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第09讲：拓展二：构造函数法解决导数不等式问题
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类型一：构造 或 ( ，且 )型.................2
类型二：构造 或 ( ，且 )型................6
类型三：构造 或 型.....................................10
类型四：构造 或 型....................................12
类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数............................18
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1
2
3
4
5
67
8
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
高频考点
类型一：构造 或 ( ，且 )型
典型例题
例题1．（23-24高二下·天津·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
，且 ，则 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，构造函数 ，判断其单调性，将
化为 ，根据函数单调性即可求得答案.
【详解】令 ， ，则 ，
故 在 上单调递减，结合 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，则 ，即 的解集是 ，
故选：A
例题2．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数 及其导函数 的定义域均为
，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
方法一：设 利用导数得到函数单调性，从而求解；
方法二：设 特例法得解.
【详解】
方法一：∵ ，
∴ ,
设 则 在 上单调递减，
所以 ，
， 即 ，故C正确．
方法二：设 又 ，C正确．
故选：C
例题3．（22-23高二下·重庆荣昌·期中）定义在 上的偶函数 的导函数为 ，且
当 时， ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 在 上单调递增，再根据奇偶性可判断各选项.
【详解】由当 时， ，得 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又函数 为偶函数，
所以 为偶函数，
所以 在在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，A选项错误；
，即 ，所以 ，B选项错误；
，即 ，所以 ，C选项错误；
，即 ，所以 ，D选项正确；
故选：D.
练透核心考点
1．（23-24高三上·天津·期中）已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当
时， ，若 ，则 的大小关
系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，根据条件判断 的奇偶性与单调性，进而比较
的大小关系.
【详解】根据题意，设 ，
因为 为奇函数，则 ，即函数 为偶函数.
当 时， ，
则函数 在 上为减函数.
， ， ，
且 ，则有 .
故选：B．2．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）若函数 满足 在 上恒成立，
且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用求导逆运算构造函数 ，由已知可得 在 上是增函数，根据函数单调
性即可求解.
【详解】
解：设 ，则 ，
由 ，可知 ，所以 在 上是增函数，
又 ，所以 ，即 ，
故选：B.
3．（多选）（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知 为函数 的导函数，当
时，有 恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
构造函数 ，其中 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，结合
单调性逐项判断即可.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，
对于AB选项， ，即 ，可得 ，A错B对；
对于CD选项， ，即 ，D对，C无法判断.
故选：BD.类型二：构造 或 ( ，且 )型
典型例题
例题1．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知定义在 上的函数 ，其导函数为
，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可构造函数 ，则 ，求得 为增函数，
从而可求解.
【详解】由题意得 ，则 ，且定义域为 ，
所以可构造函数 ，则 ，
所以 为增函数，则 ，
则 ，故B正确.
故选：B.
例题2．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 ，由 得 ，进而判断函数 的单调性，判
断各选项不等式.
【详解】依题意令 ，则 ，
因为 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
所以 ， ，故A不正确；
所以 ，即 ，即 ，故B不正确；
又 ，即 ，即 ，故C错误；
因为 ，即 ，即 ，故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数 ，利用导数说明
函数的单调性，即可比较函数值的大小.
例题3．23-24高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数 在R上的导函数为 ，若
恒成立，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知不等式构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】构造新函数 ，
因为 恒成立，
所以 ，因此函数 单调递增，
，
由 ，
故选：B
【点睛】关键点睛：根据不等式构造新函数是解题的关键.
练透核心考点
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数 是定义在 上的奇函数，对任意实数 恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先构造函数 ， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设 ，则 ，
由条件可知， ，所以 ，则函数 在 上单调递增，
因为函数 是定义在 上的奇函数，则 ，即 ，故A错误；
由函数的单调性可知， ，得 ，故B正确；
由 ，得 ，故C错误；
由 ，得 ，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，从而可以根据函数的单调性，
判断选项.
2．（22-23高三下·江西南昌·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
， 为 的导函数，当 时， ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意设 ，结合题意可得 ，即函数 是定义在
上的奇函数，又当 ， 时， ，则 ，可得 在 ，上单调递增，在 ， 上单调递增，利用单调性，即可得出答案．
【详解】令 ，
则 ，即 ，
故函数 是定义在 上的奇函数，
当 , 时， ，则 ，
故 在 , 上单调递增，在 , 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
则不等式 ，即 ，
故 ，解得 ．
故选：C．
3．（22-23高二下·河南洛阳·期末）已知 是定义在R上的函数 的导函数，对于
任意的实数x，都有 ，当 时， ．若 ，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令 ，根据 ，可得 ，即 为偶函数，
再根据当 时， ，利用导数判断函数 在 上得单调性，再根
据 ，即 ，即 ，再根据函数的单
调性即可得出答案.
【详解】解：因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 为偶函数，当 时， ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递增，
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知 在 上单调递减，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
即 ，则 ，
解得 .故数a的取值范围为：
故选：B.
类型三：构造 或 型
典型例题
例题1．（22-23高二下·四川成都·期末）记函数 的导函数为 ，若 为奇函数，
且当 时恒有 成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，构造函数 ，利用其单调性结合
奇函数性质比较.
【详解】令 ，则 ，
当 时恒有 ，所以 ，
则 在 上单调递增，所以 ，则 ，即 ，选项A错
误；
，则 ，即 ，选项B正确；
，则 ，又 为奇函数，所以 ，
选项C错误；
由 得 ，选项D错误；
故选：B
练透核心考点
1．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数 的定义域为 ，其导函数是
.若对任意的 有 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数 ，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调
性求解不等式即得.
