文档文本内容
第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数............................................3
高频考点二：证明唯一零点问题.......................................................................5
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题........................................6
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题........................................9
高频考点五：构造函数研究函数零点问题......................................................12
第四部分：典型易错题型......................................................................................13
备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图..........................................13
第五部分：新定义题.............................................................................................14
第一部分：基础知识
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．
（2）三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f (x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是 的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·乙卷文）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·乙卷文）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2022·全国·乙卷理）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
典型例题
例题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，设
是 的定义域的子集，若在区间 上 ，则称 在 上是“凸函数”.已知函数
.
(1)若 在 上为“凸函数”，求 的取值范围；
(2)若 ，判断 在区间 上的零点个数.
例题2．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)讨论函数 在 上的零点个数．（参考数据： ， ）例题3．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知曲线C：
(1)若曲线C过点 ，求曲线C在点P处的切线方程；
(2)若 ，讨论 的零点个数．
练透核心考点
1．（2024·湖南·二模）已函数 ，其图象的对称中心为 .
(1)求 的值；
(2)判断函数 的零点个数.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值．
(2)在（1）的条件下，若 ，试探究 在 上零点的个数．高频考点二：证明唯一零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数 ．
(1)若 ，当 时，证明： ．
(2)若 ，证明： 恰有一个零点．
例题2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知函数 在区间 内有唯一极值点 ，
其中 为自然对数的底数.
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： 在区间 内有唯一零点.
例题3．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数 ， ，且函数 的零
点是函数 的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明： 有唯一零点．练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， 为 的导函数.求证: 在
上存在唯一零点.
2．（2023高三上·全国·专题练习）已知 ，函数 ， .证明：函数 ，
都恰有一个零点.
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题
典型例题
例题1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 内存在两个极值点，求实数a的取值范围．例题2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数
(1)若函数 在 处取得极值，求 的值；
(2)若函数 在定义域内存在两个零点，求 的取值范围.
例题3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知 在 处取得极小值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在 处的切线方程；
(3)若方程 有且只有一个实数根，求 的取值范围.
例题4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数 .
(1)求 在 上的最大值；
(2)若函数 恰有三个零点，求 的取值范围.练透核心考点
1．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数 ， .
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 有且只有一个交点，求 的取值范围．
2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）若函数 在 处有极小值．
(1)求c的值．
(2)函数 恰有一个零点，求实数a的取值范围．4．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性并求极值.
(2)设函数 （ 为 的导函数），若函数 在 内有两个不同的零点，求实
数 的取值范围.
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的零点个数.
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围并证明 .
例题2．（2023·四川·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；(2)令 （a为常数），若 有两个零点 ，求实数a的取值范围.
例题3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明：函数 在 上有两个不同的零点.
例题4．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论函数 的零点个数．
练透核心考点
1．（2023·四川·三模）已知函数 和函数 ，且 有最大值为 ．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线 和 恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为 ， ， ，且
，证明： ．2．（23-24高二下·贵州·阶段练习）设函数 ，曲线 在点 处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)令函数 ，是否存在实数k使得 没有零点？若存在，请求出实数k的范围；若不存
在，请说明理由．
3．（23-24高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数 （ ）．
(1)当 时，过点 作 的切线，求该切线的方程；
(2)若函数 在定义域内有两个零点，求 的取值范围．
4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数 在 上的最小值为 ．
(1)求a的值；
(2)若函数 有3个零点，求实数b的取值范围．高频考点五：构造函数研究函数零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
例题2．（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数 ， ， 是自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不等实根，求 的取值范围；
(3)若 ， 为整数，且当 时， 恒成立，求 的最大值.
练透核心考点
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数 .(1)判断 的单调性；
(2)当 时，求函数 的零点个数.
2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数 ，
(1)若函数 ，
①求 的最小值；
②若 ，且 ，求证： ；
(2)若函数 ，且 有两个相异的零点 ，又 ，求实数 的取值范
围．
第四部分：典型易错题型
备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图
1．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 恰有2个不同的极值点，求 的取值范围；
(3)若 恰有2个不同的零点，求 的取值范围.第五部分：新定义题
1．（2024高三下·江苏·专题练习）若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有
，则称 为 上的“ 类函数”.若 为 上
的“2类函数”，求实数 的取值范围.
