模块十一
工程问题
专题55
量率对应
合作工程
做做停停
类型一 量率对应
1.
3570 【解析】甲的工效:1÷8 1
2 = 2
17,乙单独做用8 1
2 - 1
2
= 8(天),乙的工效:1÷8= 1
8 ,两人工效和: 2
17+ 1
8 = 33
136,合
作4 天还剩1- 33
136×4 = 1
34 没做。所以零件总数是210÷ 1
34 =
7140(个),甲4 天完成7140× 2
17 ×4 = 3360(个),自始至终
甲共做零件3360+210= 3570(个)。
2.
150 【解析】甲、乙效率比为1
6 ∶1
9 = 3 ∶2,合作完成时工
作量比=效率比= 3 ∶2,这批零件共有30÷( 3
3+2- 2
3+2) =
150(个)。
3.
解:将加工零件总量看作“1”,甲的工作效率为1
12,甲、乙的
工作效率和为1
8 ,甲、乙共同加工了2 2
5 小时后,剩下的工
作量为:1- 1
8 ×2 2
5 = 7
10,所以零件总数为:420÷ 7
10 = 600
(个)。其中甲生产的零件数为:600× 1
12 ×2 2
5 = 120(个),
乙一共加工的零件数为:600-120= 480(个)。
答:乙一共加工零件480 个。
4.
解:将这条公路全长看作单位“1”,第二天修的减去20 米
的份率:(1- 2
5 ) × 5
9 = 1
3 ,第三天修的减去30 米的份率:
2
5 × 1
4 = 1
10,全长:(20+30)÷(1- 2
5 - 1
3 - 1
10)= 300(米)。
答:这条公路全长300 米。
类型二 多人合作
5.
4 【解析】设这项工程总量为单位“1”,甲的工效为1÷8 =
1
8 ,乙的工效为1÷18 = 1
18,且丙的工效比甲低但比乙高,
要使三人合作用时最少,则丙的工效最高,故需要的总天
数大于1÷( 1
8 + 1
8 + 1
18)= 3 3
11(天),故三人合作最少需要
3+1= 4(天)。
6.
48
11 【解析】将这项工作的总量看作单位“1”,A、B、C 三人
合作的工作效率为1÷8= 1
8 ,A、C、D 三人合作的工作效率
为1÷6 = 1
6 ,B、C、D 三人合作的工作效率为1÷5 = 1
5 ,因
此,两个A、两个B、三个C、两个D 合作的工作效率为1
8 +
1
6 + 1
5 = 59
120,因为C 的工作效率为1÷30 = 1
30,所以A、B、
C、D 四人同时工作1÷[( 59
120- 1
30) ÷2] = 48
11(时)可以完成
这项工作。
7.
解:一辆卡车的工作效率:1÷2÷3 = 1
6 ,一辆小货车的工作
效率:1÷3÷6= 1
18,一辆小板车的工作效率:1÷10÷8 = 1
80,
共同运2 天的工作量: 1
6 ×2+ 1
18×2×2+ 1
80×5×2= 49
72,改用3
辆小货车还需要的天数:(1-49
72)÷(3× 1
18)= 1 11
12(天)。
答:还需要1 11
12天。
8.
解:甲组工人的工作效率∶乙组工人的工作效率= 5 ∶4,
乙组工人的工作效率∶丙组工人的工作效率= 8 ∶3,
甲组工人的工作效率∶乙组工人的工作效率∶丙组工人
的工作效率= 10 ∶8 ∶3,
丙组工作时间:(13×10+15×8)×3÷(10×3)= 25(天)。
答:丙组10 人去做,需要25 天才可以完成。
9.
解:甲、乙、丙3 人8 天完成5
6 - 1
3 = 1
2 ,甲、乙、丙的工效和
为1
2 ÷8= 1
16,甲、乙、丙3 人4 天完成1
16×4 = 1
4 ,甲做一天
后,甲、乙再合作2 天,共做1
3 - 1
4 = 1
12,那么乙一天做( 1
12
- 1
72×3) ÷2 = 1
48,丙一天做1
16 - 1
72 - 1
48 = 1
36,余下的由丙做
需要(1- 5
6 )÷ 1
36 = 6(天)。
答:若余下的工作由丙单独完成,还需要6 天。
10.
解:把A 工程工作量看作单位“1”,则B 工程工作量为1+
1
4 ,总工作量为1+1+ 1
4 = 9
4 。甲队的工作效率为1÷20=
1
20,乙队的工作效率为1÷24 = 1
24,丙队的工作效率为1÷
30= 1
30,则工作总时间为9
4 ÷( 1
20 + 1
24 + 1
30) = 18(天),乙
队18 天的工作量是18× 1
24 = 3
4 ,乙、丙合作时,丙的工作
量是(1+ 1
4 ) - 3
4 = 1
2 ,丙与乙合作的时间是1
2 ÷ 1
30 =
15(天)。
答:丙队与乙队合作了15 天。
11.
