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实战演练 02 三次函数的图像与性质
①三次函数的零点
②三次函数的极值、极值点
③三次函数的切线
④三次函数的对称性
一、三次函数概念
定义：形如f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)叫做三次函敞
f'(x)=3ax2+2bx+c，把Δ=4b2−12ac叫做三次函数导函数的判别式
−b−❑√b2−3ac −b+❑√b2−3ac
当Δ>0时，令f'(x)=0，记两根为x = ，x =
1 3a 2 3a
二、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式 f (x)的图像 f'(x)的图像 f (x)的性质
f'(x)≥0恒成立
{ a>0 { a>0
⇒ f (x)在R上递增
¿Δ≤0 ¿b2≤3ac
f (x)无极值点
f'(x)≤0恒成立
{ a<0 { a<0
⇒ f (x)在R上递减
¿Δ≤0 ¿b2≤3ac
f (x)无极值增区间(−∞，x )，(x ，+∞)
1 2
{ a>0 { a>0 减区间(x 1 ，x 2 )
⇒
¿Δ>0 ¿b2>3ac
f (x)有两个极值点
极大值f (x )，极小值f (x )
1 2
增区间(x ，x )
1 2
{ a<0 { a<0 减区间(−∞，x 1 )，(x 2 ，+∞)
⇒
¿Δ>0 ¿b2>3ac
f (x)有两个极值点
极大值f (x )，极小值f (x )
2 1
三、三次函数的零点个数
若三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
三次函数图像
性质 说明
a＞0 a＜0
b2−3ac>0
三 f (x )⋅f (x )<0
1 2
个
两个极值异与
图像与x轴有三个交点
b2−3ac>0
零 f (x )⋅f (x )=0
1 2
两
点
有一个极值为0
个
个
图像与x轴有两个交点
数
存在极值时
b2−3ac>0
一 f (x )⋅f (x )>0
1 2
个
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点
四、三次函数的韦达定理
设f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的三个零点分别为x ，x ，x ，则
1 2 3
b
(1)x +x +x =−
1 2 3 a
c
(2)x x +x x +x x =
1 2 2 3 3 1 ad
(3)x x x =−
1 2 3 a
1 1 1 c
(4)
+ + =−
x x x d
1 2 3
五、三次函数的对称性
( b ( b ))
结论1 三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点 − ，f − 中心对称
3a 3a
结论2 已知三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)中心对称点的横坐标为x ，两个极值点分别为x ，x
0 1 2
f (x )−f (x ) 2 a
，则 1 2 = f' (x )=− (x −x ) 2
x −x 3 0 2 1 2
1 2
结论3 若y=f (x)图像关于点(m，n)对称，则y=f'(x)图像关于轴x=m对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
①三次函数的零点
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数 在区间 内有两个零点，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得 ，解得即可.
【详解】因为 ，所以当 或 时 ，
即 在 ， 上单调递增，
当 时 ，即 在 上单调递减，
根据题意可得 ，即 ，解得 .
故选：A
2．（2024·湖南长沙·一模）函数 有3个零点的充分不必要条件是（ ）
A． ，且 B． ，且C． ，且 D． ，且
【答案】D
【分析】由题意可得函数 有3个零点的充要条件为 且 ，
逐个选项分析其是否为 且 的充分不必要条件即可得.
【详解】 ，有 ，
若 有三个零点，则有 且 ，
故函数 有3个零点的充要条件为：
且 ，
对A： ，且 ，则当 时，有 ，不符，故A错误；
对B：可能 ，不符，故B错误；
对C： 且 ，则 ，不符，故C错误；
对D： ，且 ，则 ，
即由 ，且 能得到 且 ，
但 且 并不意味着 ，且 ，
故 ，且 是 且 的充分不必要条件，
即是函数 有3个零点的充分不必要条件，故D正确.
故选：D.
