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培优冲刺 07 数列递推公式与求和归类
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题型一：数列型恒成立求参……………………………………………………………………………………………………………………………1
题型二：是否存在型求参………………………………………………………………………………………………………………………………2
题型三：恒成立证明型…………………………………………………………………………………………………………………………………3
题型四：求和型不等式证明…………………………………………………………………………………………………………………………3
题型五：数列不定方程型………………………………………………………………………………………………………………………………4
题型六：恒成立求参：奇偶讨论型………………………………………………………………………………………………………………5
题型七：下标数列…………………………………………………………………………………………………………………………………………6
题型八：高斯取整数列型………………………………………………………………………………………………………………………………6
题型九：前n项积型不等式恒成立求参………………………………………………………………………………………………………7
题型十：先放缩再求和型证明不等式……………………………………………………………………………………………………………8
题型十一：插入数型：等差型…………………………………………………………………………………………………………………………9
题型十二：插入数列型……………………………………………………………………………………………………………………………………
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题型十三：新结构19题型压轴………………………………………………………………………………………………………………………
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题型一：数列型恒成立求参
分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参
数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
数列恒成立求参数关键“坑”：
数列是以正整数为“变量”的函数，所以求最小值时要注意正整数的取值范围
1.（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）若数列 满足 ，
，m为常数.
(1)求证： 是等差数列；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数m的取值范围.
2..（河北省石家庄二中教育集团2022-2023学年高三四校联考数学试题）已知等比数列 满足
， ，且 为等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，对任意正整数 ， 恒成立，试求 的取值
范围．3.（重庆市巫山第二中学2022-2023学年高三数学试题）已知正项数列 的前 项和为 ，且
，数列 满足 且 .
(1)分别求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，且 ，对任意正整数恒成立，求实数 的
取值范围.
题型二：是否存在型求参
一般地，已知函数 ，
不等关系
(1)若 ， ，总有 成立，故 ；
(2)若 ， ，有 成立，故 ；
(3)若 ， ，有 成立，故 ；
(4) 若 ， ，有 成立，故 ．
1.（上海市敬业中学2022届高三上学期数学试题）设正项数列 的前 项和为 ，首项为1，已知对任
意整数 ，当 时， （ 为正常数）恒成立．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)证明：数列 是递增数列；
(3)是否存在正常数 ，使得 为等差数列？若存在，求出常数 的值；若不存在，说明理由．
2.（四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知各项均为正数的数列 的前n项
和为 ，且 为等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，是否存在 ，使得 恒成立?若存在，求出m的值；若不
存在，说明理由．
3.（江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期数学试题）已知 是数列 的前 项和，且 ，
数列 是公差为 的等差数列．
(1)求数列 的通项公式
(2)记数列 的前 项和为 ，是否存在实数 使得数列 成等差数列，若存在，求出实数 的值
若不存在，说明理由．
题型三：恒成立证明型数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列
的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，
利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．
1.（2024高三·全国·专题练习）已知在数列 中， ，点 ， 在直线 上.
(1)求数列 的通项公式．
(2)设 ， 为数列 的前 项和，试问：是否存在关于 的整式 ，使得
（ ，且 ）恒成立？若存在，写出 的表达式，并加以证明；
若不存在，请说明理由．
2.（广西南宁市第八中学2022-2023学年高三数学试题）在数列 中，已知 ， ，且对于任意
正整数n都有 .
(1)令 ，求数列 的通项公式；
(2)设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使 成立.
3.（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知公比不为1的等比数列 的前n项和为 ，且 成等差数
列．
(1)求数列 的公比；
(2)是否存在r，s， 且 使得 成等差数列？若存在，求 出r，s，t的关系； 若不存
在，请说明理由．
题型四：求和型不等式证明
求和型不等式证明：
先求和再放缩，放缩时，可以直接放缩，可以借助数列的单调性放缩。
求和常用方法
1.形如 （等差） （等比），用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如 （等差比） （裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如 （ ， 为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减
4.错位相减法求数列 的前n项和
若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和
．
5.常见的裂项技巧：
（1） ；
（2） ；（3）
（4）
（5）指数型 ；
（6）对数型 .