解:设甲先单独加工了t 小时。
乙加工5 小时的总量=甲加工(t+5)小时的总量,丙加工
7 小时的总量=甲加工(t+7)小时的总量,两式相减,则甲
加工2 小时的总量=丙加工7 小时的总量-乙加工5 小时
的总量= 23×7-27×5 = 26(个),甲每小时加工26÷2 = 13
(个)零件,丁加工10 小时的总量=甲加工(t+10)小时的
总量,且甲加工(t+5)小时的总量= 乙加工5 小时的总量
= 27×5= 135(个),从(t+5)小时到(t+10)小时,甲又多加
工了10-5= 5(时),甲5 小时的工作量为13×5= 65(个),
甲(t+10)小时的工作总量为135+65 = 200(个),即丁加
工10 小时的总量等于甲(t+10)小时的工作总量200 个,
丁每小时加工200÷10= 20(个)。
答:丁每小时加工20 个零件。
类型三 交替合作
12.
12 【解析】乙队的工作效率为1
8 - 1
12 = 1
24,乙队做了( 1
12
×18-1)÷( 1
12- 1
24)= 12(天)。
13.
15 【解析】由题意知:甲2 小时的工作量=乙6 小时的工
作量。因为甲3 小时+乙9 小时也可以完成工作,所以甲
工作1 小时后剩下的工作量为:(甲3 小时的工作量-甲1
小时的工作量)+乙9 小时的工作量= 甲2 小时的工作量
+乙9 小时的工作量=乙6 小时的工作量+乙9 小时的工
作量=乙15 小时的工作量。
14.
解:把工程总量看作单位“1”,甲工程队的效率为20%÷4
= 1
20,乙工程队的效率为(1-20%) ÷6- 1
20 = 1
12,如果这项
工程甲工程队先做15 天,剩下的由乙工程队单独完成,
乙工程队还需要(1- 1
20×15)÷ 1
12 = 3(天)。
答:乙工程队还需要3 天才完成全部工程。
15.
解:小红的工作效率为:( 2
3 - 1
6 ×2)÷(6-2)= 1
12
小兰的工作效率为:( 2
3 - 1
6 ×3)÷(6-3)= 1
18
所以小红与小兰合作需要:1÷( 1
12+ 1
18)= 7 1
5 (时)
答:小红与小兰合作需要7 1
5 小时完成。
16.
解:这项工程甲队一共做了6+9= 15(天),乙队做了4 天,
丙队做了6 天,把甲队完成的工作量看作单位“1”,则乙
队完成的工作量是1
3 ,丙队完成的工作量是1
3 × 2 = 2
3 ,
这项工程的总量是1
3 + 2
3 +1 = 2,那么甲队完成这项工程
的1÷2= 1
2 ,单独完成需用时15÷ 1
2 = 30(天),乙队完成
这项工程的1
3 ÷2= 1
6 ,单独完成需用时4÷ 1
6 = 24(天),
丙队完成这项工程的2
3 ÷2= 1
3 ,单独完成需用时6÷ 1
3 =
18(天)。
答:甲、乙、丙单独做各需30 天、24 天、18 天。
类型四 做做停停
17.
11 【解析】将工程总量看作单位“1”,甲休息2 天,即乙
队单独干了2 天,乙休息8 天,即甲队单独干了8 天,那
么剩下的工作量:1- 1
10×8- 1
30×2= 2
15,是两队合作的工作
总量,两队合作的工作时间: 2
15÷( 1
10+ 1
30)= 1(天),所以
开始到完工共用了2+8+1= 11(天)。
18.
960
【解析】平均每人应该工作:(1 + 6 + 5 + 4) ÷ 4 = 4
(天),每天的报酬为:480÷(4-1)= 160(元),甲得报酬:
160×6= 960(元)。
19.
解:设乙休息了x 天,由已知条件得1
20×(18-3) + 1
32×(18
-x)= 1,解得x= 10。
答:乙休息了10 天。
20.
解:设甲工作了x 天, 1
30x+ 1
20× 2
3 x= 1,解得x= 15。
乙工作了15× 2
3 = 10(天),
实际完工天数:1÷( 1
30+ 1
20)+8= 20(天)
甲休息了20-15= 5(天),乙休息了20-10= 10(天)。
答:甲休息了5 天,乙休息了10 天。
21.
解:将这批零件的工作总量看作单位“1”,师徒二人合作
的工作效率为1
18,合作加工时长为(18 5
6 -1 1
2 )小时,则
徒弟1 个半小时的工作量为1- 1
18 ×(18 5
6 -1 1
2 )= 1
27,
则徒弟的工作效率为1
27÷1 1
2 = 2
81,零件总数为12÷ 2
81 =
486(个),师父每小时加工的零件:486× 1
18-12= 15(个)。
答:师父每小时加工15 个零件。
22.
