文档文本内容
第 01 讲 导数的概念及运算
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：导数的概念...........................................4
高频考点二：导数的运算...........................................5
高频考点三：求切线方程（在型）...................................8
高频考点四：求切线方程（过型）..................................10
高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数........................14
高频考点六：导数与函数图象......................................16
高频考点七：公切线问题..........................................19
高频考点八：与切线有关的转化问题................................23
高频考点九：已知切线条数求参数..................................27
第四部分：典型易错题型.............................................31
备注： 求导时分子公式记错................31
备注：复合函数求导容易误用求导法则..............................32
备注：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点..................33
第一部分：基础知识
1、平均变化率（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数 在区间 上的平均变化率为： .
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出 和
②作商：对所求得的差作商，即 .
2、导数的概念
（1）定义：函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数
在 处的导数,记作 .
（2）定义法求导数步骤：
① 求函数的增量： ；
② 求平均变化率： ；
③ 求极限，得导数： .
3、导数的几何意义
函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即
.
4、基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
( 为常数)
( )
( )( ， )
5、导数的运算法则
若 ， 存在，则有
（1）
（2）
（3）
6、复合函数求导
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为 ，即 对 的导数
等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：函数 在 或者 处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标 （方法：把 代入原函数 中），切点 .
第二步：计算切线斜率 .
第三步：计算切线方程.切线过切点 ，切线斜率 。
根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
（2）过型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·甲卷文）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方
程即可求解.
【详解】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，
所以 ，
所以
所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：C
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：导数的概念
典型例题
例题 1．（23-24 高二下 ·江苏常州 ·阶段练习）设函数 在 处存在导数为 2，则
（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】D
【分析】
利用导数的极限定义计算可得.【详解】由导数的定义可知， .
故选：D.
例题2．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ，则 等于（ ）
A．1 B．
C． D．0
【答案】B
【分析】
利用求导法则结合导数定义求解即可.
【详解】由 得 ，所以 ，
所以
故选：B
练透核心考点
1．（23-24高二上·浙江金华·期末）如果函数 在 处的导数为1，那么
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据导数的定义可直接得到答案.
【详解】因为函数 在 处的导数为1，
根据导数的定义可知 ，
故选：A.
2．（23-24高二上·云南昭通·期末）设函数 在 处存在导数为2，则
（ ）
A．2 B．1 C． D．6
【答案】B
【分析】
由导数的概念求解.【详解】由已知有 ，
则 .
故选：B
高频考点二：导数的运算
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）函数 的导函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
借助导数的运算法则计算即可得.
【详解】 .
故选：B.
例题2．（多选）（23-24高二下·河南·开学考试）下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据导数的运算法则依次判断即可.
【详解】
对于A， ，故A错误；
对于B，由指数函数求导公式可得 ，故B正确；
对于 ，故C正确；
对于 ，故D正确.
故选：BCD.
例题3．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）求下列函数的导数：(1) ；
(2)
(3) ；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）（2）（3）根据复合函数的导数公式和导数运算法则运算即可．
【详解】（1） =
（2）因为y=ln = ，
所以 · · = .
（3）
练透核心考点
1．（多选）（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】
根据简单复合函数的求导法则计算可得.
【详解】对于A： ，则 ，故A正确；对于B： ，则 ，故B正确；
对于C： ，则 ，故C正确；
对于D： ，则 ，故D错误；
故选：ABC
2．（多选）（23-24高二下·河北·开学考试）下列求导运算正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据求导公式依次判定选项即可得到答案.
【详解】
对于A，若 ，则 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误．
故选：AC
高频考点三：求切线方程（在型）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广西·开学考试）曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】求函数在 处的导数即可.
【详解】
因为 ，所以
曲线 在点 处的切线的斜率为 ．
故选：B
例题2．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）函数 的图象在点 处的切线方程的
斜率为 ．
【答案】
【分析】
求导后借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】 ，则 .
故答案为： .
例题3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ，若曲线 在点 处的切
线与直线 平行，则 .
【答案】6
【分析】
求导得切线斜率，利用直线平行求解即可.
【详解】由题意知 ，所以 ，解得 .
故答案为：6.
练透核心考点
1．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知 、 为实数，函数 在 处的切线方程为
，则 的值 .
【答案】21
【分析】
求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得 .
【详解】
由 ，得 ，
则 ，又 ，则切线方程为 ，
即
，得故答案为：21.
2．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函数 在 处的切线为 ，则直线 的方程为
.