（7）
（8）
（9）
（10） 等
1.（山东省德州市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知公差不为零的等差数列 的前n项和为
， ， ， ， 成等比数列，数列 的前n项和 ．
(1)求数列 和 通项公式；
(2)求 的值；
(3)证明： ．
2.（2023上·山东·高三山东省实验中学校考）已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式：
(2)若 ， 的前n项和为 ，证明： .
3.（2023上·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校联考阶段练习）已知数列 满足
，数列 满足 ， ，其中 为数列 的前 项和.
(1)证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ，并证明： .
题型五：数列不定方程型
1.（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）已知等差数列 的前 项和为
，且满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)试求所有的正整数 ，使得 为整数.
2.（23-24高三·上海·模拟）已知函数 的图像过点 和 .
（1）求函数 的解析式；
（2）记 是正整数， 是 的前n项和，解关于n的不等式 ；
（3）对于（2）中的数列 ，整数 是否为 中的项？若是，则求出相应的项；若不是，则说明理
由.
3.（22-23高三·湖北·联考）已知等比数列 的前 项和为 ，首项 ，若 ， ， 成等差数列且
.
（1）求数列 的通项公式；
（2） 为整数，是否存在正整数 使 成立？若存在，求正整数 及 ；若不存在，请说明
理由.
题型六：恒成立求参：奇偶讨论型
正负相间讨论型：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇
数项通项。
3.分奇偶讨论时，对于奇数，带入时要代入1，3，5等奇数。对于偶数，代入时要代入2.4.6.·····
1.（重庆市第一中学校2022-2023学年高三数学试题）已知数列 的前 项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 前 项和为 ，是否存在实数 ，使得 对任意 ， 恒成
立，若存在，求出实数 的所有取值；若处存在，说明理由．
2.（天津市青光中学2022-2023学年高三上学期数学试题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ；
(3)记 ．是否存在实数 ，使得对任意的 ，恒有 ？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由．
3.（22-23高三·吉林·阶段练习）数列 中， ，点 在直线 上．
求数列 的通项公式；
令 ，数列 的前n项和为 ．求 ；
是否存在整数 ，使得不等式 恒成立？若存在，求出所有 的值；若不
存在，请说明理由．
题型七：下标数列
下标数列
下标数列，最常用的是直接函数代入型，
下标数列，要注意随着下标数列的代入，对应的项数和新数列的性质，以及系数列与原母数列是否存在着联
系，以利用解题突破
1.（2023江苏高考模拟）已知数列 满足： （ 为常数），
数列 中， 。⑴求 ；⑵证明：数列 为等差数列；
⑶求证：数列 中存在三项构成等比数列时， 为有理数。
2.(湖北省黄冈中学2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题)设 是等差数列， 是等比数列.
已知 ， ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）数列 满足 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
3.(河北省衡水市第二中学2023届高考模拟数学试题)定义集合 ，数列 满足
(1)定义数列 ，证明： 为等比数列
(2)记数列 的前 项和为 ，求满足 的正整数
题型八：高斯取整数列型取整函数 表示不超过 的最大整数，又叫做“高斯函数”，
1.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 是正项等比数列， 是等差数列，且 ， ，
，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2) 表示不超过x的最大整数， 表示数列 的前 项和，集合
共有4个元素，求 范围；
(3) ，求数列 的前 项和．
2.（23-24高三·河北保定·）已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，定义 为不超过 的最大整数，例如 ，
，求数列 的前 项和 ．
（说明： ）
3.（23-24高三上·天津）已知数列 是正项等比数列， 是等差数列，且 ， ，
，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2) 表示不超过x的最大整数， 表示数列 的前 项和，集合
共有4个元素，求 范围；
(3) ，数列 的前 项和为 ，求证： ．题型九：前n项积型不等式恒成立求参
注意区分“和”与“积”的公式：
1.通项 与前 项和 的关系是：
2.可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：
1. ，得
2. 时， ，所以
1.（23-24高三·江西·阶段练习）已知数列 和 满足 ， ，且 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ；
(3)若对任意的 ， 恒成立，求实数k的取值范围.