3．（2024·宁夏银川·三模）已知函数 有3个零点 ， ， ，有以下
四种说法：
①
②
③存在实数a，使得 ， ， 成等差数列
④存在实数a，使得 ， ， 成等比数列
则其中正确的说法有（ ）种.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意设 ，根据 ，求导分析 的单调性，进而数形结合分析，根
据 可判断①，根据函数的极大值可判断②，根据三次函数的对称性可判断③，举例
可判断④.【详解】由 ，得 ，
设 ，则 ，
则 的极小值为 ，极大值为 ．
对①，因为 ，
所以 ，当且仅当 时， ，所以 ，①正确．
对②，因为 在 上单调递减，且 ，
所以 ，所以 未必成立，②错误．
对③，设 ，令 有 ，则有 ，
故 图象存在对称中心 ，
所以存在实数 ，使得 ， ， 成等差数列，③正确．
对④，因为 ，所以存在实数 ，使得 ， ， 成等比数列，④正确．
故选：C.
4．（23-24高三上·云南·阶段练习）关于函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在 上单调递减
B．当 时，函数 在 上恒成立
C．当 或 时，函数 有2个零点
D．当 时，函数 有3个零点，记为 ，则【答案】D
【分析】利用导数求出函数单调性可得A错误；画出函数 的图象可求得BC错误，根据零点个
数可求得 ，令 再利用三角函数值域以及倍角公式即可求得D正确.
【详解】对于A，因为函数 ，令 ，则 ；
当 或 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ；此时函数 单调递减，
作出函数 的大致图象如图，故A错；
对于B，由A选项可知，易知 ，
又易知 时，函数 单调递减， 时，函数 单调递增；
当 时，若 ， 不一定成立，例如当 时， ，
所以当 ， 不一定成立，故B错；
对于C，方程 的根即为 与函数 的交点横坐标，
由A可知，函数 在 时取得极大值1，在 时取得极小值 ；
作出函数 的图象如图，当 或 时，函数 有1个零点，故C错；
对于D，函数 有3个零点，则可得 ，且 ；
记 ，
令 ，则 ，所以 ，
于是
，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数 有3个零点 的范围限定在 上，再
利用倍角公式即可得出结论.
二、多选题
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知三次函数 ，下列结论正确的是
（ ）
A．当 时， 单调递减区间为
B．当 时， 单调递增区间为
C．当 时，若函数 恰有两个不同的零点，则
D．当 时， 恒成立，则a的取值范围为
【答案】ACD
【分析】利用导数研究 区间单调性判断A、B，由函数 恰有两个不同的零点，则有一个极值为0，
易得 或 判断C；将不等式恒成立化为 恒成立，对右侧构造函数，应用导数求
其最大值即可判断D.
【详解】 ，则 ，
当 时 ，在区间 上 ，所以 在 上单调递减区间，A正确，B错误；
要使函数 恰有两个不同的零点，则 有一个极值为0，
由上分析知： 或 ，而 时 ，不满足题意；
所以 ，有 ，化简可得 ，C正确；
当 时 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，故 ，
在 上 ， 单调递增，在 上 ， 单调递减，
∴ ，故 ，D正确．
故选：ACD
6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数 有三个不同的零点
，函数 .则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．若 恰有两个不同的零点 ，则
D．若 有三个不同的零点 ，则
【答案】ABD
【分析】对于A，由题意可得 有两个不同实根，则由 即可判断；对于B，若 成等差
数列，则 ，从而结合 即可判断；对于C，若 恰有两个零点，
则 或 必为极值点，分类讨论即可判断；对于D，由韦达定理即可判断.
【详解】 ， ， ，对称中心为 ，对A：因为
有三个零点，所以 必有两个极值点，所以 ， ，A正确；
对B，由 成等差数列，及三次函数的中心对称性可知 ，所以 ，
又 ，故 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对C： ，即 ，
若 恰有两个零点，则 或 必为极值点；
若 为极值点，则该方程的三个根为 ， ， ，由一元三次方程的韦达定理可知： ；
若 为极值点，同理可得 ，故C错；
对D：由韦达定理 ，
得 ，
即 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：判断C选项得关键是得出 或 必为极值点，由此即可顺利得解.
