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微专题06 数列中的复杂递推式问题
【秒杀总结】
1、叠加法：
；
2、叠乘法：
；
3、构造法（等差，等比）：
①形如
( 其中
均为常数
) 的递推公式，
，其中
，构造
，即
是以
为首项，
为公比的等比数列．
②形如
(其中
均为常数，
)，可以在递推公式两边同除以
，转化为
型．
③形如
，可通过取倒数转化为等差数列求通项．
4、取对数法：
．
5、由
和
的关系求数列通项
（1）利用
，化
为
．
（2）当
不易消去，或消去
后
不易求，可先求
，再由
求
．
6、数列求和：
（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和
型
（2）倒序相加法
（3）裂项相消法
常考题型
数列的通项公式
裂项方法
等差数列型
是公差为
的等差数列
1
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是公差为
的等差数列
无理型
指数型
对数型
三角型
是公差为
的等差数列
阶乘型
【典型例题】
例1．（2024·安徽六安·高三统考期末）某种生命体M 在生长一天后会分裂成2 个生命体M 和1 个生命体
N，1 个生命体N 生长一天后可以分裂成2 个生命体N 和1 个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发
生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记
表示第n 天生命体M 的个数，
表示第n 天生命体N
的个数，则
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．数列
为递增数列
C．
D．若
为等比数列，则
【答案】B
【解析】依题意，
，
，则
，而
，
因此数列
是首项为1，公比为3 的等比数列，
，
又
，因此
，于是
，
，
对于A，
，A 错误；
对于B，
，显然数列
是递减数列，因此
为递增数列，B 正确；
对于C，
，C 错误；
对于D，
，由
为等比数列，
得
，解得
或
，
2
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当
时，
，显然数列
是等比数列，
当
时，
，显然数列
是等比数列，
因此当数列
是等比数列时，
或
，D 错误.
故选：B
例2．（2024·浙江·高三瓯海中学校联考开学考试）已知数列
的前
项和为
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
是递增数列
B．
是递增数列
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，由题意易得
，
由
，得
，故A 正确；
对于C，由选项A 得
，所以
，
则
，故C 错误；
对于B，由
，得
也是递增数列，
所以
，即
，故B 正确；
对于D，由选项AC 得
，
累加得
，
令
，则
，
两式相减，得
，
3
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则
，所以
，故D 正确.
故选：C.
例3．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知数列
中，
，若
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】数列
中，
，
，显然
，则
，
对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 错误；
对于D，令
，求导得
，
因此
在
上单调递增，
，于是当
时，
，
则有
，当
时，
，
则
，
因此
，
，则
，
显然
，所以
，D 正确.
故选：D
例4．（2024·全国·高三专题练习）若数列
满足
，则
的值为（ ）
4
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A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
当
时，
，
当
时，
，
依次类推，
，
，
，
所以数列
为周期数列，周期
，
所以
，故B 正确.
故选：B.
例5．（2024·河北·高三校联考阶段练习）在数列
中，
，
，且
，则实数t
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．6
【答案】A
【解析】由题意得
，
若
，则
．当
时，
，
所以
，当
时，
，所以
，与
矛盾；
若
，则
，得
，又
，所以
，
，
所以当
时，
，所以实数的最大值为4．
故选：A.
例6．（2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知数列
满足：对任意
，都有
，
， 设数列
的前
项和为
，若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】若
，则
，得
，若
，与
矛盾，
只能取
．
注意到一个可行的数列为0，
，1，
，2，
，3，
…下面证明该数列使
达到最大：
为此，我们证明：当
为奇数
时，
，
假设存在某正奇数
使
，则分为两种可能：
5
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①若
，则
，
；
同时，按原数列要求，
，
，故
.
注意到该数列显然为整数数列，故当
为奇数时，不存在整数能位于该区间
,因此矛盾．
②若
，则
，
，与
矛盾；
综上，原假设不成立，故当
为奇数
时，
.