【答案】
【分析】
分别求得 即可代入求解.
【详解】因为 ， ，从而 ，
所以函数 在 处的切线为 的方程为： ，即 .
故答案为： .
3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数 ，则函数 在点 处切线方程为
．
【答案】
【分析】
求导，求出斜率，写出切线方程.
【详解】由已知 ，
则 ，又 ，
所以切线方程为 ，
即 .
故答案为： .
高频考点四：求切线方程（过型）
典型例题
例题1．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线方程为 ，则过点 且与曲线相切的直线方程为
.
【答案】
【分析】由导数的定义以及几何意义得切线斜率，由此即可得解.
【详解】因为 ，
又点 在曲线 上，
所以 ，∴所求切线的斜率 ，
故所求切线的方程为 ，即 .故答案为：例题2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数 ，点 在曲线 上.
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求曲线 过点 的切线方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】
（1）由已知条件求出 的值，求出 的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）设切点坐标为 ，利用导数的几何意义写出切线方程，将点 的坐标代入切线方程，求出 的
值，即可得出所求切线的方程.
【详解】（1）解：因为函数 ，点 在曲线 ，则 ，所以，
，
所以， ，则 ，
因此，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）解：设切点坐标为 ，则 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
将点 的坐标代入切线方程可得 ，解得 或 ，
当 时，所求切线方程为 ；
当 时，所求切线方程为 .
综上所述，曲线 过点 的切线方程为 或 .
例题3．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数 的图像在点 处的切线与直线
平行．
(1)求 在 上的最值；
(2)求经过点 ，并与曲线 相切的直线的方程．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义即可求得 ，然后求得 的极值，即可得到最值；
（2）根据题意，由导数的几何意义，设出切点的坐标，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，则 ，
且函数 的图像在点 处的切线与直线 平行，
则 ，即 ，所以 .
所以 ，则 ，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
所以 时， 有极小值，即最小值，
则 ，又 ， ，
，所以 .
（2）由（1）可知 ，则 ，
设切点坐标为 ，则切线斜率 ，
所以切线方程为 ，
将点 代入，可得 ，
解得 ，则切线方程为 ，
即 .
练透核心考点
1．（2024高二下·全国·专题练习）曲线 过点 的切线方程为 .
【答案】 或
【分析】
先利用导数的定义求出 ，设切线的切点是 ，则由导数的几何意义可得切线的斜率为
，再由切线过点 和 ，表示出切线的斜率，从而列方程可求出 ，则可求出
斜率，进而可求出切线方程.
【详解】，
因为点 不在曲线上，
所以设切线的切点是 ，则切线的斜率 ，
又切线过点 和 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，
因为 ，所以 或 .
所以 ，或 ，
所以所求切线方程是 或 ，
即 或 .
故答案为： 或 .
2．（2024高二下·上海·专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)求函数 过点 的切线；
【答案】(1)
(2) 或
【分析】
（1）由题意对 求导得函数单调性，由此即可求解；
（2）由题意设出切点，表示出切线方程（含参），从而 ， ，由此可求得 ， ，
进一步即可得解.
【详解】（1）由题意得， 的定义域为 ，
，
令 ，解得 ，或 （舍去）； ，解得 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
（2）设切点为 ，切线的斜率 ，
所以 ，
因为直线过点 ，所以 ，又 ，
解得 或 ，
所以直线方程为 或
3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线 ，求
(1)曲线过点 的切线方程；
(2)曲线平行于直线 的切线方程.
【答案】(1) 或 .
(2) 或
【分析】
（1）设出切点，写出切线方程，代入点 ，即可求得切线方程.
（2）设出切点，用导数求得切点处切线的斜率与已知直线斜率相等，进而求出切点，写出切线方程.
【详解】（1）因为切点在曲线 上，所以可设切点为 ，求导得 ，
则 ，则切线方程为 ，
因为切线过 ，代入切向方程得： 化简得 ，
则 或
所以曲线过点 的切线方程为： 或 .
（2）直线 的斜率为 ，设切点为 ，
则由（1）知切线方程为 ，则由切线与直线 平行得 ，即 或 ，
所以切线方程为 或 ，
即 或
高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数
典型例题
例题1．（2024·福建漳州·一模）若曲线 在点 处的切线方程为 ，则
（ ）
A．3 B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】
根据题意结合导数的几何意义列式求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
由题意可得： ，解得 ，所以 .
故选：C.
