C．当 时，
D．当 时，
【答案】D
【分析】对于A,令 ，得 ，令 ， 将 变换为 ，得到 判定；对于
B，先证明 是增函数，可得 不是周期函数判断；对于C，D运用单调性可判断.
【详解】对于A,令 ，则 ，得 ，令 ，得，由 整理可得 .
将 变换为 ，则 ，故 ，故 ，故 是
奇函数，故A错误.
对于B，,设 ，则 ，
且
，故 ，则 .
又 是奇函数，故 是增函数，可得 不是周期函数，故B错误.
对于C， 时 ，故C错误；
对于D， 时， .故D正确.
故选：D.
题型09 三角抽象模型 2:余弦与双曲余弦模型
余弦与双曲余弦模型
1．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）定义域为 的函数 ，对任意
，且 不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．若 ，则【答案】D
【分析】对于A，令 ， 或 ，结合 不恒为0，可得 ，由此即可判断；
对于B，由 ，不妨令 ，即可判断；
对于C，令 ，通过换元即可判断；
对于D，令 ，得 关于 中心对称，结合 为偶函数，可得 为周期为4的函数，算出
即可判断.
【详解】对于A，令 ，有 ，所以 或 ，
若 ，则只令 ，有 ，即 恒为0，
所以只能 ，故A正确；
对于B，由A可知 ，不妨令 ，
有 ，
即 ，且函数 的定义域为全体实数，它关于原点对称，
所以 偶函数，即 为偶函数，故B正确；
对于C，令 ，有 ，
令 ，由 ，得 ，
所以当 时，有 ，即当 时， ，故C正确；
对于D，若 ，令 ，有 ，
所以 关于 中心对称，
又 为偶函数，
所以 ，所以 是周期为4的周期函数，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故D错误.
故选：D.
2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）函数 的定义域为R，对于任意实数x，y，都有
，则 的值不可能是（ ）
A．-2 B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】采用“赋值法”为突破口，确定 的取值范围，可得答案.
【详解】令 ，则 ，解得 或
令 ，则 ，
所以
故BCD皆有可能．故选：A
3．（2023·上海嘉定·一模）已知定义在 上的函数 满足 ，且
，则（ ）
A． B． 为奇函数 C． 有零点 D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，结合奇函数的定义、零点的定义逐一判断即可.
【详解】A：在 中，
令 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以本选项不正确；
B：函数的定义域为全体实数，由上可知 ，显然不符合 ，因此本选项不正确；
C：在 中，
令 ，得
，或 ，
显然函数 没有零点，故本选项不正确，
D：在 中，
令 ，
得 ，所以本选项正确，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用赋值法.
4．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）定义在 上的函数 满足对任意 都有
，且 ， ，则下列命题错误的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是周期函数
C． D． 的图象关于点 对称
【答案】D
【分析】应用赋值法判断A选项，求出周期判断B选项，应用周期性结合特殊函数值判断C选项，反证法
应用对称中心定义判断D选项.
【详解】令 ，则 ， ， ，
再令 ，则 ， 为偶函数，A正确；
又令 ，则 ，
为周期是4的周期函数，B正确；
，C正确；若D正确，则 ，又 为周期是4的周期函数，
， 为奇函数，则 与已知中“ ”矛盾，D错误.
故选:D.
题型10 三角抽象模型3:正切型
分式正切函数两角和公式型1．（2025高三·全国·专题练习）下列指定的函数 中，一定有 的有（ ）
A．指定的函数 是奇函数；
B．指定的函数 满足：， 都有 ；
C．指定的函数 满足： ，都有 且当 时， ；
D．设 ，指定的函数 满足： 都有 ．
【答案】BD
【分析】利用赋值法，结合函数的定义域、奇函数的定义与性质构造方程求解．
【详解】解：对于 ：函数 在 处可能没有意义，所以 错；
对于 ：令 中 ，得 ，所以 对；
对于 ：令 ， ，所以 或 与题意不符 ，所以
错．
对于 ：由 所以 对．
故选： ．
2．（24-25高三上·全国·阶段练习）下列指定的函数 中，一定有 的有（ ）
A．指定的函数 是奇函数；
B．指定的函数 满足： ，都有 ；
C．指定的函数 满足： ，都有 且当 时， ；
D．设 ，指定的函数 满足： 都有 .