三、填空题
7．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）函数 有且只有3个零点，则实数 的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分段函数中各段函数的单调性，分成 ， 两种情况并结合导数进行讨论即可.
【详解】当 时， 时， ， ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 取最小值.
函数 有且只有3个零点，又 在 上单调递增，
所以 ，在 有两个零点且此时 ，
而 在 上有一个零点，如图，
所以 ，解得 ，且 ，所以 ．
所以 .
当 时， 时， ， ，
故 在 上单调递增，且此时 ，
又 在 上恒成立，所以此时不合题意.
综上， ，即 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数范围常用的方法：
（1）分离参数法：通常解法为从中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，
根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分类讨论法：通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是
否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
8．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ，函数 恰有两个零点，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据导数判断单调性，结合零点和极值点求出 ，构造函数，求导可得 的取值范围.
【详解】∵ 且 ，
∴ ， .
则方程 必有两个不等的实根 .
设 ，则 ， .
则必有 ，且 ①.
当 或 时， ；当 时， .因此函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .
由于 ，若函数 有两个零点，则 ②.
联立①②得 ，解得 ，∴ .
令 ，令 ，则 .
从而 ，解得 .
因此 .
故当 时， ，函数 单调递增.
因此 .
故答案为：
②三次函数的极值点
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）已知 ，是函数 两个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数导数，解方程得出极值点，计算可判断选项.
【详解】 ，令 ，解得 ，
所以 ，故AB不正确；
，故C正确D错误.
故选：C
2．（2024高三下·全国·专题练习）若函数 在 处有极大值，则实数 的值为（ ）
A．1 B． 或
C． D．【答案】D
【分析】借助极值点定义可得 ，即可得 或 ，再分类进行讨论排除极小值情况即可得.
【详解】 ，
则有 ，解得 或 ，
当 时， ，
则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处有极小值，不符合题意；
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 处有极大值，符合题意．
综上可得， .
故选：D.
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设 是函数 的两个极值点，若 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果.
【详解】由题意得 ，又 是函数的两个极值点，
则 是方程 的两个根，
故 ，
又 ，则 ，即 ，则 ，
则 ，所以 ，解得 ，
此时 .
故选：C．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的导函数 ，若函数 有一极大值点为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令 且 恒成立，根据 的极值点得到矛盾， 有两个不同的零点，
利用三次函数性质判断 单调性，进而求参数范围.
【详解】由题意 ，令 ，
若 恒成立，易知：当 时 ，当 时 ，
所以 是 的极小值点，不合题意，故 有两个不同零点．
设 的两个零点分别为 ，则 ，
结合三次函数的图象与性质知： ，
在 、 上 ， 单调递减，在 、 上 ， 单调递增，
是 的极大值点，符合题意，
此时需 ，得 ，所以实数 的取值范围为 ．
故选：D.
5．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数 的极大值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论 、 与 三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，可得 或 ，
当 ，即 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是函数 的极大值点，满足题意；
当 ，即 时， 恒成立，则 在 上单调递增，没有极值点，不满足题意；
当 ，即 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是函数 的极小值点，不满足题意；
综上， ，即 的取值范围为 .
故选：A.
6．（2024·云南大理·模拟预测）若 为函数 （其中 ）的极小值点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 时 为单调函数，无极值点不符合题意；令 有两根为 或 ，分
、 讨论，根据 为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得答案.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
由于 ，且 ，故 有两根为 或
①当 时，若 为极小值点，则需满足： ，故有 ，
可得 ；
②当 时，若 为极小值点，则需满足： ，故有： ，
可得 .