例题2．（22-23高三上·全国·阶段练习）若函数 在点 处的切线的斜率
为1，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义可得出 ，利用基本不等式可求得 的最大值.
【详解】由已知 ，所以 ，
，得 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立．
故选:C．
练透核心考点
1．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数 在点 处的切线与直线
垂直，则 的最大值为（ ）A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根据导数的几何意义结合基本不等式求解即可.
【详解】 ，
因为函数 在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，即 ，则 不可能同时为负数，
当 或 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当且仅当 时，取等号，
综上所述， 的最大值为 .
故选：A.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则切点的横坐标为
．
【答案】1
【分析】
求出函数的导函数，令 ，再利用导数说明函数的单调性，由 ，即可得到方程
的解，从而得解.
【详解】
因为 ，所以 ，
设函数 ，则 ，
所以 在定义域 上单调递增，
因为 ，所以方程 的解为 ，则所求切点的横坐标为 ．
故答案为：
高频考点六：导数与函数图象
典型例题
例题1．（23-24高二下·湖北黄冈·期中）函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由已知函数 的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．
【详解】
观察函数 的图象知：当 时， 单调递增，且当 时， ，
随着 逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓， ， ， ，
而 （即点B）处切线的倾斜角比 （即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，
，又 是割线AB的斜率，显然 ，
所以 .
故选：B
例题2．（23-24高二下·北京怀柔·期中）如图，函数 的图象在点 处的切线是 ，方程为
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据导数的几何意义知 为 处切线的斜率.
【详解】因为函数 的图象在点 处的切线方程为 ，所以 .故选：A
例题3．（多选）（23-24高二下·全国·课时练习）如图显示物体甲、乙在时间 到 范围内路程的变化情
况，下列说法正确的是（ ）
A．在 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在 到 范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在 到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
【答案】BC
【分析】根据平均速度的公式结合条件即可判断.
【详解】在0到 范围内，甲、乙的平均速度都为 ，故A错误,B正确；
在 到 范围内，甲的平均速度为 ，乙的平均速度为 ，
因为 ， ，所以 ，故C正确，D错误．
故选：BC．
练透核心考点
1．（23-24高二下·湖北·阶段练习）函数 的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
【详解】
设 ，由图可得 ，
而 ，
故 ，
故选：C.
2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到 ，利用导数的概念解出即可.
【详解】依题意可知切点 ，
函数 的图象在点 处的切线方程是 ，
，即又
即
故选：D.
3．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知在区间 上 ，如图所示的图像中， 有可能表示
函数 的图像.
【答案】①
【分析】利用导数的几何意义，结合图形即可得解.
【详解】因为 在区间 上 ，
所以在 上， 切线的斜率始终大于 ，仅①满足．
故答案为：①.
高频考点七：公切线问题
典型例题
例题1．（23-24高二下·安徽合肥·期中）函数 的图象在点 处的切线也是抛物线 的
切线，则 （ ）
A．1 B．3 C．6 D．2
【答案】C
【分析】根据导数得出函数 与抛物线在点 处的切线的斜率，根据已知两切线相同即可得出答案.
【详解】 ，则 ，则在点 处的切线的斜率为 ，
，则 ，则在点 处的切线的斜率为 ，
函数 的图象在点 处的切线也是抛物线 的切线，
则 ，即 ，故选：C.
例题2．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）曲线 与曲线 的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出图象，从而确定正确选项.
【详解】画出 以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合.
故选：A
例题3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若直线 是曲线 与曲线 的公
切线，则 ．
【答案】5
【分析】由直线 是曲线 的切线求解 ，可得切线方程，再设直线 与
曲线 的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答
案可求．
【详解】由 ，得 ，由 ，解得 ，
则直线 与曲线 相切于点 ，
∴ ，得 ，
∴直线 是曲线 的切线，
由 ，得 ，设切点为 ，
则 ，且 ，联立可得 ，
解得 ，所以 ．
∴ ．故答案为：5．
练透核心考点
1．（23-24高二下·湖南·期中）已知函数 ， ．若经过点 存在一条直线l与
曲线 和 都相切，则 （ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与 联立，由 求解
【详解】解析：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴曲线 在
处的切线方程为 ，由 得 ，由 ，解得 ．
故选：B
2．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）若曲线 与曲线： = 有公切线，则实数 的最大值为
（ ）
A． + B． - C． + D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得 ，整理得
，利用导数研究函数的单调性求出 即可得出结果.