而已经找到的数列0，
，1，
，2，
，3，
…中等号全部成立，故
的最大值为
．
例7．（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知数列
，
，
．给出下列
四个结论：
①
； ②
；
③
为递增数列； ④
，使得
．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【解析】对于①，根据题意可知
，
因为
，所以
，即
，故①错误；
对于③，则
，故
，即
，
所以
，即
，故③错误；
对于②，依次递推有
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，即
，故②正确；
对于④，因为
，所以
，则
，依次可知
，
所以
，故④正确.
故答案为：②④.
6
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例8．（2024·河北·高三校联考开学考试）在数列
中，满足
，则
的值为
.
【答案】
【解析】设
，则
，
,
所以
，解得
,
所以
，
所以
,
故答案为：
例9．（2024·河北·高三校联考开学考试）菲波纳契数列
又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由
13 世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满
足
.规定
，
.
(1)试证明：
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)试证明：
时，
.
【解析】（1）因为
，
所以
.
（2）因为
，所以
，
设
，
即
，
7
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则
，
解得
或
，
将
代入得
，
则
①，
同理代入
得
，
所以
②，
①②联立解得
，经检验
也满足上述式子，
所以
的通项公式为
.
（3）方法一：
观察发现：
，
，
，
，
8
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，
设
，
则
时，认为
，
解得：
或
舍去，
即
，所以
.
方法二：分别代入
、
通项公式：
得
，
所以
时，
.
例10．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列
与数列
满足下列条件：①
，
；②
，
；③
，
，记数列
的前
项积为
9
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.
(1)若
，
，
，
，求
；
(2)是否存在
，
，
，
，使得
，
，
，
成等比数列？若存在，请写出一组
，
，
，
；
若不存在，请说明理由；
(3)若
，求
的最大值.
【解析】（1）由
，得
，由
，得
，
由
，得
，
所以
.
（2）不存在.
假设存在，设
公比为
，
若
，则
，公比
，矛盾，
若
，则
，公比
，矛盾，
因此假设不成立，所以不存在.
（3）依题意，
，且
，
，
设
，则
，得
，
于是
，显然
的值从大到小依次为
，
若
，则
且
，当数列
为
或
，可以取得，
显然当
时，
最大，此时
，则
，
，
从而
，又
，
所以
.
10
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【过关测试】
一、单选题
1．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知数列
满足
，且对任意
均有
.记
的前
项和为
，则
（ ）
A．28
B．140
C．256
D．784
【答案】B
【解析】由数列
满足
，且
，
令
，可得
，即
，
再令
，可得
，即数列
是公差为
的等差数列，
又由
，可得
，即
，
又由
即
，所以
及
，
令
，可得
，代入可得
，
解得
，所以
，
即数列
的通项公式为
，
所以
.
故选：B.
2．（2024·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，则满足不等式
的
的值
为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】由题意知数列
满足
，
故
，则
，
结合
，可知数列
为首项是
，公比为
的等比数列，
故
，则
，
由于
在R 上单调递减，则
随n 的增大而减小，
令
，即得
，
由于
随n 的增大而增大，且
，
11
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则
，而
，故
，
，
即数列
的前5 项为正，从第6 项起均为负，
故满足不等式
的
的值为6，
故选：C
3．（2024·全国·高三专题练习）己知正项数列
满足
，
则下列正确的是（ ）
A．
B．数列
是递减数列
C．数列
是递增数列
D．
【答案】D
【解析】因为
，故
，得
，
对于选项A，由
可得：
，
两边同乘
，可得：
，
，则选项A 错误；
对于选项B，易知
，
，
因此
，
则
，选项B 错误；
对于选项C，
，
，
因此
，
又
，同时
，
得
，即
，选项C 错误；
12
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对于选项D，当
时，
，
则
，
则有
，则选项D 正确．
故选：D.