故A，B选项错误，综合①②有： .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据 为极小值点得到 的关系再结合不等式的性质解题.
7．（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）若函数 的两个极值点都大于
2，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由题， ，则方程 的两根都大于2，由根的分布知识可
得答案.
【详解】 ，对于方程 ，
设方程两根为 ，由韦达定理，
.
因 的两个极值点都大于2，则方程 的两根都大于2，
则
.
结合 ，可得 .
故选：D
8．（2024·全国·模拟预测）设 为函数 （其中 ）的两个不同的极值点，若不
等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】导函数为二次函数， 为对应的一元二次方程的两根，由 ，代入函数解析式，
结合韦达定理化简，可解出实数 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ．
又函数 有两个不同的极值点 ，所以
解法一：由 ，得 ，
即 ．
将 的值代入（*）式，得 ，解得 ，
故选：A．
解法二：函数 为奇函数，图象的对称中心为 ，则函数 图象的对称中心为
设 ，
，
比较系数，有 ，
解得
所以函数 图象的对称中心为 ，
即若 存在两个相异的极值点 ，则其对称中心为点 和点 的中点，即
．
由题设得 ，即 ，即 ，
所以 解得 .
故选: A．
二、多选题
9．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数 的两个极值点分别为 ，若过点
和 的直线 与坐标轴围成三角形面积为 ，则直线 方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由题意 有两个不同的零点，则 求参数a范围，再根据 代入 、
确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求a值．
【详解】由题意 有两个不同零点，
则 ，所以 ，即 或 ，由 即 ，
，
同理有 ，
所以 、 均在 上，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则直线 与坐标轴围成三角形面积 ，即 ，
即 ，
综上， ， ，
因为即 或 ，故 ，得 ，
故选：BC
10．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）函数 有三个不同极值点 ，且
.则（ ）
A． B．
C． 的最大值为3 D． 的最大值为1
【答案】BCD
【分析】选项A可根据求导后分析单调性，得到 的最小值大于1恒成立可得；选项B可由
分析求出；选项C可由 及 求出；
选项D可由 和 求出；
【详解】对于A： 有三个不同极值点 ，
则 有三个不等实根为 ，则 定有三个解.
设 ，当 ， 恒成立，
得 单调递增， 不会有三个解，
所以 ， ，
得 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增.
定有三个解 恒成立，
因为 ，所以 恒成立.
即 ，得 ，故A错误；
对于D：设
，
故 ， ， ，故 ，故D正确；
对于B：又
，故B正确；
对于C：又 ， ， ，
则 ，
又 ，放 ，
的最大值为3，故C正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题A选项关键在于由导数分析单调性，得到 的最小值大于1恒成立从而得到
的范围；选项BCD根据方程根的特征求解.
11．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数 ， 且满足 ，
，对任意的 恒有 ，且 为 的极值点，则下列等式成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD【分析】根据给定条件，可得 分别为函数 的极大值点和极小值点，由此求出 ，再逐项
判断即可得解..
【详解】由 ，求导得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此当 时， 取得极大值 ，在 时， 取得极小值 ，
对任意的 恒有 ， ， ，
又当 且满足 ， ，
则 分别为函数 的极大值点和极小值点，
则 ，由 ，得 ，即 ，解得 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
对于A，由 ，求导得 ，显然 是 的变号零点，
即 ， ，A正确；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：ABD
12．（2024·山西太原·三模）已知 是函数 的极值点，若 ，
则下列结论 正确的是（ ）
A． 的对称中心为 B．
C． D．【答案】AC
【分析】利用 ，可判断A；令 ，解得 ，代入 可判断B；利
用导数判断出 的单调性并求出极值点，结合图像分情况由 解出 ，可得
可判断C；利用C选项，若 ， ，得出 可判断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 的对称中心为 ，故A 正确；
对于B， ，令 ，解得 ，
当 时，
，
因为 ，所以 ，可得 ，
当 时，
，
因为 ，所以 ，可得 ，
故B错误；
对于C，令 ，解得 ，
当 或 时， ， 是单调递增函数，
当 时， ， 是单调递减函数，
所以 在 时有极大值，在 时有极小值，
如下图，当 时，若 ，则，
可得 ，即 ，解得 ，
所以 ；
当 时，如下图，若 ，则
，
可得 ，即 ，解得 ，
所以 ；
综上所述， ，故C正确；
对于D，由C选项可知，若 ， ，
所以 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.