【详解】令函数 ， ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递减，不等式 ，
即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：B
2．（22-23高二下·四川成都·期末）记函数 的导函数为 ，若 为奇函数，且当
时恒有 成立，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，构造函数 ，利用其单调性结合
奇函数性质比较.
【详解】令 ，则 ，
当 时恒有 ，所以 ，
则 在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 ，选项A错
误；
，则 ，即 ，选项B正确；
，则 ，又 为奇函数，所以 ，
选项C错误；
由 得 ，选项D错误；
故选：B
类型四：构造 或 型
典型例题
例题1．（2023高二上·宁夏石嘴山·期末）定义在 上的函数 ， 是它的导函
数，且恒有 成立．则（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】
根据条件构造函数 ，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项，
即得到结论．
【详解】
当 ，
则不等式 等价为 ，
即 ，
设 ， ，
则 ，
即函数 在 上单调递增，
则 ， ， ， ，
即 ， ，
， ，
则 ，故A正确；
，得不出 ，故B错误．
，故C错误．
，故D错误．
故选：A．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，
当 时，不等式 恒成立（ 为 的导函数），若
， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，分析函数 的奇偶性及其在 上的单调性，可得
出 ， ， ，结合函数 在 上的单调性可得出 、 、
的大小关系.
【详解】由题意得函数 为偶函数，构造函数 ，
所以 ，
易知当 时， ，所以函数 在 上单调递减．
因为 ，则 ，
由 ，则 ，
且 ，
因为函数 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 ，
故选：C．
例题3．（2023高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数 对于任意的x∈ 满
足 （其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】构造函数 ， ，结合导数可判断函数单调性，进而可比较
函数值大小．
【详解】设 ，则 ，则 在 上单调
递增，
对于A， ，化简得 ，故A错误；
对于B， ，化简得 ，故B错误；
对于C， ，化简得 ，故C正确；
对于D， ，化简得 ，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用导数不等式构造函数的关键是将含导数的不等式转化为右侧为
0，左侧利用导数的四则运算与基本初等函数求导公式构建原函数，从而可确定原函数的解
析式，再根据导数符号确定函数单调性，从而可比较两个函数值的大小.考查了学生的运算
求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
练透核心考点
1．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知 是函数 的导函数， ，
且对于任意的 有 ．请你试用构造函数的方法，利用函
数的单调性判断下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造 ，求导得出函数的单调性和奇偶性，从而判断答案．
【详解】
令 ， ，则 ，
故 在 上单调递增，
而 ，故 ，故 是偶函数，
故 ，
即 ，
故A正确，BCD错误，
故选：A．
2．（22-23高二下·四川成都·期末）记函数 的导函数为 ，若 为奇函数，且当
时恒有 成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由已知可得 ，所以构造函数 ，求导后可判断出
在 上单调递增，然后利用函数的单调性逐个分析判断即可.
【详解】由 ，得 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
对于A，因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，所以A错误，
对于C，因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ， 所以C错误
对于BD，因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 为奇函数，所以 ，所以B正确，D错误，
所以D错误，
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的
关键是对已知条件变形，然后构造函数，求导后判断出函数的单调性，再利用函数的单调
性分析，考查数学计算能力，属于较难题.3．（22-23高二下·山东聊城·阶段练习）定义在 上的函数 ，已知 是它的导
函数，且恒有 成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，构造函数 ，利用其单调性比较.
【详解】解：令 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
则 在 上单调递减.
所以 ，
故 ， ，
故选：C
类型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
典型例题
例题1．（23-24高二上·山西运城·期末）定义在 上的可导函数 满足
，当 时， ，若实数a满足
，则a的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件构造函数 ，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的
关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.
【详解】由 ，得 .
令 ，则 ，即 为偶函数.
当 时， ，所以 在 上单调递增；
所以 在 上单调递减.
由 ，
得 ，即 .
又 为偶函数，所以 ，
因为 在 上单调递减，
所以 ，即 ，解得 ，或 ，
所以a的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数 ，利用偶函数定义和导数法求出函数
的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若
， ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数 ，由函数 的单调性即可得到结果.
【详解】根据题意，令 ， ，，则函数 在 上单调递增，
又 ，所以不等式 ，即 ，
即为 ，即变形为 ，即
得 ，
，解得 .
所以不等式的解集为 .
故选：A.
3．（2023·吉林长春·一模）定义域为 的函数 的导函数记作 ，满足
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件构造函数 ，利用导数判断单调性，由单调性求解不等式即可.
【详解】令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
又 ，
由 可得 ，即 ，
所以 .
故选：A
练透核心考点
1．（22-23高二下·浙江嘉兴·期中）已知定义在R上的函数 的导函数为 ，且满足
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．（0， ）C．（ ，+∞） D．
【答案】B
【分析】根据题意，构造函数 ，令 ，将不等式 化为
，根据 单调性即可求解．
【详解】设 ，则 ，
， ，
，
在R上单调递增，
，
，
令 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，即 ，
，即 ，
，
不等式 的解集为 ．
故选：B
2．（22-23高二下·安徽合肥·期末）设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且满
足 ， ，则不等式 （其中e为自然对数的底
数）的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定不等式构造函数 ，利用导数探讨单调性，求解不等式作答.
【详解】定义在 上的函数 的导函数为 ， ，
令函数 ，求导得 ，即函数 在 上单调递减，
由 ，得 ，不等式 等价于 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：D
【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求
导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.
3．（22-23高二下·湖北孝感·期末）定义在 上的函数 的导函数为 ，且
恒成立，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 ，利用导数研究单调性，比较函数值的大小.
【详解】
由 ，得 ．
设函数 ，则 ，
所以 在 上单调递减，从而 ，
即 ，即 ．
故选：D
