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微专题03 解三角形
【秒杀总结】
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有
、
、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
【典型例题】
例1．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知该三
角形的面积
．
(1)求角
的大小；
(2)若
时，求
面积的最大值．
例2．（2024·广东湛江·统考一模）已知在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
外接圆的直径为
，求
的取值范围．
例3．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
.
(1)求
的值；
(2)若
为线段
上一点且满足
平分
，求
的面积的取值范围.
1
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例4．（2024·山西吕梁·统考一模）设
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)设
的角平分线交
于点
，求
的最小值．
例5．（2024·广东佛山·统考模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，其中
，
．
(1)求角
的大小；
(2)如图，
为
外一点，
，
，求
的最大值．
例6．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，
且
．
(1)求
；
(2)若
，连接
，求
的值．
2
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例7．（2024·福建漳州·统考模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，且
的外接圆
半径为4.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，求
的最大值.
【过关测试】
1．（2024·河南安阳·统考一模）已知
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的值．
2．（2024·湖北·校联考模拟预测）在
中，已知
，D 为
的中点.
(1)求A；
(2)当
时，求
的最大值.
3．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考一模）在锐角
中，角
所对的边分别为
，且
的面积
.
(1)求角A；
(2)若
，求
的取值范围.
3
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4．（2024·山东日照·统考一模）在锐角
中，角A，B，C．所对的边分别为a，b，c．已知
且
，
(1)求角B 及边b 的大小；
(2)求
的值．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求
边上的中线长.
6．（2024·江西·新余市第一中学校联考一模）在
中，已知内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且
的面积为
，点D 是线段
上靠近点B 的一个三等分点，
．
(1)若
，求c；
(2)若
，求
的值．
7．（2024·四川·校联考模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角
；
(2)若
的角平分线交
于
，求
的长.
4
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8．（2024·云南大理·统考模拟预测）如图所示，在平行四边形
中，有：
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求平行四边形
的面积.
9．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知该三角形的
面积
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
面积的最大值，并求当面积取得最大值时对应
的周长．
10．（2024·广东茂名·统考一模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
.
(1)求
的值；
(2)若
为
的中点，且
，求
的最小值.
11．（2024·湖南长沙·统考一模）在
中，角
，
，
所对的边长分别为
，
，，且满足
.
5
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(1)证明：
；
(2)如图，点
在线段
的延长线上，且
，
，当点
运动时，探究
是否为定值？
12．（2024·云南曲靖·统考一模）在
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)线段
上一点
满足
，求
的长度．
13．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）如图，在四边形
中，
为
的中
点，
，
，
，
(1)求
；
(2)若
，
，求
.
14．（2024·全国·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
．
(1)试判断
的形状，并说明理由；
(2)若
，点
在
内，
，
，求
．
6
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15．（2024·全国·校联考模拟预测）在锐角
中，角
、
、
所对的边分别为
，
，
，有
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的取值范围．
16．（2024·全国·模拟预测）在
中，已知
．
(1)若
，证明：
为直角三角形；
(2)若
，求
的面积．
17．（2024·浙江嘉兴·嘉兴一中校考一模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
.
(1)求角A；
(2)作角A 的平分线与
交于点
，且
，求
.
18．（2024·湖南邵阳·统考一模）在
中，角
所对的边分别为
，向量
，
向量
，且
.
(1)求证：
；
(2)延长
至点
，使得
.当
最大时，求
的值.
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19．（2024·山东泰安·新泰市第一中学校考模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
.若
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围.
20．（2024·全国·模拟预测）在
中，
分别为角
，
，
所对的边，点
为
的中点．
(1)若
，
，
，求
的值；
(2)若
，求
的值．
21．（2024·全国·模拟预测）将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将其
纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍得到
的图象．
(1)设
，
，当
时，求
的值域；
(2)在
中，a，b，c 分别是角A，B，C 所对的边，已知
，
，
，求
内切圆半径r 的值．
22．（2024·全国·模拟预测）在“①
；②
；③
”这
三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在
中，角
所对的边分别为
，且______．
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(1)求角
的大小；
(2)若
表示
内切圆的半径，求的最大值．
23．（2024·全国·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)求角B 的大小．
(2)若
，是否存在正整数b，使得
是锐角三角形？若存在，求出b 的最小值；若不存在，请说
明理由．
24．（2024·全国·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c 且
，过点
A 作
，使得四边形ABCD 满足
，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求四边形
的面积．
25．（2024·云南昆明·统考一模）在
中，
，
，
.
(1)求
的面积；
(2)如图，
，
，求
.
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