三、填空题
13．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）已知曲线 在点 处的切线斜率为3，
且 是 的极值点，则函数的另一个极值点为 .【答案】
【分析】对函数求导，结合已知有 ，且 ，求得 ，再
根据导数的符号判断单调区间，进而确定另一个极值点即可.
【详解】由题设 ，则 ，且 ，
所以 ，即 ，
当 ， ，则 上 递增；
当 ， ，则 上 递减；
所以 、 都是 的极值点，故另一个极值点为 .
故答案为：
14．（2024·云南·一模）已知 在 上只有一个极值点，则实数 的取值范围
为 .
【答案】
【分析】求导，分离参数，转化为函数交点个数求解即可.
【详解】因为 在 上只有一个极值点，
则 在 上有唯一解，且左右函数值异号.
即 ，
令
则 ，
易知 在 单调递减，在 单调递增，
且 ， ，
故 ，解得 .故答案为： .
15．（2024·江苏南京·二模）已知函数 的两个极值点为 ， ，记
， ．点B，D在 的图象上，满足 ， 均垂直于y轴．若四边形 为
菱形，则 ．
【答案】
【分析】令 得 ，四边形 为菱形，由 得 ，又
，得 ，由 ，代入函数解析式求 的值.
【详解】函数 ， ，
若 ， 恒成立， 在 上单调递增，不合题意，
时， ，得 ，
则 ， ，
四边形 为菱形，则 ，
，故 ， ，
，则 ， ，
由 ，化简得 ，令 ，则 ，
即 ，解得 ，故 ， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点是用好四边形 为菱形，由对角线互相垂直利用直线斜率得
，利用对角线互相平分有 ，求出 ，由 求 的值.
③三次函数的切线
一、单选题1．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线
在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
首先由奇偶性求得 时 的解析式，再结合导数的几何意义求切线方程即可.
【详解】因为 ， ， ，
又由 是偶函数， ，
令 ，则 ，
根据 是偶函数， ，
得到 时， ，
所以， 时， ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ，
即 .
故选：C.
2．（2024·宁夏银川·二模）已知点 不在函数 的图象上，且过点 仅有一条直线与
的图象相切，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线和曲线相切得到 ，结合导数及函数零点的个数可得答案.
【详解】点 不在函数 的图象上，
则 ，即 ，
设过点 的直线与 的图象相切于 ，
则切线的斜率 ，整理可得 ，
则问题可转化为 只有一个零点，且 ，令 ，可得 或 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
即当 时， 有极大值，当 时， 有极小值，
要使 仅有一个零点，
或
故选：B
3．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点 可作曲线 三条切线，则（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【分析】设出切点 ，求导，得到切线方程，将 代入切线方程，得到
，故 有三个实数根，令 ，求导，得
到其单调性和极值点情况，从而得到不等式，求出答案.
【详解】设切点为 ，则 ，
，故 ，且切线方程为 ，
因为 在切线上，故 ，
整理得 ，
因为过点 可作曲线 三条切线，
故 有三个实数根，
设 ，则 ，
由 得， 或 ，
因为 ，由 得 或 ，此时 单调递增，
由 得 ，此时 单调递减，
所以 的极大值点为 ，极小值点为 ，
故 要有三个实数根的充要条件为 ，即 ，解得 .
故选：D
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；
(2) 已知斜率 求切点 即解方程 ；
(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用
求解.