【答案】BD
【解析】由 在 处可能没有意义可判断A；令 可判断B；令 可判断C；直接可计算
，即可判断D.
【详解】对于A，函数 在 处可能没有意义，所以A错；
对于B，令 中 得 ，所以B对；
对于C，令 ， 因为有 ，∴ ， ，所以C错；
对于D，由 ，所以D对.
故选：BD.
【点睛】本题考查抽象函数的相关计算，属于基础题.
题型11 分式抽象模型1：反比例型1.（多选题）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数 满足
，且 在 单调递减， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 在定义域内单调递减
【答案】AC
【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的
特例可判断D.
【详解】令 ，则 ，解得 ，故A正确；
因为 ，即 ，
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，
故 ，故B错误；
由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，则 ，
令 代换 ，则 ，
由两式可得 ，化简可得 ，所以 为奇函数，故C正确；
因为 在 单调递减，函数为奇函数，可得 在 上单调递减，
但是不能判断 在定义域上的单调性，例如 ，故D错误.
故选：AC2.（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在 上的函数 满足条件① ，②
， ，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由 ，取 可求 ，由 ，取 可求
，再取 ， ，可求结论.
【详解】因为 ，取 可得 ，
又 ，可得 ，
因为 ，取 可得 ，所以 ，又
，故 ，由 ，取 ， ，可得
，
故选：D.
3.（24-25高一上·湖南·阶段练习）定义在 上的函数 满足条件① ， ，②
， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 求出 ，即可求出 ，再令 求出 ，最后根据 计
算可得.
【详解】 ， ，
令 ，得 ，又 ， ，
，
再令 ， ， ，.
故选：B
4.（22-23高一上·浙江温州·期末）已知 为非常值函数，若对任意实数x，y均有
，且当 时， ，则下列说法正确的有（ ）
A． 为奇函数 B． 是 上的增函数
C． D． 是周期函数
【答案】ABC
【分析】令 ，代入 ，即可得到 再由 ，分别应用函数的奇偶
性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可
【详解】对于A:由题意 ，令 ， ,解得： 或
当 时，令 ，则 恒成立，又已知 为非常值函数故舍去，
当 时，令 ，则 恒成立，又已知 为非常值函数故舍
去，
∴ ，令 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 为奇函数，故A正确；
对于C：令 ， ，因为
若 ,则 ,又 为非常值函数故舍去，
所以 ，所以 所以 ,故C正确:
对于B: 设任意的 且
令 所以 ，又因为 为奇函数，
所以 ，又因为当 时， ，所以 ， ， ,
即 ，所以 是 上的增函数,故B正确;
对于D:因为 是 上的增函数,又因为 为奇函数且 ,
所以 是 上的增函数,故 不是周期函数,故D错误.
故选:ABC.
题型12 分式抽象模型2：对数复合型
对数反比例型：
1．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）定义在 上的函数 ；当
时， ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取 ，所以 ，利用单调性定义得函数 在 上为减函数，利用函数法则得
，最后利用函数单调性比较大小即可.
【详解】取 ，则 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以函数 在 上为减函数，
由 ，得 ，
由 ，所以 ，
因为 ，所以 .故选：A
2．（22-23高三上·山东·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，对任意的 ， ，都有
，且当 时， 恒成立.若 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，得 ，令 ，得 ，得 为奇函数. 令 ，得
，得函数 在 上单调递减，利用单调性将不等式 化为
，结合函数的定义域和 可求出结果.
【详解】在 中，令 ，得 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，即 ，
所以 为奇函数，令 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ， ，所以 ，
因为当 时， 恒成立，所以 恒成立，
所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递减，
由 及函数 的定义域可知， ，
又由已知 ，可得 ，可得 ，由 得
，因为函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，结合 ，可得 .
