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第09讲 拓展二：构造函数法解决导数不等式问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：构造 或 ( ，且 )型...........3
高频考点二：构造 或 ( ，且 )型...........9
高频考点三：构造 或 型.......................14
高频考点四：构造 或 型......................17
高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数..................20
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、两个基本还原
f' (x)g(x)−f(x)g' (x) f(x)
'
① ② =[ ]
f' (x)g(x)+f(x)g' (x)=[f(x)g(x)] ' [g(x)] 2 g(x)
2、类型一：构造可导积函数
①e nx [f' (x)+nf(x)]=[e nx f(x)] ' 高频考点1： ex [f' (x)+f(x)]=[exf(x)] '
②xn−1 [xf' (x)+nf(x)]=[xnf(x)] '
高频考点1：xf' (x)+f(x)=[xf(x)] ' 高频考点2 x[xf' (x)+2f(x)]=[x2f(x)] '
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
③ =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
④ =[ ]
xn+1 xn
xf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2 =[ ]
x2 x x3 x2
⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1 f' (x)g(x)+f(x)g' (x)≥0 F(x)=f(x)g(x)
2 f' (x)+f (x)<0 F(x)=exf(x)
3 f' (x)+nf(x)<0 F(x)=e nx f(x)
4 xf' (x)+f (x)>0 F(x)=xf(x)
5 xf' (x)+2f(x)≤0 F(x)=x2f(x)
6 xf' (x)+nf(x)>0 F(x)=xnf(x)
7 f' (x)sinx+f(x)cosx>0 F(x)=f(x)sinx
8 f' (x)cosx−f(x)sinx>0 F(x)=f(x)cosx
3、类型二：构造可商函数
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
① =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
② =[ ]
xn+1 xnxf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2： =[ ]
x2 x x3 x2
③
④
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：构造 或 ( ，且 )型
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）定义在 上的函数 的导函数为 ，若
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，则 ，因为 ，所以 在 上单调递
减.
因为 ，所以 ，所以当 时， ，当 时， ，故不等式
的解集为 .
故选：B.
例题2．（2023·陕西安康·统考二模）函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且
满足 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ， ，所以函数 在 上为增函数．
由 的定义域为 可知 ，得 ，
将不等式 整理得 ，即 ，
可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立；
令 ，其中 ，所以
，令 ，得 ．
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；
所以 ，即
故选：B．
例题3．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）设定义R在上的函数 ，满足任意 ，
都有 ，且 时， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意，任意 ，都有 ，所以 是周期为 的周期函数.
所以 .
构造函数 ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
即 ，也即 .
故选：A
例题4．（2023秋·陕西·高二校联考期末）定义在 上的函数 的导函数为 ，且
恒成立，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设函数 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，从而 ，
即 ，则 .
故选：A.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）函数 是定义在 上的偶函数，当 时 （其中
是 的导函数），若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令 ，又 为定义在 上的偶函数，则 ，
故 为定义在 上的奇函数；
又 ，由题可知，当 时， ，即 在 单调递增，
结合 是 上的奇函数可知， 为 上的单调增函数；
又 ，
又 ， ， ，
故 .
故选：B.
例题6．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶
函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式 的
解集为______．
【答案】 或
【详解】令 ，
则 ，
由当 时， ，
所以当 时，即 在 上是增函数，
由题意 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
所以 ，
所以 是偶函数，在 递减，
所以 ，
，
即不等式等价为 ，
所以 ，所以 或 .
故答案为： 或 .
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）设函数 是定义在 上的可导函数，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题知，函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，即
，
设 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：B
2．（多选）（2022秋·江苏南通·高三期中）已知函数 满足 ， .则当时，下列说法中正确的是（ ）
A． B． 只有一个零点
C． 有两个零点 D． 有一个极大值
【答案】BD
【详解】令 ，则 ，
所以， ，所以， .
又 ，则 ，解得 .
所以， .
则， ，且 ，A项错误.
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减.