二、多选题
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．方程 有3个解
C．当 时，
D．曲线 有且仅有一条过点 的切线
【答案】AC
【分析】直接验证可判断A，对表达式进行变换，可判断B和C，直接给出两条符合条件的切线，可判断
D.
【详解】对于A，由于 ，从而
，故A正确；
对于B，由于当 时有 ，
当 时有 ，
故方程 在 上无解；而当 时有 ，故 在 上递增，从而方程 在
上至多有一个解.
所以方程 总共至多有一个解，不可能有3个解，故B错误；
对于C，当 时，由 有 ，
且由 有 ，
从而 ，故C正确；
对于D，由于 ，故 ， .
而 ， ，故曲线在 和 处的切线分别是 和 ，这两条切线均过点 ，故
D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于从多种角度研究三次函数的性质.
三、填空题
5．（2024·广东深圳·一模）已知函数 ，设曲线 在点
处切线的斜率为 ，若 均不相等，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】18
【分析】求出函数的导数，可得 的表达式，由此化简推出 ，结合 说明
，继而利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由于 ，
故 ，
故 ， ，
则
，
由 ，得 ，
由 ，即 ，知 位于 之间，
不妨设 ，则 ，故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故则 的最小值为18，
故答案为：18
【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达
式推出 ，并说明 ，然后利用基本不等式求最值即可.
④三次函数的对称性
一、单选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）函数 图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 的对称中心为 ，利用 对任意 恒成立，即可求出 和 .
【详解】设 的对称中心为 ，则 对任意 恒成立，
代入 解析式，有 ，
即 对任意 恒成立，
所以 ，解得 ，故对称中心为 .
故答案为：B.
2．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数 ，设数列 的通项公式为 ，
则 （ ）
A．36 B．24 C．20 D．18
【答案】D
【分析】先根据解析式求出对称中心，再结合等差数列项的性质计算求解即可.
【详解】 ，所以曲线 的对称中心为 ，即
，因为 ，易知数列 为等差数列， ， ，
所以
，
所以 .
故选:D.
3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知曲线 与曲线 交于点
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令 ，由 和 可确定两曲线均关于 中心对
称；利用导数可求得 单调性和极值，结合 的单调性可确定两曲线在 上的图象，
由此可确定交点个数，结合对称性可求得结果.
【详解】令 ，
则 ，
，
， 关于 中心对称；
， 关于 中心对称；
，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
极小值为 ，极大值为 ；
当 时， 单调递减，且 ，
当 时， ；作出 与 在 时的图象如下图所示，
由图象可知： 与 在 上有且仅有两个不同的交点，
由对称性可知： 与 在 上有且仅有两个不同的交点，
.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据函数的解析式，确定两函数关于同
一对称中心对称，结合两函数图象确定交点个数后，即可根据对称性求得交点横纵坐标之和.
4．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根据对称性可得 ，由此可构造方程求得结果.
【详解】 图象关于点 对称， ，
又
，
，
，解得： ， .
故选：D.
5．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知函数 ，且 ，下面四个判断，
正确的个数为（ ）个.① ；
②若 ，则 关于 点对称；
③若 ，则对于 R， ；
④若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】对于①，求函数 ，代入 验证符号得出结果；对于②，根据对称性结论验证
是否成立；对于③展开 ，根据二次函数最值进行计算得出结果；对于④利用作差
比较法得出结果.
【详解】由已知 ，
对于①， ，
因为 ，所以 ， ，故①正确；
对于②，若 ，则 ，因为
，
所以 关于 点对称，故②正确；
对于③，将 展开可得 ，
又抛物线开口向上，故 ，当 时， ，
所以 ，则对于 R， ，故③正确；
对于④， ，
因为由 得 ，即 ，由 得 ，
所以 ，即 ，故④正确.
