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微专题05 数列经典题型精练
【秒杀总结】
1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是
转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n 之间的关系，再求an．
2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者
缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩．
3、几种常见的数列放缩方法：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
；
1
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（11）
；
（12）
；
（13）
．
【典型例题】
例1．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）记
为数列
的前n 项积，已知
(1)证明: 数列
是等差数列；
(2)若将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
求数列
的前
项和
;
(3)已知等比数列
的首项为1，公比为
若
对任意的
恒成立，求
的值.
例2．（2024·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）在数列
中，
．在等差数列
中，前n 项和为
，
，
．
(1)求证
是等比数列，并求数列
和
的通项公式；
(2)设数列
满足
，
的前n 项和为
，求
．
例3．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
.等比
数列
是正项递增数列，且
.
2
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(1)求数列
的通项
和数列
的通项
；
(2)若
，求数列
的前
项和.
例4．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）对于数列
，若存在正数k，使得对任意
，
，
都满足
，则称数列
符合“
条件”．
(1)试判断公差为2 的等差数列
是否符合“
条件”？
(2)若首项为1，公比为q 的正项等比数列
符合“
条件”．
①求q 的取值范围；
②记数列
的前n 项和为
，证明：存在正数
，使得数列
符合“
条件”
例5．（2024·全国·高三校联考专题练习）已知等差数列
的前
项和为
，
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，定义
为不超过
的最大整数，例如
，
，求数列
的前
项和
．
（说明：
）
例6．（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）在无穷数列
中，令
，若
，
，则称
对前
项之积是封闭的．
(1)试判断：任意一个无穷等差数列
对前
项之积是否是封闭的？
3
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(2)设
是无穷等比数列，其首项
，公比为
．若
对前
项之积是封闭的，求出
的两个值；
(3)证明：对任意的无穷等比数列
，总存在两个无穷数列
和
，使得
，其中
和
对前
项之积都是封闭的．
例7．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列
中，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【过关测试】
1．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）己知数列
的前
项积为
，且
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)从
中依次取出第1 项，第2 项，第4 项……第
项，按原来顺序组成一个新数列
，求数列
的前
项和．
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列
的前n 项和为
．
(1)求数列
的前n 项和
;
(2)令
，求
的前9 项之和．
4
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3．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数
的值；
(2)证明：
．
4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)证明：
．
5．（2024·河南·高三校联考开学考试）记数列
的前
项和为
.
(1)证明
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求使不等式
成立的
的最大值.
6．（2024·广东广州·统考二模）已知数列
中，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记
为
的前
项和，证明：
时，
.
5
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7．（2024·安徽黄山·统考一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程
是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列
，规定
为数列
的一阶差分
数列，其中
，规定
为数列
的二阶差分数列，其中
．
(1)数列
的通项公式为
，试判断数列
是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列
是以1 为公差的等差数列，且
，对于任意的
，都存在
，使得
，
求
的值；
(3)各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
为常数列，对满足
，
的任意正整数
都有
，且不等式
恒成立，求实数
的最大值．
8．（2024·山东日照·统考一模）己知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，且
，
，
成等差．
(1)求
及
的通项公式；
(2)记集合
的元素个数为
，求数列
的前50 项和．
9．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）设集合
，其中
．若对任意的向量
，存在向量
，使得
，则称A 是“T 集”．
(1)设
，判断M，N 是否为“T 集”．若不是，请说明理由；
(2)已知A 是“T 集”．
（i）若A 中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若
（c 为常数），求有穷数列
的通项公式．
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10．（2024·广东深圳·统考一模）设
为数列
的前
项和，已知
，且
为等差数列．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若数列
满足
，且
，设
为数列
的前
项和，集合
，求
（用列
举法表示）．
11．（2024·全国·校联考模拟预测）数列
的前
项和
满足
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
，证明：数列
的前
项和
满足
．
12．（2024·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于
个正
数
，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
，当且仅当
时，等号成立．若无穷正项数列
同时满足下列两个性质：①
；②
为
单调数列，则称数列
具有性质
．
(1)若
，求数列
的最小项；
(2)若
，记
，判断数列
是否具有性质
，并说明理由；
(3)若
，求证：数列
具有性质
．
13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）设整数
满足
，集合
.从
中选取
个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有
个，设它们的和
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为
.例如
.
(1)若
，求
；
(2)记
.求
和
的整式表达式；
(3)用含
，
的式子来表示
.
14．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）由
个数排列成
行
列的数表称为
行
列的矩阵，简称
矩阵，也称为
阶方阵，记作：
其中
表示矩阵
中第行第
列的数．已知三个
阶方阵分别为
，
，其
中
分别表示
中第行第
列的数．若
，则称
是
生成的线性矩阵．
(1)已知
，若
是
生成的线性矩阵，且
，求
；
(2)已知
，矩阵
，矩阵
是
生成的线性矩阵，且
．
（i）求
；
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（ii）已知数列
满足
，数列
满足
，数列
的前
项和记为
，是否存在正整
数
，使
成立？若存在，求出所有的正整数对
；若不存在，请说明理由．
15．（2024·浙江·校联考一模）已知数列
满足
，记数列
的前
项和为
．
(1)求
；
(2)已知
且
，若数列
是等比数列，记
的前
项和为
，求使得
成立的
的取值范围．
16．（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）对于数列
，如果存在正整数
，使得对任意
，都
有
，那么数列
就叫做周期数列，
叫做这个数列的周期.若周期数列
满足：存在正整
数
，对每一个
，都有
，我们称数列
和
为“同根数列”.
(1)判断数列
是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明
理由；
(2)若
和
是“同根数列”，且周期的最小值分别是
和
，求
的最大值.
17．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知数列
满足
，正项数列
满足
．当
时，记
．
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(1)证明：
是等比数列；
(2)求
．
18．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列
中，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，数列的前
项和为
，求
19．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考开学考试）已知有限数列
，若满足
，m 是项数，则称
满足性质
.
(1)判断数列3，2，5，1 和4，3，2，5，1 是否具有性质
，请说明理由；
(2)若数列
是
，公比为
的等比数列，项数为10，且具有性质
，求
的取值范围.
20．（2024·四川德阳·统考模拟预测）
（
）.
(1)当
时，证明：
；
(2)证明：
.
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21．（2024·河北·高三校联考开学考试）菲波纳契数列
又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由13
世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满足
.规定
，
.
(1)试证明：
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)试证明：
时，
.
22．（2024·山西吕梁·统考一模）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
23．（2024·河北·高三校联考期末）设
为数列
的前
项和，已知
为等比数列，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，设
，记
为数列
的前
项和，证明：
．
24．（2024·山东·高三校联考开学考试）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)
，求数列
的前
项和
．
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25．（2024·山东德州·高三统考开学考试）已知数列
前
项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
26．（2024·天津·高三校联考期末）已知公差为
的等差数列
和公比
的等比数列
中，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求
；
(3)若在数列
任意相邻两项
之间插入一个实数
，从而构成一个新的数列
．若实数
满足
，求数列
的前
项和
．
27．（2024·江西·高三校联考开学考试）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设
且
．若
，则称a 与b 关于模m 同余，记作
（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程：
；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列
，其中
．
①若
，数列
的前n 项和为
，求
；
②若
，求数列
的前n 项和
．
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28．（2024·广东·高三校联考开学考试）已知正项等比数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
的前
项中最大值为
，最小值为
（规定：
），令
，求数列
的
前
项和
.
13