故选：D
3．（2024·浙江·二模）已知函数 满足对任意的 且 都有 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 将 ，再用裂项相消法求
的值.
【详解】∵函数 满足对任意的 且 都有
∴令 ，则 ，
∴
∴
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关
键是将通项分析为：
4．（2026·湖北·二模）定义在 的函数 满足： ， ，且
时， ，若 ， ， ，则 、 、 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 代入 ，得到 的奇偶性，令 ，可得
，并结合题干可推得 的单调性，再对 、 、 进行变形，往 中凑，最后再令
，研究 的单调性即可求解．
【详解】 ， ，令 ，则 ，得 ，
令 得 ，即函数 是奇函数，下面判断函数 的单调性，令 ，则
， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 在 单调递增，， ， ，
构造函数 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 递增，在 递减，则 ，
即 ，所以 ，又 在 单调递增，
所以 ，也即 ．
题型13 分式抽象模型3：齐次同除型构造
齐次同除构造型：
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，对任意 、 ，有
，且当 时， ．当 时，设 ，
，则（ ）
A． 、 大小无法确定 B．
C． D．
【答案】B
【分析】由赋值法求出 、 的值，令 ，可判断出 的奇偶性，令 ，讨论
的单调性，结合函数 单调性可判断 、 间的大小关系．
【详解】令 ，得 ，所以 ．
令 得 ，所以 ．
令 ，得 ，则 ，所以， 是偶函数，所以 ．
令 ，则 ．
设 ，则 ，且 ，所以 ，
则 ，所以 在 上单调递增．
当 时， ，所以 ，即 ，
即 ，即 ，
故选：B．
2.（2025高三·全国·专题练习）设函数 满足：对任意的正数 ， ， ，且
，则 ______， ______．
【答案】 2 10240
【分析】应用赋值法计算求解得出 ，再根据已知性质得出 ，再应用叠加法计
算求解即可.
【详解】令 ，得 ，所以 ．
令 ， ，得 ，所以 ．
令 ， ，得 ，即 ．
所以 ．
所以 ．
故答案为：2；10240.
3.（23-24高一上·四川凉山·期中）已知定义在 上且不恒为0的函数 满足如下条件：（1）
，（2）当 时， ；则下列结论中正确的是__________．
① ；
②函数 是奇函数；
③函数 在 上是减函数；
④不等式 的解集为
【答案】①②③
【分析】利用赋值法，即可判断①②； ，令 ，得 ，即可判断③；若 ，得 结合奇函数的性质确定 在各区间的符号，解不等式即可判
断④.
【详解】①：令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，故①正确；
②：令 ，则 ，
所以函数 为奇函数，故②正确；
③： ，且 ，令 ，则 ，
所以 ，又当 时 ，则 ，
所以 ，故 ，
所以函数 在 上是减函数，故③正确；
④：若 ，则 ，
由性质（2）可得 ，得 ，
由②可知函数 为奇函数，得 ， ，
同理，当 时， ，当 时， ，
由 ，得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，故④错误.
故选：①②③.
4.（24-25高三 全国·阶段检测）已知 是定义在 上不恒为零的函数，对于任意的 ， 都有
成立，数列 满足 （ ），且 ，则数列 的通项公式
_______．
【答案】
【详解】试题分析：由于 ，则 且 ，所以对于任意的 ， 都有
成立，令 ，则 ，所以 ，所以
，所以 是 为首项，公差为 的等差数列，所以 ，所以 ．
考点：抽象函数的应用；等差数列的通项公式．
【方法点晴】本题主要考查了数列的表示及抽象函数的性质，其中解答中涉及到抽象函数的赋值及应用，
等差数列的概念及表示，等差数列的通项公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题
的能力，以及构造思想的应用，解答中根据题设条件，化简得到数列 是 为首项，公差为 的等差数列
是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
Jieshu
