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第09讲 拓展二：构造函数法解决导数不等式问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：构造 或 ( ，且 )型...........3
高频考点二：构造 或 ( ，且 )型...........9
高频考点三：构造 或 型.......................14
高频考点四：构造 或 型......................17
高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数..................20
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1、两个基本还原
f' (x)g(x)−f(x)g' (x) f(x)
'
① ② =[ ]
f' (x)g(x)+f(x)g' (x)=[f(x)g(x)] ' [g(x)] 2 g(x)
2、类型一：构造可导积函数
①e nx [f' (x)+nf(x)]=[e nx f(x)] ' 高频考点1： ex [f' (x)+f(x)]=[exf(x)] '
②xn−1 [xf' (x)+nf(x)]=[xnf(x)] '
高频考点1：xf' (x)+f(x)=[xf(x)] ' 高频考点2 x[xf' (x)+2f(x)]=[x2f(x)] '
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
③ =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
④ =[ ]
xn+1 xn
xf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2 =[ ]
x2 x x3 x2
⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1 f' (x)g(x)+f(x)g' (x)≥0 F(x)=f(x)g(x)
2 f' (x)+f (x)<0 F(x)=exf(x)
3 f' (x)+nf(x)<0 F(x)=e nx f(x)
4 xf' (x)+f (x)>0 F(x)=xf(x)
5 xf' (x)+2f(x)≤0 F(x)=x2f(x)
6 xf' (x)+nf(x)>0 F(x)=xnf(x)
7 f' (x)sinx+f(x)cosx>0 F(x)=f(x)sinx
8 f' (x)cosx−f(x)sinx>0 F(x)=f(x)cosx
3、类型二：构造可商函数
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
① =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
② =[ ]
xn+1 xnxf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2： =[ ]
x2 x x3 x2
③
④
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：构造 或 ( ，且 )型
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）定义在 上的函数 的导函数为 ，若
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·陕西安康·统考二模）函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且
满足 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）设定义R在上的函数 ，满足任意 ，
都有 ，且 时， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2023秋·陕西·高二校联考期末）定义在 上的函数 的导函数为 ，且
恒成立，则（ ）A． B．
C． D．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）函数 是定义在 上的偶函数，当 时 （其中
是 的导函数），若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
例题6．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶
函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式 的
解集为______．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）设函数 是定义在 上的可导函数，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022秋·江苏南通·高三期中）已知函数 满足 ， .则当
时，下列说法中正确的是（ ）
A． B． 只有一个零点
C． 有两个零点 D． 有一个极大值
3．（2023·全国·高二专题练习）定义在 上的可导函数 的导函数记为 ，若 为奇函数
且 ，当 时， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）已知定义在 上的函数满足
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．5．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设定义在 上的奇函数 的导函数为
，已知 ，当 时， ，则不等式 的解集为________．
高频考点二：构造 或 ( ，且 )型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不
等式一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知 是 的导函数，且
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习） 是定义在 上的函数，满足 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上有极大值 B． 在 上有极小值
C． 在 上既有极大值又有极小值 D． 在 上没有极值
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ，
，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，且有 ，
则 的解集为（ ）
A． B． C． D．3．（多选）（2023秋·浙江绍兴·高三期末）定义域为 的函数 的导数为 ，若 ，且
，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 的导函数为 ，且 若 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
高频考点三：构造 或 型
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 , ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数 的导函数为 ，且 在 上恒有
成立，则下列不等式成立的（ ）
A． B．
C． D．练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）设 是定义在 的奇函数，其导函数为 ，且当
时， ，则关于 的不等式 的解集为_________.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 定义域为 ，其导函数是 ，当 时，有
，则关于 的不等式 的解集为__________．
高频考点四：构造 或 型
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知函数 对任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在 上的函数 ，已知 是
它的导函数，且恒有 成立，则有（ ）
A． B．
C． D．练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对于任意的 ，均满足
，其中 是 的导函数，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，对于任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）设函数 在R上存在导数 ，对任意的 ，有
，且 时 ，若 ，则实数 的取值范围为
（ ）．
A． B．
C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对 均满足 ，
其中 是 的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设定义在 上的函数 恒成立，其导函数为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数 是定义在 上的可导函数，
其导函数为 ，若 ，且 对任意的 恒成立，则不等式
的解集为________．
练透核心考点
1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知 是定义在R上的奇函数, 是其导函数.当x≥0时,
且 ,则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东广州·统考一模）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 .
，则关于x的不等式 的解集为__________.
4．（2023·高二课时练习）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，
则不等式 的解集为___________.
