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专题02 立体几何大题综合（天津专用）
一、解答题
1．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形 是边长为2
的菱形， ，四边形 为矩形， ，且平面 平面 .
(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面 夹角大小；
(3)若在线段 上存在点 ，使得 平面 ，求点 到平面 的距离.
2．（2023·天津·校联考二模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形，
， 平面ABCD，E为PD中点.
(1)若 .
（i）求证： 平面PCD；
（ii）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；
(2)若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为 ，求PA.
3．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥
中， 底面ABCD， ， ， ， ，
点E为棱PC的中点．(1)证明： ；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足 ，求平面FAB与平面PAB所成角的余弦值．
4．（2023·天津河北·统考二模）如图，在直三棱柱 中， 是以BC为
斜边的等腰直角三角形， ，D，E分别为BC， 上的点，且
.
(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)若平面 与平面ACD的夹角为 ，求实数t的值.
5．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥 中， 底面
，且 ，四边形 是直角梯形，且 ， ， ，
， 为 中点， 在线段 上，且 .(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
6．（2023·天津红桥·统考二模）如图，在底面是矩形的四棱锥 中， 平
面 ， ， ， 是PD的中点.
(1)求证：平面 平面PAD；
(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
(3)求B点到平面EAC的距离.
7．（2023·天津·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 底面 ，
．点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点，
， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到直线 的距离；(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
若存在，求出线段 的值，若不存在，说明理由．
8．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥 中，侧面PAD为等
边三角形，线段AD的中点为O且 底面ABCD， ，
，E是PD的中点．
(1)证明： 平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求平面MAB与平面ABD
夹角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，求点D到平面MAB的距离．
9．（2023·天津河西·统考三模）已知直三棱柱 中， ，
， ，D,E分别为 的中点，F为CD的中点.
(1)求证： //平面ABC；
(2)求平面CED与平面 夹角的余弦值；(3)求点 到平面 的距离．
10．（2023·天津南开·统考一模）如图，四棱锥 中，平面 平面
是 中点，
是 上一点.
(1)当 时，
（i）证明： 平面 ；
（ii）求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值.
11．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知正三棱柱
中，侧棱长为 ，底面边长为2，D为AB的中点.
(1)证明： ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求直线CA与平面 所成角的正弦值.
12．（2023·天津河北·统考一模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 ， ， ，点 在线段 上，且 .(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
13．（2023·天津和平·统考二模）如图，在四棱柱 中，底面 是
正方形，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(3)求平面 与平面 的夹角的正弦值．
14．（2023·天津河西·统考二模）如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中
点， ， ．(1)求证： 平面AMC；
(2)求异面直线AM与 所成角的余弦值；
(3)求平面AMC与平面 的夹角的余弦值．
15．（2023·天津南开·统考二模）如图，在直三棱柱 中， ，
， 为 的中点， ，垂足为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 的夹角.
16．（2023·天津河西·统考一模）已知四棱锥 中， 平面 ，
， ， ， 线段 的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）如图，三棱柱 中， ，， .
(1)证明 ；
(2)若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱
中，平面 平面 ， 是 的中点，且
.
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值.
19．（2023·天津·统考二模）如图，在多面体 中，四边形 为正方形，
平面 ， ， ， .(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与 所成角的余弦值为 ，若存在，求
出点 到平面 的距离，若不存在，请说明理由.
20．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台 中，上､下底面均是正
方形，且侧面是全等的等腰梯形， 分别为 的中点，上下底
面中心的连线 垂直于上下底面，且 与侧棱所在直线所成的角为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若
存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由.