4．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）已知数列
满足
，
若
，则数列
的前10 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
两式相减可得
，即
，
所以
，
所以
.
故选：D
5．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知数列
满足
，
，令
．
若数列
是公比为2 的等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，数列
是公比为2 的等比数列，则
，
即
，
.
故选：B
二、多选题
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6．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知数列
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
为递增数列
C．
D．
【答案】ACD
【解析】因为
，即
，
所以数列
为递增数列，可得
，选项A 正确；
因为数列
为递增数列且
，则
为递减数列，选项B 错误；
因为
，可得
，
两边平方整理得
，选项C 正确．
因为
，整理得
，
两边平方得
，即
，
可得
，
累加可得
，
即
，所以
，故D 正确．
故选：ACD
7．（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现
代物理､化学等领域都有应用．斐波那契数列
满足
，则（ ）
A．
B．
，使得
成等比数列
C．
，对
成等差数列
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，
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所以
，故A 正确；
对于B，由递推公式可知
中有两个奇数，一个偶数，不可能成等比数列，故B 错误；
对于C，
，所以
，
故
成等差数列，所以存在
，使得
成等差数列，故C 正确；
对于D，由
，得
，
所以
，故D 正确．
故选：ACD．
8．（2024·江西·高三统考期末）已知正项数列
满足
，
，其中
，
则（ ）
A．
为单调递减数列
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于AB，由已知得
，令
，
定义域为
，
，令
，
，
当
时，此时
恒成立，故
在
上单调递减，
，也可得
，即
，
故
在
上单调递减，当
时，
，则
，
故
，则
，即
，故
为单调递减数列，
故A 正确，显然
，故B 错误；
对于C，欲证
，且由题意得
，
即证
，即证
，取指数得
，
又易知
，化简得
，故证明
恒成立即可，
令
，
，而
，
15
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故
在
上单调递增，且
，故
，
即
恒成立，故
得证，故C 正确，
对于D，由C 可知，
，
，
，
，
，
上式相加，得
，
故
得证，故D 正确.
故选：ACD
9．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二
次函数
有两个不相等的实根
，其中
.在函数
图象上横坐标为
的点处作曲线
的切
线，切线与
轴交点的横坐标为
；用
代替
，重复以上的过程得到
；一直下去，得到数列
.记
，且
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
（其中
）
B．数列
是递减数列
C．
D．数列
的前
项和
【答案】AD
【解析】对于A 选项，由
得
，所以
，故A 正确.
二次函数
有两个不等式实根
，，
不妨设
，
因为
，
所以
，
在横坐标为
的点处的切线方程为：
，
令
，则
，
因为
16
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所以
，即：
所以
为公比是2，首项为1 的等比数列.
所以
故BC 错.
对于D 选项，
，得
故D 正确.
故选：AD
10．（2024·江苏苏州·高三统考期末）如图，在平面直角坐标系
中，已知函数
的图象为曲
线
，点
在
上，点
在
轴上，且
分别是以
为直角顶点的等腰直角三角形.记点
的横坐标分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为等差数列
D．
【答案】BCD
【解析】
由图知
，点
的纵坐标为
，把点
代入
中，可得：
，因
，解得：
，则
.
由
,点
的纵坐标为
，把点
代入
中，可得：
，
17
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因
，解得：
，
于是
，
,故A 项错误；
又
，
,点
的纵坐标为
，把点
代
入
中，可得：
，
因
，解得：
，故B 项正确；
由上分析可知，当
时，由点
代入
中，可得：
，即得：
，
即
组成公差为4 的等差数列，故C 项正确；
由上分析可知，
，因
，因
，则
，则
，
，于是
，故D 项正确.
故选：BCD.