解:把这项工程的工作总量看作单位“1”,甲、乙两人合作
需要天数:1÷( 1
36+ 1
30)= 180
11 = 16 4
11(天),甲、乙、丙三人
合作需要天数:1÷( 1
36+ 1
30+ 1
48)= 12 12
59(天),则实际需要
1
的天数在12 12
59到16 4
11之间,可能是13、14、15、16,如果
总天数是13,则丙干的天数是(1-
11
180×13)÷ 1
48 = 148
15 (天),
不是整数,舍去;如果总天数是14,则丙干的天数是(1-
11
180×14)÷ 1
48 = 104
15 ,不是整数,舍去;如果总天数是15,则
丙干的天数是(1- 11
180×15)÷ 1
48 = 4,则丙休息的天数是15
-4= 11(天);如果总天数是16,则丙干的天数是(1- 11
180×
16)÷ 1
48 = 16
15 ( 天),不是整数,舍去;综上,总天数是15
天,丙干了4 天,休息了11 天。
答:丙休息了11 天。
23.
解:设甲、乙、丙三人的工作效率分别为a,b,c,因为丙休
息2 天,乙就要多做4 天,或者由甲、乙两人合作多做1
天,所以2c= 4b=a+b,即c ∶b = 4 ∶2 = 2 ∶1,b ∶a = 1 ∶3,
所以a ∶b ∶c = 3 ∶1 ∶2,则甲的工作效率为1
13 ×
3
3+2+1 =
1
26,甲单独做需要1÷ 1
26 = 26(天)。
答:这项工程由甲独做需要26 天。
专题56
变效工程
帮忙问题
水管问题
类型一 变效工程
1.
1700 【解析】设原来每天装x 台,根据剩余总台数不变可
列方程:40(x+2)-5=(40+3)x,解得x = 25,则一共要装配
(40+3)×25+625= 1700(台)。
2.
解:合作时甲的工作效率:(1-20%)× 1
10 = 2
25,合作时乙的
工作效率:(1-10%) × 1
15 = 3
50,所以合作时甲的工作效率
高于乙的工作效率;设两队至少合作x 天,则甲单独做的
时间是(8-x)天,则( 2
25+ 3
50)x+(8-x) × 1
10 = 1,解得x = 5,
所以两人要合作5 天。
答:两人要合作5 天。
3.
解:在晴天,一队的工作效率为1
12,二队的工作效率为1
15,
在雨天,一队的工作效率为1
12 ×(1- 60%) = 1
30,二队的工
作效率为1
15×(1-40%)= 1
25,设在施工的日子里,雨天有x
天,根据题意得(1- 1
30x)÷ 1
12 =(1- 1
25x)÷ 1
15,解得x= 15。
答:收割期间下了15 天雨。
4.
解:甲用A 机器每小时加工1
6 的零件,用B 机器每小时加
工(1-60%)× 1
6 = 1
15的零件,乙用B 机器每小时加工1
10的
零件,用A 机器每小时加工(1+20%)× 1
10 = 3
25的零件,设甲
用A 机器加工x 小时,B 机器加工y 小时;那么乙用B 机器
加工x 小时, 用A 机器加工y 小时。根据题意, 得
1
6 x+ 1
15y= 1
1
10x+ 3
25y= 1
ì
î
í
ï
ï
ïï
,解得
x= 4
y= 5
{
,总时间:4+5= 9(时)。
答:甲、乙完成任务所用的时间是9 小时。
5.
解:设原定时间为4x,则做了1
4 后,原定时间还有4x×(1-
1
4 )= 3x,提速25%后,效率与原来效率的比为5 ∶4,则需
要的时间比为4 ∶5,可提前原定剩于时间的1
5 完成,则3x
× 1
5 = 3,解得x= 5,则原定时间为4×5 = 20(小时);后面这
一部分提速20%,即效率与原效率的比是6 ∶5,则需要的
时间比是5 ∶6,提前2 小时,则后面这部分原定用时2÷ 1
6
= 12(小时),400 个零件原定时间是20-12 = 8(小时),原
定每小时做400÷8 = 50(个),则这批模型有50×20 = 1000
(个)。
答:这批模型有1000 个。
6.
解:由题意知,甲、乙经过1 小时后各清理了200 米积雪,设
乙换工具后又工作了x 分钟,乙换工具前的速度为v,则甲
的速度为v×(1+ 1
3 )= 4
3 v,1 小时= 60 分钟。所以4
3 v×60
= 200,解得v = 2. 5。所以2. 5×(60- 10-x) + 2× 2. 5×x =
200,解得x= 30。
答:乙换了工具后又工作了30 分钟。
7.
解:设这项工程的总工作量为单位“1”,合作后徒弟单独做
6 天完成的工作量:1- 2
5 -13
30 = 1
6 ,徒弟单独做的效率: 1
6 ÷
6= 1
36,合作时徒弟的效率: 1
36 ×(1+ 1
5 ) = 1
30,合作时徒弟
完成的工程量: 1
30×6= 1
5 ,合作时师傅完成的工程量: 2
5 -
1
5 = 1
5 ,合作时师傅的效率: 1
5 ÷ 6 = 1
30,师傅单独做的效
率: 1
30÷(1 + 1
10 ) = 1
33,师傅单独做需要的时间:1 ÷ 1
33 =
33(天)。
答:这项工程由师傅一人做需要33 天完成。
类型二 帮忙问题
8.
