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实战演练 09 立体几何建系求点问题
①直接建系
②通过证线面垂直建系
③在图形外建系
一、建系设点有关的基础储备
与垂直相关的定理与结论
（1）线面垂直
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直；
⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。
⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。
⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。
（2）线线垂直（相交垂直）
① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：若 ，则
二、建立直角坐标系的原则
1. 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即 轴要与坐标平面 垂直，在几何体中也是很
直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为 轴与底面的交点
2. 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于 轴上
（2）找角： 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3.常用的空间直角坐标系满足 轴成右手系，所以在标 轴时要注意。
4.同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5.解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条
线垂直），这个过程不能省略。
三、坐标的书写
1.能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的 点，坐标特点如下：
轴： 轴： 轴：
（2）底面上的点：坐标均为 ，即竖坐标 ，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正
确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例：
O C
I
A H B
则可快速写出 点的坐标，位置关系清晰明了
2.空间中在底面投影为特殊位置的点
如果 在底面的投影为 ，那么 （即点与投影点的横纵坐标相同）
这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵
坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的 点，其投影为 ，而 所以
，而其到底面的距离为 ，故坐标为
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：
3.需要计算的点
①中点坐标公式： ，则 中点
②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求
出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的
值，例如：求 点的坐标，如果使用向量计算，则设 ，可直接写出
，观察向量 ，而 ，四、空间直角坐标系建立的模型
(1)墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型．
建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条
件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直 面内两条线垂直)，这个过程不能省
略．然后建系．
z
D
A B
z 1 1
A
1 D
z 1
C
1
B 1 C 1
x F
y A D A B
O y
F E
B
E C C
x x y
(2)垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型．
情形１ 垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面
图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况．
第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图
形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间
直角坐标系．如图1-1
第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图
形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间
直角坐标系．如图1-2
第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为
为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图
形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3
图1－1
z
A
E
F
B O D y
M
x C图1－2
图1－3
情形2 垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形
1．
图2－1 图2－2 图2－3
情形3 垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形
1．
图3－1
①直接建系
一、解答题
1．（2024·广西柳州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，F为
AB的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD为正方形，
E为线段AB的中点， ．
(1)求证： ；
(2)求直线PE与平面PBD所成角的正弦值．
3．（2024·湖南·三模）如图，四棱锥 的底面 是梯形，
平面 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点E，使得二面角 的余弦值为 .若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由.
4．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，直三棱柱 的体积为6， 的面积为4．(1)求 到平面 的距离；
(2)设 为 的中点， ，平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的正弦值．
5．（2024·天津河西·二模）如图所示，在几何体 中，四边形 和 均为边长为2的正
方形， ， 底面 ，M、N分别为 、 的中点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值.
②通过证线面垂直建系
一、解答题
1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）如图，五面体ABCDEF中，已知面 面 ， ，
， .
(1)求证： .
(2)若 ， ，点P为线段 中点，求直线 与平面 夹角的正
弦值.2．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知斜三棱柱 的侧面 是菱形，
， ．
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
3．（2024·青海·模拟预测）如图，在斜三棱柱 中， ，M为AC的中点， ．
(1)证明： ．
(2)若 ，BB =4， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
1
4．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在三棱柱 中， 为 的中点， ， ，
， .
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值.
5．（2024·山东青岛·二模）如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，且 ， ，
， 为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）如图（1），在平面五边形 中，
，将 沿 折起得到四棱锥 ，如
图（2），满足 ，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
7．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，棱柱 中，侧棱 底面 ， ，E，F
分别为 和 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)设 ，在平面 上是否存在点P，使 ？若存在，指出P点的位置：若不
存，请说明理由.8．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体 是由一个正四棱锥 与一个三棱锥 拼
接而成，正四棱锥 的所有棱长均为 ，且 ．
(1)在棱 上找一点 ，使得平面 平面 ，并给出证明；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
③在平面外建系
一、解答题
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在四棱锥 中，平面 平面 ， ∥ ， ，
， ．
(1)证明： ；
(2)若 为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
2．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
为锐角.
(1)证明： ；
(2)若 ，点 满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
3．（23-24高三下·广西·阶段练习）在 中， ， ，D为边 上一点，，E为 上一点， ，将 沿 翻折，使A到 处， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若射线 上存在点M，使 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求λ.
4．（2024·西藏·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为 的中点， 于点 .
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
5．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在等腰梯形ABCD中， ， ， ，
，M为AB中点，将 ， 沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥
．
(1)求ME与平面CDE所成角的大小；
(2)求二面角 的余弦值．