【详解】设在曲线 上的切点为 ，则切线斜率为 ，
在曲线 上的切点为 ，切线斜率为 ，
所以切线方程分别为 、 ，
即 、 ，
有 ，整理得 ，
设 ，则 ，
令 ，令 ，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以在 上 ，如图，
由图可知 ，即k的最大值为 .
故选：C.
3．（2023·重庆·模拟预测）已知函数 ，若这两个函数的图象在公共
点 处有相同的切线，则 ．
【答案】 /
【分析】先根据 和 在公共点 处有相同的切线得出在 处两函数的导数相等,再由
在 上,列方程组求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
因为 在公共点 处有相同的切线，
所以 即 ，
所以
故答案为：
高频考点八：与切线有关的转化问题
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知实数 ， ， ， 满足 ，则
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【分析】
将 的最小值转化为直线 上的点与函数 上的点间距离最小值的平方，由
导数的几何意义求函数 的切线，从而得解.
【详解】由已知 ，
则 ，即 为直线 上的点，
为函数 上的点，
则 ，
设 与 相切，由 ，
则 ，可得 ，所以切点为 ，则 ，
则切点 到直线 的距离为 ，
所以 最小值为2.
故选：B.
例题2．（2024·陕西西安·二模）若 ， ，则 的最小值
为（ ）
A． B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】设函数 和 ，转化为切点 到直线 的距离为平方，根
据导数的几何意义，求得切点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，设函数 ，直线 ，
设直线 与函数 的切点为
可得 ，可得 ，解得 ，可得 ，
即切点坐标为 ，则切点到直线 的距离为 ，
又因为 表示点 到直线 的距离为平方，
所以 的最小值为 .
故选：C.例题3．（2024·安徽合肥·一模）已知点 ，定义 为 的“镜
像距离”.若点 在曲线 上，且 的最小值为2，则实数 的值为 .
【答案】 /
【分析】依题意求出 的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距
离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.
【详解】由函数 可得 ，即 ；
所以 的反函数为 ；
由点 在曲线 上可知点 在其反函数 上，
所以 相当于 上的点 到曲线 上点 的
距离，
即 ，
利用反函数性质可得 与 关于 对称，
所以可得当 与 垂直时， 取得最小值为2，
因此 两点到 的距离都为1，
过点 的切线平行于直线 ，斜率为1，即 ，
可得 ，即 ；
点到 的距离 ，解得 ；
当 时， 与 相交，不合题意；
因此 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的
最值问题，再由切线方程可解得参数值.
练透核心考点
1．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）实数 满足 ， , 的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先根据指对结构调整变形已知方程，再构造函数 ，得到函数零点为0，进而构造函数
与 ，则 表示曲线 上的点到直线 的距离的
平方.
【详解】化简已知 得，
，即 ，
令 ，原式化简为 ，
令 ，则 ，所以 在R上单调递增，
又 ，所以 有唯一零点 ，所以 ，此方程有唯一根为0，
即 ，即 ，
分别设 与 ，
则 表示曲线 上的点 到直线 的距离的平方，
下面求 上与 平行的切线，
因为 ，所以 ，
当 时， ，解得： ，所以切点为 ，
所以 到直线 距离为： ，
此距离即为曲线 上的点到直线 的距离的最小值，
所以 的最小值为2.
故选：C.
2．（2023高三·全国·专题练习）已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上
任意一点，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由圆的对称性可得，只需考虑圆心 到函数 图象上一点的距离的最小值.设 图
象上一点 ，利用导数几何意义可得 ，利用导数解得 ，从而可求解.【详解】
由圆的对称性可得只需考虑圆心 到函数 图象上一点的距离的最小值．
设 图象上一点 ，令 图象上一点 的切线为
由 的导数为 ，即切线 的斜率为 ，
当 时，圆心 到函数 图象上一点的距离最小，
此时 ，即有 ，
由 ，可得 ， 递增，又 ，
所以 ， ，
所以点 到点 的距离最小，且为 ，
则线段 的长度的最小值为 ，
故选：A．
3．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点P在函数 的图象上，点Q在函数
的图象上，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案.
【详解】
由函数 ，求导可得： ，则 ，在 处的切线方程为 ，整理可得： ；
由函数 ，求导可得： ，则 ，
在 处的切线方程为 ，整理可得 ；
由直线 的斜率 ，易知：直线 分别与两条切线垂直..
故答案为： .