解:总棵数是900+1250 = 2150(棵),甲、乙、丙三人每天可
以植树24+30+ 32 = 86(棵),需要种的天数是2150÷ 86 =
25(天),甲25 天完成植数24×25= 600(棵),那么乙要在A
地植树900-600= 300(棵),则植树的天数为300÷30 = 10
(天),10+1= 11(天),即第11 天从A 地转到B 地。
答:乙应在开始后第11 天从A 地转到B 地。
9.
解:徒弟每天加工零件8+4 = 12(个),这批零件共有12÷
( 1
12- 1
15)= 720(个),原计划马师傅和张师傅每天共完成
720÷15= 48( 个),又因为马师傅比张师傅每天多加工8
个,则马师傅每天加工(48+8)÷2= 28(个)。
答:马师傅每天加工28 个零件。
10.
解:设A 仓库的货物为2,则B 仓库的货物为1,三人搬完
两个仓库的货物用时(1+2) ÷( 2
32+ 1
24+ 1
12)= 16(时),所
以甲的工作量为2
32×16= 1,丙帮甲搬运的货物为2-1= 1,
则丙帮甲的时间是1÷ 1
12 = 12(时)。
答:丙帮了甲12 小时。
11.
解:设上午派了4x 人,其中甲工地3x 人,乙工地x 人,下
午派了12y 人,其中甲工地7y 人,乙工地5y 人,设每人每
小时工作效率为1,甲工地的工程量为:(4+4) ×3x+4×7y
= 24x+28y,乙工地的工程量为:(4+4)x+4×5y+4×8 = 8x+
20y+32,由于两个工地的工程量相等,即24x+ 28y = 8x+
20y+32,化简为2x+y = 4,正整数的解只有x = 1,y = 2,共
派出:4x+12y= 4×1+12×2= 28(人)。
答:这一天老板一共派出28 名工人。
类型三 水管问题
12.
8. 4 【解析】把水池的容量看作单位“1”,那么甲、乙合作
的工作效率是1
10,先打开甲管,9 分钟后再打开乙管,再
过4 分钟就注满了水池,则这4 分钟的工作量是1
10 ×4 =
4
10,前9 分钟甲单独的工作量是1- 4
10 = 6
10,所以甲的工
作效率= 6
10 ÷9 = 1
15,乙的工作效率= 1
10 - 1
15 = 1
30,甲比乙
多的工作效率是1
15- 1
30 = 1
30,它对应的量就是0. 28 立方
米,所以水池的容积是0. 28÷ 1
30 = 8. 4(立方米)。
13.
23 【解析】将工作总量看作单位“1”,甲的工作效率是
1
15× 3
3+4 = 1
35,乙的工作效率是1
15× 4
3+4 = 4
105,要抽干水池
还需要(1- 4
105×9)÷ 1
35 = 23(时)。
14.
8. 25 【解析】A 管的流速为:1÷8 = 1
8 ,B 管的流速为:1÷
10= 1
10,C 管的流速为:1÷15= 1
15,10 小时15 分钟= 10. 25 小
时,设C 管打开了x 小时,则根据题意列一元一次方程:
( 1
8 + 1
10)(10. 25-x)+ 1
15x = 1,解得x = 8. 25,即C 管打开
了8. 25 小时。
15.
4. 8 8 【解析】五管工效之和为:( 1
4 + 1
12+ 1
20+ 1
6 + 1
30)
÷2= 7
24,( 1
4 + 1
12)- 7
24 = 1
24,所以E 为出水管,效率为1
24;
1
20+ 1
24 = 11
120,A 为进水管,效率为11
120; 1
4 - 11
120 = 19
120,B 为
进水管,效率为19
120; 1
6 + 1
24 = 5
24,D 为进水管,效率为5
24;
5
24- 1
12 = 1
8 ,C 为出水管,效率为1
8 。比较得,D 管注水效
率最高,注水时间为1÷ 5
24 = 4. 8(时);C 管放水效率最高,
放水时间为1÷ 1
8 = 8(时)。
16.
解:甲的工作效率为1÷5 = 1
5 ,乙的工作效率为1÷ 10 =
1
10,排水管的工作效率为1÷6= 1
6 ,设打开甲管x 分钟后,
发现排水管未关上,则( 1
5 - 1
6 )x+( 1
5 + 1
10) x = 1
4 ,解得
x= 3
4 , 注满水池剩下的还需( 1 - 1
4 ) ÷ ( 1
5 + 1
10 ) =
5
2 (分),共需用时3
4 ×2+ 5
2 = 4(分)。
答:如果继续注满水池,前后一共要花4 分钟。
17.
