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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 09 导数中的构造函数问题（精讲+精
练）
①构造函数比较大小
②构造函数研究最值
③构造函数解不等式
一、必备知识整合
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为 ；
（2）判断函数 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于 ，构造
模型2.对于不等式 ，构造函数 .
★模型3.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
★模型4.对于不等式 ，构造函数
★模型5.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
★模型6.对于不等式 ，构造函数★拓展：对于不等式 ，构造函数
模型7.对于 ，分类讨论：（1）若 ，则构造
（2）若 ，则构造
模型8.对于 ，构造 .
模型9.对于 ，构造 .
模型10.（1）对于 ，即 ，
构造 ．
（2）对于 ，构造 ．
模型11.（1） （2）
二、考点分类精讲
【典例1】（单选题）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数m的
最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【典例2】（单选题）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（单选题）已知函数 的导函数为 ，对任意 ，都有 成立，则
（ ）
A． B． C． D．
【题型训练-刷真题】
一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2022·全国·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和
极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
【题型训练-刷模拟】
1 . 构造函数比较大小
一、单选题
1．（2024·江西宜春·三模）已知 ， ， ，其中 为自然对数的底数，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，则（ ）A． B．
C． D．
7．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·四川成都·模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2 . 构造函数研究最值
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知a， ，若 ， ，则b的可能值为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6
2．（23-24高二下·四川自贡·期中） ，均有 成立，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数 ，若存在
，使得 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数 ， ，若 ，则 的最大
值是（ ）
A． B．0 C． D．
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，当实数 时，对于 都有 恒
成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．6．（2024·河南·模拟预测）已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，则正实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3 . 构造函数解不等式
一、单选题
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知定义域为R的函数 ，对任意的 都有 ，
且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在 上的单调递增函数 满足 恒成立，其中
是函数 的导函数.若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·福建·期中）设 在 上存在导数 ，满足 ，且有
的解集为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数 的图象是一条连续不断的曲线， 是 的导函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 .对于
任意的实数 ，均有 成立，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数 是奇函数 的导函数，且满足 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知 是定义域为 的函数 的导函数，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在 上的函数 的导数为 ， ，且对任意的
满足 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
