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微专题01 权方和不等式与柯西不等式讲义
微专题教学内容
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(a
2+b
2)(c
2+d
2)≥(ac +bd)
2(a,b,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1) √a
2+b
2⋅√c
2+d
2≥|ac +bd|(a,b,c ,d ∈R, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
(2) √a
2+b
2⋅√c
2+d
2≥|ac|+|bd|(a,b,c ,d ∈R, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
(3) (a+b)(c +d)≥(√ac +√bd)
2(a,b,c ,d ≥0, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
3.扩展： (a1
2+a2
2+a3
2+⋯+an
2)(b1
2+b2
2+b3
2+⋯+bn
2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn)
2
二、权方和不等式:
若
则
当且仅当
时取等.
(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)
广义上更为一般的权方和不等式:
设
,
若
或
, 则
;
若
, 则
;
1
上述两个不等式中的等号当且仅当
时取等
注意观察这个不等式的结构特征, 分子分母均为正数, 且始终要求分子的次数比分母的次数
多 1, 出现定值是解题的关键, 特别的, 高考题中以
最为常见, 此时这个不等式是大
家熟悉的柯西不等式.
典例精讲
【典例1】
权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
会一题通一类
1．若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．3
2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的．其具体内容为：设
，则
，当且仅当
2
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】
已知
，
，为非负实数，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
会一题通一类
1．已知实数
，
，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．若
，且
，则
的最小值为 ．
【典例3】
已知
，
，
，则
的最小值为 .
会一题通一类
已知实数
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】
已知
，
满足
，则
的最小值为 .
会一题通一类
3
已知x，y，z 满足
，则
的最小值为 .
【典例5】
函数
的最小值为 ．
会一题通一类
设非负实数
、
、
满足
．则
的最小值为 ．
【典例6】
1.用柯西不等式求函数
的最大值为
A．
B．3
C．4
D．5
2.求
的最大值．
学后测评
1. 已知实数
，
满足
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．9
2. 已知正实数
满足
，若
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．8
B．16
C．24
D．36
3. 已知
且
，则下列选项不正确的是（ ）
A．
的最大值是
B．
的最大值是
C．
的最小值是
D．
的最小值是
4
4. 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯
西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量
,
,由
得
到
,当且仅当
时取等号.现已知
,
,
,则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5. （多选）已知实数
且
，下列选项正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为 12
C．
的最小值为
D．
的最小值为
6. 已知
，
，
，则
的最小值为 .
7. 已知
，且
，则
的最小值是 .
8. 已知函数
，若
，
且
，则
的最小值
为 ．
9. 已知x>0，y>0，且
，则x+2y 的最小值为 .
10. 设正实数
、
、满足
．则
的最小值为 ．
11. 实数x、y 满足
，则
的最大值是
5
6