解:1 号抽水机每分钟注入A 池1
18池水,2 号抽水机每分
钟抽出A 池1
24 池水,则A 池每分钟的进水量: 1
18 - 1
24 =
1
72,A 池水到达0. 6 米所需时间: ( 0. 6
1. 2 - 1
6 ) ÷ 1
72 = 24
(分),2 号抽水机每分钟注入B 池1
24池水,则B 池水深:
24× 1
24×1. 2= 1. 2(米)。
答:此时B 池水深为1. 2 米。
2
18.
解:A 管的注水速度为1200÷9 = 400
3 (升/ 时),B 管的注水
速度为1200÷10 = 120(升/ 时)。设排水管排水的速度为
x 升/ 时,3×(x-400
3 )= 5×(x-400
3 -120),解得x = 1300
3
,则
水池中原来存有3×(1300
3 -400
3 )= 900(升)的水。
答:水池中原来存有900 升的水。
19.
解:由题可得:如果注水速度不变,它们分别注满水池还
需,甲:2 1
3 ÷ 7
7+5-2 1
3 = 5
3 (时),乙:2 1
3 ÷ 5
7+5-2 1
3 = 49
15
(时),则注水速度变化后,注满一池水甲、乙水管分别还
需:甲: 5
3 ÷(1+25%)= 4
3 (时),乙∶49
15 ÷(1-30%) = 14
3
(时),所以当甲水管注满A 池时,乙水管注满B 池还需:
14
3 - 4
3 =3 1
3 (时)。
答:当甲管注满A 池时,乙管还需3 1
3 小时注满B 池。
20.
解:设没有排水孔注满水箱三分之一用时t 分钟,(30-2t)
×2+t= 33,解得t= 9,
把每分钟放水量看作单位“1”,进水量看作a,
9×a×2 ∶(30-9×2)×(a-1)= 2 ∶1,
解得a= 4,三分之一的容量为9×4 = 36,打开两个排水孔
注满用时相当于注满三分之一容量没有排水孔的时间,
加上注满三分之一容量一个排水孔的时间,再加上注满
三分之一容量两个排水孔的时间,三分之一的容量为9×
4=36,注满三分之一容量一个排水孔的时间:36÷(4-1)=
12(分),注满三分之一容量两个排水孔的时间:36÷(4-
1-1)= 18(分),9+12+18= 39(分)。
答:如果两个孔都打开,那么注满水箱的时间是39 分钟。
21.
解:(1)设每根进水管的工效为“1”,那么A 水池容量为4
×5= 20,B 水池容量为6×5= 30。当用5 根进水管给B 水
池注水时需30÷5= 6(时),而在6 小时内5 根进水管给A
水池也是注了容量为30 的水,所以漏掉水的容量为30-
20= 10,因此漏水工效为10÷6= 5
3 。用10 根进水管给漏
水的A 水池注水需要20÷(10×1- 5
3 )= 2. 4(小时),2. 4
小时= 144 分钟。
答:如果用10 根进水管给漏水的A 水池注水,需要144
分钟注满。
(2)设A 水池需x 根,那么B 水池需(10+4-x)根,每根进
水管的工效为“1”,根据题意可列方程:(x- 5
3 ) ∶(10+4
-x)= 20 ∶30,解得x = 6. 6。所以A 水池用7 根或6 根进
水管。
①当A 水池用7 根进水管时,注满需20÷(7× 1- 5
3 ) =
3. 75(时),3. 75 小时= 225 分钟;B 水池用10 + 4 - 7 =
7(根)进水管,注满需30÷ 7 = 30
7 (时),30
7 小时≈257 分
钟。此时要把两个水池注满最少需要257 分钟。
②当A 水池用6 根进水管时,注满需20÷(6×1- 5
3 )= 60
13
(时),60
13小时≈277 分钟;B 水池用10+4-6 = 8(根)进水
管,注满需30÷8= 15
4 (时),15
4 小时= 225 分钟。此时要把
两个水池注满最少需要277 分钟。
257<277,所以最少需257 分钟。
答:要把两个水池注满最少需257 分钟。
专题57
周期工程
工资分配
配套问题
类型一 周期工程
1.
5 【解析】两天合起来看作一个周期,相当于一个周期运
出:60-50 = 10( 吨),则两个周期后剩余:80- 10- 10 = 60
(吨),即两个周期后的下一天正好运出60 吨,故运完共
用:2×2+1= 5(天)。
2.
38
【解析】甲、乙、丙的工作效率分别是1
24、1
36、1
48,甲、
乙、丙的工作天数连比是3 ∶6 ∶10,一个周期的工作总量
为1
24×3+ 1
36×6+ 1
48×10 = 1
2 ,那么工作天数为(3+6+10) ×2
= 38(天)。
3.
解:将甲1 分钟、乙2 分钟、甲2 分钟、乙1 分钟四次开水管
记作一个周期,一个完整的周期需要1+2+2+1= 6(分),一
个周期可以灌满池子的1+2
24 + 1+2
18 = 7
24,灌满整个池子需
要:1÷ 7
24 = 3 3
7 ,即灌满整个池子需要三个完整的周期,还
剩下这个池子的1- 7
24×3= 1
8 没灌满。还剩下的1
8 先开甲
管1 分钟,还剩下池子的1
8 - 1
24 = 1
12没有灌满,再开乙管需
要1
12÷ 1
18 =1. 5(分)灌满,一共需要6×3+1+1. 5=20. 5(分)。
答:灌满一池水共用20. 5 分钟。
4.