所以， 在 处有极大值为 ，
且 只有一个极值点，D正确.
且 时，有 恒成立.
又 ，所以 只有一个零点，B项正确，C项错误.
故选：BD.
3．（2023·全国·高二专题练习）定义在 上的可导函数 的导函数记为 ，若 为奇函数且 ，当 时， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 ，
因为当 时， 成立，所以 ， 为递减函数，
又因为函数 为奇函数，可得 ，
则 ，所以函数 为偶函数，
所以函数 在 为单调递增函数，
因为 ，所以 ， ， ，
当 时，由 为奇函数可得 不满足题意；
当 时，由 可得 ，所以 ；
当 时，由 可得 ，所以 ，此时 ，
综上所述，不等式 的解集是
故选：D
4．（多选）（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）已知定义在 上的函数满足
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由 ，得 ，
设 ，则 ,
设 ，则 在 上为增函数,且 ，
则当 时， ，此时 ，此时函数 为增函数；
当 时， ，此时 ，此时函数 为减函数，
故由 ，即 ，A正确；
由 ，得 ，即 ，B错误；与 不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；
由 ，得 ，即 ，D正确．
故选：AD
5．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设定义在 上的奇函数 的导函数为
，已知 ，当 时， ，则不等式 的解集为________．
【答案】
【详解】令 ，取 ，则函数 为偶函数，
当 时， ，故 ，即 ，
由偶函数性质知，函数 在 是严格减函数，在 是严格增函数，
又 ，故 等价于 或 ，
解得 ．
故答案为：
高频考点二：构造 或 ( ，且 )型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不
等式一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】构造函数 ，
在 时恒成立，
所以 在 时单调递增，所以 ，即 ，所以 ，
故选:C.
例题2．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知 是 的导函数，且
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ，∴ 在 上单调递增.
∵不等式 可化为 ，即 ，∴ ，
则不等式 的解集为 .
故选：A.
例题3．（2023·全国·高三专题练习） 是定义在 上的函数，满足 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上有极大值 B． 在 上有极小值
C． 在 上既有极大值又有极小值 D． 在 上没有极值
【答案】D
【详解】解：根据题意， ，故 ，
又 ，得 ，故 ，
令 ，
则 ，
即 ，
记 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，即 ，即 ，
所以 在 上单调递增，故 在 上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ，
，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】构造函数 ，
，
所以 在 上递增， ，
由于 ，
根据 的单调性解得 ，
所以 的解集 .
故选：D
2．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，且有 ，
则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，则 ，
∴ 在 上单调递减.
又 ，则 .
∵ 等价于 ，即 ，
∴ ，即所求不等式的解集为 .
故选：B．
3．（多选）（2023秋·浙江绍兴·高三期末）定义域为 的函数 的导数为 ，若 ，且
，则（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由题意可知构造函数 ，
则 ，所以 在 上是单调递减函数，
于是： ，于是 ，所以A正确；
，于是 ，所以B错误；
，于是 ，所以C正确；
由于 而 ，所以 的范围无法确定，D不一定正确．
故选：AC
4．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令 ，函数 的定义域为 ，
因为
所以，
故
故 在R上单调递减，
又因为
所以， ，
所以不等式 可化为 ，
所以 ，
所以 的解集为故选：B.
5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 的导函数为 ，且 若 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设 ，
则 ，
因为 恒成立，
所以 ，
所以 在 单调递增，
则 ， ， ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ．
故选：B
高频考点三：构造 或 型
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 , ，
，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知 ，
令 ，则
，
所以 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，
所以不等式 等价于 ，则 ，
所以不等式 的解集为
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数 的导函数为 ，且 在 上恒有
成立，则下列不等式成立的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】构造函数 ，由 在 上恒有 成立，即
在 上为增函数，又由
为偶函数，
，故A错误.
偶函数 在 上为增函数， 在 上为减函数，，故B正确；
， ，故C错
误；
， ，故D错误.
故选：B
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）设 是定义在 的奇函数，其导函数为 ，且当
时， ，则关于 的不等式 的解集为_________.