故选：D.二、多选题
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B．点 是曲线 的对称中心
C． 有三个零点
D．直线 是曲线 的一条切线
【答案】ABD
【分析】根据极值点的定义可判断A；由 为奇函数，根据平移变换可判断B；由 的单调
性和最值可判断C；利用导数的几何意义可判断D.
【详解】由题意， ，令 得 或 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减，
所以 是极值点，故A正确；
令 ，该函数的定义域为 ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动两个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故B正确；
因为 ，所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有两个零点，故C错误；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D正确，
故选：ABD.
7．（2023·山东·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上的最小值为
B． 的图象与 轴有3个公共点
C． 的图象关于点 对称
D． 的图象过点 的切线有3条【答案】ABD
【分析】将原函数 的导函数求出，即为： ，由导函数的正负判断
原函数的单调性，然后即可判断出函数在 上的最值，将原函数的极大值与极小值求出，即可画出函
数图象，判断出函数与 轴的交点个数，对于C选项，只需判断出 即能说明 的图
象关于点 对称，D选项需求过点 的切线方程，注意区分过某点的切线方程和在某点的切线方程.
【详解】因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 或 时， ， 单调递增，
A选项中，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
，
所以 在 上的最小值为 ，A正确；
因为 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
，
，
且当 时， ， 时， ，
如图所示：
所以 的图象与 轴有3个公共点，B正确；
若 的图象关于 对称，则有 ，
因为 ，
所以C错误；
因为 ，设 的切点为 ，
所以 ，
所以在切点 处的切线方程为： ，当切线过 时，即： ，
整理得： ，
设 ，
则
所以 时， 或 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， 或 ， 单调递增，
所以 ，
所以 的图象如图所示：
所以由图象知 有三个零点，所以 有三个根，
所以 的图象过点 的切线有3条，D正确.
故选：ABD
8．（23-24高二下·江西南昌·期末）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点
B．
C．不等式 的解集为
D．当 时，
【答案】BD
【分析】对于A：求导，利用导数判断 的单调性和极值；
对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可；
对于D：分析可得 ，结合 的单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为 的定义域为R，
且 ，
当 时， ；当 或 时， ；
可知 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是函数 的极大值点，故A错误；
对于选项B：因为 ，故B正确；
对于选项C：对于不等式 ，
因为 ，即 为不等式 的解，但 ，
所以不等式 的解集不为 ，故C错误；
对于选项D：因为 ，则 ，
且 ，可得 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，故D正确；
故选：BD.
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 是 的极值点
B． ，使得
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．函数 的图象是中心对称图形
【答案】BD
【分析】求出函数的导数，当 时， 有两解，列表表示出导数值的正负以及函数的
单调情况，当 时， ，即可判断A，B，C；证明等式 成
立即可判断D.
【详解】A：因为 ，所以 ，
当 时， ，则 在R上单调递增， 不是极值点，故A错误；
B：由选项A的分析知，函数 的值域为 ，所以 ，使得 ，故B正确；
C：由选项A的分析知，当 时， 在 上单调单调递增，在 上单调递减，所以若 为 的极小值点时， 在 上先递增再递减，故C错误；
D： ，
而 ，
则 ，
所以点 为 的对称中心，即函数 的图象是中心对称图形，故D正确.
故选：BD．
10．（2024·贵州·模拟预测）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程
有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为2
C．函数 有三个零点 D． 在区间 上单调递减
【答案】AB
【分析】根据题意，对函数进行二次求导，可得“拐点”，而“拐点”同时也满足函数解析式，这样就可
以得到参数 的值，进而根据三次函数的图象与性质，可得正确答案.
【详解】由 ，可得 ， ，
令 ，得 ，
因为函数 图象的对称中心为 ，
因此 ，解得 ， ，故选项A正确；
由以上过程可知 ， ，
且当 或 时， ；当 时， .
于是 在 和 上都是增函数，在 上是减函数，
故选项D错误；
因为 关于点 对称，所以 的极大值与极小值之和为 ，故选项B正确；
因为函数 极小值 ，
由三次函数的性质知， 只有一个零点，所以选项C错误，
故选：AB.