219 【解析】小李每3+ 1 = 4( 分) 一个周期,小张每4+
1. 5= 5. 5(分)一个周期,4 和5. 5 的最小公倍数为44,则
经过44 分钟两人共制作零件44 ÷ 4 × 3 + 44 ÷ 5. 5 × 4 =
65(个)。325÷65= 5,即需要5 个44 分钟,又因为第5 个
44 分钟的最后一分钟两人都在休息,因此制作325 个零件
共需44×5-1= 219(分)。
5.
B
【解析】14÷(2+1)= 4(组)……2(天),甲队单独做不
休息时需要4× 2+ 2 = 10(天);15÷(3+ 1) = 3( 组) ……3
(天),乙队单独做不休息时需要3×3+3 = 12(天),工作时
间为:1÷( 1
10+ 1
12+ 1
15)= 4(天),1+1 = 2(天) 一个周期,需
要:4×2= 8(天),又因为是先工作后休息,则工程完工需要
8-1= 7(天)。
6.
解:甲工程队做6 天休息一天,即每个周期需要6 + 1 =
7(天),一项工作甲工程队单独完成要97 天,97÷7= 13(周
期)……6(天),即甲不停地做需要13×6+6= 84(天);同理
乙工程队每个周期需要4+ 3 = 7( 天),74÷ 7 = 10( 周期)
……4(天),即乙不停地做需要10×4+4 = 44(天),由于他
们的工作周期都是7 天,7 天内甲做全部工作的1
84 × 6 =
1
14,乙做全部工作的1
44×4= 1
11,1÷( 1
14+ 1
11)= 6 4
25,即两队
合作6 周后,还剩下全部工作的1-( 1
14 + 1
11) ×6 = 2
77, 2
77 ÷
( 1
84+ 1
44)= 3
4 (天),所以共需要6×7+ 3
4 ≈43(天),即10
月1 日开工,经过43 天可完工,即11 月12 日。
答:11 月12 日可完工。
7.
21 【解析】设这项工作的总工作量为单位“1”,那么甲、乙
的工作效率和为1÷12 3
5 = 5
63。若第一种做法的最后一小
时是乙做的,那么甲、乙共做了偶数个小时,那么第二种做
法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同,不会多1
3 小时,
与题意不符,故第一种做法整数小时做完,最后一个小时
必然是甲做的,所以甲1 小时的工作量= 乙1 小时的工作
量+ 1
3 甲1 小时的工作量,即甲、乙两人的工作效率的比为
3 ∶2,那么甲的工作效率为5
63× 3
5 = 1
21,所以甲单独做要1
÷ 1
21 = 21(时)。
8.
解:把工作总量看作单位“1”,甲、乙、丙、丁的工作效率分
别是1
24、1
20、1
16、1
12。
(1)完成需要:1÷( 1
24+ 1
20+ 1
16+ 1
12)= 4 4
19(时)。
答:四人同时打字,需要4 4
19小时完成。
(2)甲、乙、丙、丁轮流一次看作一组,每组完成1
24 + 1
20 + 1
16
+ 1
12 = 19
80,取4 组后余下工作量:1- 19
80×4 = 1
20;甲再工作一
小时可完成1
24,还有1
20 - 1
24 = 1
120,乙继续完成需要: 1
120÷
1
20 = 1
6 (时),总时间:4×4+1+ 1
6 = 17 1
6 (时)。
答:四人轮流打字,需要17 1
6 小时完成。
(3)调换顺序,四人一组的工作效率不变,还是需要轮流4
次,共16 小时,4 组余下的工作量是1
20,现在至少需要提前
半小时,现在的工作时间最多为1+ 1
6 - 1
2 = 2
3 (时),则4
组以后的第一个人的工作效率至少为1
20÷ 2
3 = 3
40,只有丁
的工作效率大于3
40,所以丁应该排在第一位,丁再做1
20 ÷
1
12 = 3
5 (时)可以完成,能提前1 1
6 - 3
5 = 17
30(时) 完成,则
轮流次序可以是丁、甲、乙、丙。
答:能使完成这项打字任务的时间至少提前半小时,轮流
次序可以是丁、甲、乙、丙,能提前17
30小时完成打字任务。
9.