【答案】
【详解】令 ，
则 ，
由条件得当 时， ，
∴函数 在 上单调递减．
因为 ， 是奇函数，∴函数 为偶函数，
∴函数 在 上单调递增．
①当 时， ，不等式 可化为 ，
∴ ；②当 时， ，不等式 可化为 ，
∴ ．
综上可得不等式的解集为 ．
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 定义域为 ，其导函数是 ，当 时，有
，则关于 的不等式 的解集为__________．
【答案】
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上为减函数，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 在 上为减函数，
所以 ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为：高频考点四：构造 或 型
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知函数 对任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】构造函数 ， ，则 ，所以 在
上单调递增，
则 ，所以 ，即 ，故A不正确；
则 ，所以 ，即 ，故B不正确；
则 ，所以 ，即 ，故C正确；
则 ，所以 ，即 ，故D不正确.
故选：C.
例题2．（多选）（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在 上的函数 ，已知 是
它的导函数，且恒有 成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD【详解】令 ，则 ，
由已知可得 ，即 在 上单调递减.
所以 ，
故 ， ，即C、D选项正确.
故选：CD
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对于任意的 ，均满足
，其中 是 的导函数，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
对于A选项，因为 ，则 ，即 ，
所以， ，A对；
对于B选项， ，因为 ，则 ，即 ，
所以， ，即 ，B对；
对于CD选项， ，
因为 ，则 ，即 ，
所以， ，即 ，C对D错.
故选：ABC.
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，对于任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
∵对于任意的 满足 ，
∴ 当 时， ，则函数 在 上单调递增，
又函数 是偶函数， ，∴ ，
∴ 在 上为偶函数，
∴函数 在 上单调递减．∵ ，则 ，即 ，即 ，化简得 ，A正确；
同理可知 ，即 ，即 ，化简得
，B正确；
，且 即 ，即 ，化简得
，C错误；
，且 ，即 ，即 ，化简得
，D正确．
故选：ABD.
高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）设函数 在R上存在导数 ，对任意的 ，有
，且 时 ，若 ，则实数 的取值范围为
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，而 ，
所以 ，
故 是偶函数，所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
即 ．
故选：A
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对 均满足 ，
其中 是 的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令 ， ，
∴当 时 ，∴ 单调递增，当 时， ，∴ 单调递减.
对于A： ，即 .故A错误；
对于B： ，又 ，
∴ ，故B正确；
对于C： ，又 ，
∴ ，故C错误；
对于D： ，又 ，∴ ，故D错误.
故选:B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设定义在 上的函数 恒成立，其导函数为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意，在 上的函数 恒成立，
构造函数 ，则 ，
∵ 上 ，即 ，
∴ 在 上单调递减，而 ，故
∴ ，可得 .
故选：B
例题4．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数 是定义在 上的可导函数，
其导函数为 ，若 ，且 对任意的 恒成立，则不等式
的解集为________．
【答案】
【详解】令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减.
又 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知 是定义在R上的奇函数, 是其导函数.当x≥0时,
且 ,则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】设 ，
可得
因为当x≥0时, ，
所以 在 上递增，
又因为 是定义在R上的奇函数，
所以 的图像关于 对称，如图，
所以 在R上递增，
又因为 ，所以 ，
则 等价于 ，
所以 ，即 的解集是 ，
故选：C.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
,
等价于 ,即 ，
即 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A.
3．（2023·广东广州·统考一模）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 .
，则关于x的不等式 的解集为__________.
【答案】
【详解】令函数 ，则 ，因此函数 在 上单调
递减，
，因此 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
4．（2023·高二课时练习）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，
则不等式 的解集为___________.
【答案】
【详解】解：令 ，
因为 是定义在 上的偶函数，则 ，
所以 ，
所以 为奇函数，
因为当 时， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
由奇函数的性质可得 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 ，
不等式 等价于 ，即 ，
所以不等式的解集为 ．
故答案为： ．