高频考点九：已知切线条数求参数
典型例题
例题1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为 ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标 ，关于 的方程有两个不同的
实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
【详解】设切点坐标为 ，由于 ，因此切线方程为 ，
又切线过点 ，则 ， ，
设 ，函数定义域是 ，
则直线 与曲线 有两个不同的交点， ，
当 时， 恒成立， 在定义域内单调递增，不合题意；
当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，所以 ，
结合图象可知 ，即 .
故选：A.例题2．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点 可以做三条直线与曲线 相切，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设切点坐标，写出切线方程，过点 ，代入化简得 ，将问题转化为该方程有三个不
等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解.
【详解】设切点为 ，∵ ，∴ ，
∴M处的切线斜率 ，则过点P的切线方程为 ，
代入点 的坐标，化简得 ，
∵过点 可以作三条直线与曲线 相切，
∴方程 有三个不等实根.
令 ，求导得到 ，
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
如图所示，
故 ，即 .
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方
程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档
题.
例题3．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知 ，若过点 可以作曲线 的三条切线，则
下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC【分析】
设切点为 ，利用导数的几何意义求出切线方程，即可得到 ，令 ，
利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，依题意 有三个零点，则 且
，从而得到不等关系.
【详解】
设切点为 ，切线方程为 ，由 ，可知 ，所以 ，
即切线的斜率 ，所以切线方程为 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，
即 ， ，
依题意 有三个零点，
所以 且 ，
即
故选：ABC
练透核心考点
1．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点 可以作三条直线与曲线 相切，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出切点，表示出切线方程，将点 代入，则关于切点横坐标的方程有三个实根，通过分离
参数，将问题转化为两个函数图象有三个不同交点的问题求解即可．
【详解】由 ，得 ，
设切点为 , ，过切点的切线方程为 ，
代入点 坐标化简为 ，即这个方程有三个不等式实根，
令 ，求导得到 ，由 ，得 ，由 ，得 ，或 ，
故函数 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
故得 ,结合 ， ，
当 时， ， 时， ，
得 ，
故选：D．
2．（23-24高三上·辽宁·期末）若过点 可以作曲线 的两条切线，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定 ，化简可得 ，结合
题意有 ，解不等式即可求出 的取值范围.
【详解】令 ，则有 ，设过点 作曲线的切线，
切点为 ，根据题意有 ，即 ，
又 ，可得 ，因为 ，所以上式可化为
，整理有： ，因为过点 可以作曲线
的两条切线，所以方程有两解，所以 ，即 ，
解得 或 .
故选：D3．（2024高二下·全国·专题练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】
根据切线的求解，将问题转化为 方程有两解，即可根据判别式求解.
【详解】
令 ，则有 ，设过点 作曲线的切线，
切点为 ，根据题意有 ，即 ，
又 ，可得 ，
因为 ，所以上式可化为 ，整理有： ，
因为过点 可以作曲线 的两条切线，所以方程有两解，
所以 ，即 ，解得 或 .
故答案为：
第四部分：典型易错题型
备注： 求导时分子公式记错
1．（22-23高二·全国·随堂练习）求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；
【答案】
(1)
(2)
(3)【详解】（1）解：根据导数的运算法则，由 ，
可得 .
（2）解：根据导数的运算法则，由 ，
可得 .
（3）解：根据导数的运算法则，由 ，
可得 .
备注：复合函数求导容易误用求导法则
1．（23-24高二上·全国·课时练习）函数 的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的乘法运算法则求解出原函数的导数.
【详解】解析：因为 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
2．（22-23高二下·宁夏银川·阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的运算逐一判断即可.
【详解】 ： ， A错误，
： ， B错误，
： ， C正确，
： ， D错误，
故选：C．
备注：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点
1．（23-24高二下·重庆渝北·阶段练习）已知函数 ，过点 作该函数曲线的切线，则该切
线方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】函数 ，求导得： ，设切点坐标为 ，
于是 ，解得 ，则 ，
所以所求切线方程为 ，即 .
故选：D
2．（23-24高三下·山东德州·开学考试）过点 与曲线 相切的直线与 轴的交点坐标
为 .
【答案】
【分析】设切点坐标 ，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出 ，即可求出直线与 轴
的交点坐标.【详解】设切点坐标为 ，
由 ，得 ，
则过切点的切线方程为 ，
把点 代入切线方程得， ，即 ，
因为 ，而 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 只有一个解，所以 ，
所以切线方程的斜率为 ，
所以切线方程为 ，令 ，解得 .
故过点 与曲线 相切的直线与 轴的交点坐标为 .
故答案为： .