11．（2024·江西南昌·三模）已知函数 ，若 的图象关于直线
对称，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象也关于直线 对称B． 的图象关于 中心对称
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，由函数图象的对称性可得 ， ，由此分析可得 由此分析
选项，即可得答案.
【详解】设 关于直线 对称，
所以， ，
所以 或 ，
当 时， ， 的图象关于直线 对称，
此时， ，
∴ ，
当 时， ,
∴ ，∴ ，
又∵ 是一个定值，而 随 的不同而不同，
∴此等式不成立，即 不成立,
∴ ，即 ，所以 的图象关于 中心对称，B正确；
∴ ， ，即 ，C正确.与 关于 对称，
∴ ，即 ，即 ，
∴ ，D正确，
又 ，则 ，即 ，
，而 ，
若A选项成立，则 时， ，所以
但此时， ，
所以由 可得 ，但这与已知矛盾，
所以 的图象不可能关于直线 对称，A错误.
故选：BCD.
12．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 ，其中实数 且 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． 必有两个极值点
B．当 ， 有且仅有3个零点时， 的范围是
C．当 时，点 是曲线 的对称中心
D．当 ， 时，过点 可以作曲线 的2条切线
【答案】ABC
【分析】根据 的导数的零点的情况可判断选项A；当 时，由 的单调性得到 且
可判断选项B；当 时，可求出 即可判断选项C；将曲线过某点的切线条
数问题转化为两个函数图象的交点个数的问题即可判断选项D.
【详解】对于A， ，解得 或 ，
所以 必有两个穿过 轴的零点，故A正确；
对于B，当 时，令 ，得 或 ，
令 ，得 ，
所以函数 在 和 单调递减，在 单调递增，
要使 有且仅有3个零点，
只需 ，即 ，所以 ，故B正确；对于C，当 时， ，
，
，所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
对于D， ，设切点为 ，
所以在 点处的切线方程为： ，
又因为切线过点 ，所以 ，
解得： ，
令 ， ，
所以过点 可以作曲线 的切线条数转化为 与 图象的交点个数，
，
令 ，解得： 或 ，
因为 ，所以令 ，得 或 ，
令 ，得 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
， ，如图所示，
当 时， 与 图象有3个交点，
即过点 可以作曲线 的3条切线，故D错误.
故选：ABC.
13．（2025·四川内江·模拟预测）定义： 是函数 的导数，若方程 有实数解，则称点
为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三
次函数图象的对称中心.已知函数 的对称中心为 .则下列选项正确的有（ ）
A．
B． 的值是
C．函数 有一个零点
D．过 可以作三条直线与 图象相切
【答案】BD
【分析】求出函数的一阶导数 ，二阶导数 ，令 ，依题意可得 且 ，
即可求出 、 的值，从而判断A，根据对称性得到 ，利用倒序相加法判断B，利用
导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，设切点为 ，利用导数的
几何意义求出切线方程，判断关于 的方程的根的个数即可判断D.
【详解】由 ，所以 ， ，
令 ，得 ，由函数 的对称中心为 ，
所以 且 ，解得 ，故A错误；
因为 的对称中心为 ，
即 ，
令 ,
则 ，
所以 ，所以 ，故B
正确；
因为 ，则 ，
所以当 时， ，当 或 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，因此函数 的极大值为 ，极小值为 ；
又 ，即 ， ，
所以 在 和 上存在零点，所以函数 有三个零点， 故C错误；
设切点为 ，则切线方程为 ，
又切线过 ，则 ，
化简得 ，令 ，
则 ，
当 或 时， ， 单调递增，当 时， ，
单调递减，而 ， ， ， ，所以 有
3个零点，即方程 有3个不等实根，所以过 可以作三条直线与 图象
相切，故D正确.
故选：BD