【思路分析】先通过假设法判断出第一周是打开哪根水管
1 小时后恰好灌满空水池,再对比三周灌满水池的时间得
出单位时间内三根水管的进水量之比,从而求出只打开甲
管,灌满一池水所需的时间。
解:①假设第一周恰好在打开丙管1 小时后灌满空池,说
明了灌满水池所需的时间为3 小时的整数倍,则第二周调
换三根水管的顺序,所需时间应该一样,由此假设不成立;
②假设第一周恰好在打开乙管1 小时后灌满空池,说明了
灌满水池所需的时间是若干个3 小时再多加1 小时甲和1
小时乙,则第二周调换成乙、丙、甲的顺序,所花时间少了
15 分钟,说明丙45 分钟的灌水量与甲60 分钟的灌水量相
同,第三周调换成丙、乙、甲的顺序,丙先灌水60 分钟,则
乙不再需要1 小时就能灌满水池,不可能出现比第一周多
用15 分钟,假设不成立;③假设第一周恰好在打开甲管
1 小时后灌满空池,说明了灌满水池所需的时间是若干个
3 小时再多加1 小时甲,则第二周调换成乙、丙、甲的顺序,
所花时间少了15 分钟,说明乙45 分钟的灌水量与甲60 分
钟的灌水量相同,第三周调换成丙、乙、甲的顺序,所花时
间多了15 分钟,说明乙30 分钟的灌水量与丙60 分钟的灌
水量相同。则甲管1 小时的进水量与乙管45 分钟的进水
量相同,乙管30 分钟的进水量与丙管1 小时的进水量相
同,所以1 甲= 3
4 乙, 1
2 乙= 1 丙,所以三管单位时间内的
3
进水量之比为甲∶乙∶丙= 3 ∶4 ∶2,2 小时20 分钟= 7
3
小时,甲管的工作效率:1÷ 7
3 ×
3
3+4+2 = 1
7 ,甲管灌满一池
水需用:1÷ 1
7 = 7(时)。
答:甲管灌满一池水需用7 小时。
类型二 工资分配
10.
6 7500 【解析】甲厂每天的工作效率是1
10,乙厂每天的
工作效率是1
15,两厂合作,每天的工作效率是1
10 + 1
15 =
1
6 ,则甲乙两厂同时加工需1÷ 1
6 = 6(天)可以完工;甲厂
应得报酬1
10×6×12500= 7500(元)。
11.
960 【解析】(1+6+5+4) ÷4 = 4(天),480÷(4-1)= 480÷
3= 160(元),160×6= 960(元),即最后甲得报酬960 元。
12.
125 【解析】平均每人玩的次数应是比丁多:(3+7+10)÷
4= 5(次)的,丙比应该玩的次数多:10-5= 5(次),乙比应
该玩的次数多2 次,每次应给少坐的人50 ÷ ( 7 - 5) =
25(元),所以丙应给少坐的人25×5= 125(元)。
13.
184 【解析】甲工作了10-2= 8(时),相当于乙工作了8÷
2×3= 12(时),乙实际工作了10-1 = 9(时),所以甲和乙
的工作量之比是12 ∶9 = 4 ∶3,则甲工人应得工资322×
4
4+3 = 184(元)。
14.
45 18375 【解析】设甲队的工作效率为x,则乙队的工
作效率为( 1
10-x),丙队的工作效率为1
20 -( 1
10 -x),根据
题意可得x+ 1
20-( 1
10-x)= 1
12,解得x = 1
15,所以乙的工作
效率是1
10- 1
15 = 1
30,丙的工作效率是1
20 -( 1
10 - 1
15) = 1
60,
甲队单独施工,需要15 天完成;乙队单独施工,需要30
天完成;丙队单独施工,需要60 天完成,如果只能一个队
伍单独施工,那么最快的比最慢的会早60-15 = 45(天)
完工;设甲队每天的费用为y 元,则需要支付速度最快的
队伍15y 元,乙队每天的费用是( 1
10 × 18000 - y) 元,即
(1800-y)元,丙队每天的费用为[ 1
20 ×12000-(1800-y)]
元,即( y - 1200) 元, 根据题意得12y + 12 ( y - 1200) =
15000,解得y = 1225,所以需要支付速度最快的队伍15×
1225= 18375(元)。
15.
解:将总工程量看作单位“1”,则甲队的工作效率是1
10,乙
队的工作效率是1
8 ,乙队干2 天的工作总量是1
8 ×2= 1
4 ,
甲队干了剩下的1 - 1
4 = 3
4 ,所以甲队获得2000 × 3
4 =
1500(元),乙队获得2000× 1
4 = 500(元)。
答:甲队获得1500 元,乙队获得500 元。
16.
解:甲、乙的工作效率之和: 1
3 ÷6= 1
18
乙、丙的工作效率之和:(1- 1
3 )× 1
4 ÷2= 1
12
甲、乙、丙工作效率之和:[1- 1
3 -(1- 1
3 )× 1
4 ]÷5= 1
10
甲的工作效率: 1
10- 1
12 = 1
60,丙的工作效率: 1
10- 1
18 = 2
45
甲:1800× 1
60×(6+5)= 330(元)
丙:1800× 2
45×(2+5)= 560(元)
乙:1800-330-560= 910(元)
答:甲应得330 元,乙应得910 元,丙应得560 元。
17.