2.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列 满足 ， 数列 满足
．
(1)求 ， 的值及数列 的通项公式；
(2)若 （ ， ），求 的取值范围；
(3)在数列 中，是否存在正整数 ， ，使 ， ， （ ， ， ）构成等比数列？若存
在，求符合条件的一组 的值，若不存在，请说明理由．
3.（22-23高三·四川成都）设数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ，
其中 .
(1)证明 为等差数列，求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 ；
(3)求使不等式 ，对任意正整数 都成立的最大实数 的值.
题型十：先放缩再求和型证明不等式常用的数列放缩式还有：
，
等，解题过程中，注意观察数列特征选择合适的放缩方法.
1.（2024·全国·模拟预测）已知数列 不为常数数列且各项均为正数，数列 的前n项和为 ， ，
满足 ，其中 是不为零的常数， ．
(1)是否存在 使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(2)若数列 是公比为 的等比数列，证明： （ 且 ）．
2.（2024·河北邢台·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求证： ．
3.（21-22高三·北京·强基计划）已知数列 是公差d不等于0的等差数列，且 是等比数列，其中
．
(1)求 的值．
(2)若 ，证明： ．
题型十一：插入数型：等差型
插入数型
1.插入数构成等差数列
在 和 之间插入 个数，使这 个数构成等差数列，可通过构造新数列 来求解
个数构成等差数列，公差记为 ，所以：
1.（2023·江苏苏州·统考三模）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为2，且满足 ．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在a 与a 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证： ．
n n+1
2.（2023上海闵行·统考一模）已知数列 的各项均为整数，其前n项和为 ．规定：若数列 满足前
r项依次成公差为1的等差数列，从第 项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列 为“r关联数
列”．
（1）若数列 为“6关联数列”，求数列 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出 ，并证明：对任意 ， ；
（3）若数列 为“6关联数列”，当 时,在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为
的等差数列，求 ，并探究在数列 中是否存在三项 ， ， 其中m，k，p成等差数列）成等
比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.
3.（2023·安徽马鞍山·高三阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项
和 .
题型十二：插入数列型
插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列 提供了多少项，其余都是插入进来的。
1.（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列 的前 项和 ， ，且 .数列 满足
， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 中的项按从小到大的顺序依次插入数列 中，在任意的 ， 之间插入 项，从而
构成一个新数列 ，求数列 的前100项的和.
2.（2023福建福州·高三福建省福州格致中学校考）已知各项均为正数的数列 中， 且满足
，数列 的前n项和为 ，满足 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若在 与 之间依次插入数列 中的k项构成新数列 ，求数列
中前40项的和 .3.（2022·广东汕头·统考三模）已知各项均为正数的数列 中， 且满足 ，数列
的前n项和为 ，满足 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若在 与 之间依次插入数列 中的k项构成新数列 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，……，求数列 中前50项的和 ．
题型十三：新结构19题型压轴
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问
题，涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽
象为相应的数学问题作答.
关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
1.（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合 ，定义：当 时，把集合 中
所有的数从小到大排列成数列 ，数列 的前 项和为 .例如： 时，
，
.
(1)写出 ，并求 ；
(2)判断88是否为数列 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列 中的某一项 ，求 及 的值.
2.．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且
， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记
，且 ， ， 且
(1)若 ， ，写出 ；
(2)若 ，写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；
(3)若 ， 且 ． 证明： ， 使得 ．
3.（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设集合 ，其中
．若对任意的向量 ，存在向量 ，使得
，则称A是“T集”．
(1)设 ，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
(2)已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若 （c为常数），求有穷数列 的通项公式．