解:甲队单日费用:100÷80= 1. 25(万元),乙队单日费用:80÷
100=0. 8(万元),设甲队工作了x 天,则甲队的工作量为
1
80x,乙队的工作量为(1- 1
80x),乙队工作了[(1- 1
80x)÷ 1
100]
天。由题意得1. 25x+(1- 1
80x)÷ 1
100×0. 8 = 86. 5,解得x =
26,(1- 1
80x)÷ 1
100 = 67. 5,因为26<67. 5,所以撤出的一个
队是甲队,甲队工作的天数就是甲、乙两队合作的天数。
答:甲、乙两队合作了26 天。
18.
解:甲、乙工效和:1÷2 2
5 = 5
12;乙、丙工效和:1÷3 3
4 = 4
15;
甲、丙工效和:1÷ 2 6
7 = 7
20;甲、乙、丙工效和:( 5
12 + 4
15 +
7
20)÷2 = 31
60,甲的工效: 31
60 - 4
15 = 1
4 ,甲的时间:1÷ 1
4 =
4(天),乙的工效:31
60- 7
20 = 1
6 ,乙的时间:1÷ 1
6 = 6(天),
丙的工效:31
60- 5
12 = 1
10,丙的时间:1÷ 1
10 = 10(天),故丙一
周内完成不了。甲、乙一天费用:1800÷2 2
5 = 750(元);
乙、丙一天费用:1500÷3 3
4 = 400(元);甲、丙一天费用:
1600÷2 6
7 = 560(元);甲、乙、丙一天费用和:(750+400+
560)÷2= 855(元),甲一天费用:855- 400 = 455(元);甲
总费用:455× 4 = 1820(元),乙一天费用:855- 560 = 295
(元),乙总费用:295×6= 1770(元),1820>1770,故乙的费
用更少。
答:选择乙队单独承包费用最小。
类型三 配套问题
19.
115 【解析】将生产一件主机的时间看作15 份,生产一
件马达的时间看作5 份,生产一件机座的时间看作3 份,
那么车间一天工作的时间是15×2+5×5+3×7 = 76(份),
生产380 套机器的总时间是380×(15+5+3)= 8740(份),
生产的天数是8740÷76= 115(天)。
20.
解:(1)设安排x 名工人加工甲种零件,则安排(50-x)名
工人加工乙种零件, 由题可得30x = 20 ( 50 - x), 解得
x= 20。
答:应安排20 名工人加工甲种零件。
(2)设有y 名工人加工甲种零件,则有(50-y)名工人加工
乙种零件,由题意可得,2×30y = 7×20×(50-y),解得y =
35,则有50- 35 = 15(名) 工人加工乙种零件,则总费用
为:30×35×10+20×15×12= 14100(元)。
答:一天这50 名工人所得加工费一共14100 元。
21.
解:甲工厂全月上衣产量960÷ 3
5 = 1600(件),全月裤子
产量960÷ 2
5 = 2400(条);乙工厂全月上衣产量1200÷ 4
7
= 2100(件),全月裤子产量1200÷ 3
7 = 2800( 条);因为
1600
2400<2100
2800,所以乙工厂生产上衣的相对效率较高,若由
乙工厂全月做上衣能做2100 件,甲工厂全月做裤子能做
2400 条,此时裤子比上衣多2400-2100 = 300(条),需要
让甲工厂拿出部分时间做上衣,减少裤子产量,使上衣和
裤子数量匹配。设甲厂用x 个月做上衣,(1-x)个月做裤
子,令上衣和裤子数量相等,则2100+1600x= 2400(1-x),
解得x= 3
40。2100+1600× 3
40 = 2220(套)。
答:甲、乙两个工厂合作一个月最多可做2220 套。
22.
解:让甲制作花瓶,可制作:11×23= 253(个),让丙制作花
束,可制作:12×23= 276(支),花瓶与花束的数量差:276-
253= 23(个),让乙用x 小时制作花束,(23-x)小时制作
花瓶,花束应比花瓶的数量少23,则可列方程为11x= 12×
(23- x) - 23, 解得x = 11, 所以乙制作花束: 11 × 11 =
121(支),制作花瓶:12×(23-11)= 144(个),花瓶有:253+
144= 397(个),花束有:276 + 121 = 397 ( 支), 此时正好
配套。
答:最多可制作397 套。甲全部制作花瓶,丙全部制作花
束,乙用11 小时制作花束,甲用12 小时制作花瓶,这样
制作出的花瓶和花束刚好全部配套,制作的套数最多。
23.
解:设加工折扇的工人有x 人,加工七彩长裙的工人有y
人,加工蝴蝶刺绣装饰的工人有z 人,且x+y+z= 154①。
三种部件刚好配套,则5x ∶4y= 3 ∶1,所以x= 12
5 y②;
4y ∶3z= 1 ∶9,所以z= 12y③。
由①②③,解得x= 24,y= 10,z= 120。
答:安排24 人加工折扇、10 人加工七彩长裙、120 人加工
蝴蝶刺绣装饰,才能使生产出来的折扇、七彩长裙、蝴蝶
刺绣装饰三种部件恰好都配套。
4