11．（2024·浙江温州·高三统考期末）已知数列
满足
，
，若
，
，
，则
的值可能为（ ）
A．－1
B．2
C．
D．－2
【答案】BCD
【解析】A：当
时，
，
得
，
所以数列
是以3 为周期的周期数列，则
，不符合题意，故A 错误；
B：当
时，
，
得
，
所以
，符合题意，故B 正确；
C：当
时，
，
得
，
18
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所以
，符合题意，故C 正确；
D：当
时，
，
得
，
所以
，符合题意，故D 正确.
故选：BCD
12．（2024·全国·统考模拟预测）已知数列
满足
，
，且
，记数列
的前n
项和为
，前n 项积为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
，使得
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】数列
满足
，
，若
，则
，
而
，所以
，
下证：
.
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上减函数，在
上为增函数，
故
即
，
故
即
，故不等式
成立.
下面讨论原问题.
由题设有
，即
，
所以
且单调递减，
我们用数学归纳法证明：
，
当
时，
，此时不等式成立；
设当
时，
，
19
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则当
时，
，
故
，
由数学归纳法可得
成立.
对于A，则
，
故当
时，
，故A 成立，
对于B，当
时，
，故
，
而
，故
对任意的
恒成立，故B 成立.
对于C，
，
但
，故等号不成立，故
成立，故C 成立.
对于D，由题设可得
，
因为
，故
，而
，
故
，所以
，所以
，
而
，即
，
因为
，故
，故
，
而
，
而
，故
即
，故
，
故
即
，
因为
，故
，
，故
即
，故
，
20
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所以
，
而
，故
，故D 错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．（2024·江西·高三校联考期末）在1，3 中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3 为数列
1，3 的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3 为数列1，3 的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，
，
，…，
，3 为数列1，3 的第n 次扩展数列，令
，则数列
的通
项公式为 .
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
是以
为首项，3 为公比的等比数列，
所以
，所以
.
故答案为：
14．（2024·北京·高三统考竞赛）整数列
，
，
，对
有
，
为固定正整
数，求使
成立的
的个数
【答案】2
【解析】①设
，则
，
若
，则由
可得
，
故对任意正整数
，
，这与
项矛盾，所以
.
②设
（
），则
，
，
，
，
，
，
因此整个数列
是以6 为周期的循环数列.
因此
，
21
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设
是整数（
，
都是正整数），则
，
因此
只可能是1 或2，对应的
也只有2 个，即2024 与1012.
故答案为：2.
15．（2024·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试）函数
的最小值是
，数列
满足
，
，则数列
的通项公式是 ．
【答案】
【解析】因为函数
的最小值是
，
所以当
时，
，解得
.
所以
，
因为
，所以
，
因为
，又
，所以
，所以
.
所以
，
两边同时取对数可得：
，
所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列.
所以
，即
.
故答案为：
.
16．（2024·全国·高三专题练习）已知
是各项均为正实数的数列
的前n 项和，
，若
，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，
又因为
是各项均为正实数的数列，
所以
，即数列
是以1 为首项，3 为公比的等比数列，
22
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所以
，所以
，
而
，所以
，
即
恒成立，
又
，等号成立当且仅当
，
所以
，即实数m 的取值范围是
.
故答案为：
.
17．（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）项数为
的有限数列
的各项均
为不小于
的整数，满足
，其中
．给出下列四个结论：
①若
，则
；
②若
，则满足条件的数列
有4 个；
③存在
的数列
；
④所有满足条件的数列
中，首项相同．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【解析】因为有限数列
的各项均不小于
的整数，
所以
，
，
，
又因为
，
所以
，
所以
，且
，
为整数，
所以
，所以③错误，④正确；
当
时，得
，所以
，则
，所以
，故①错误；
当
时，得
，
又因为
，
所以
，则
，
所以
，
为整数，
则
的可能取值为
，0，1，2，对应的
的取值为6，4，2，0，
故数列
可能为
，
，6；
，0，4；
，1，2；
，2，0，共4 个，故②正确．
23
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故答案为：②④．
18．（2024·全国·模拟预测）已知数列
前
项和为
，且
，则
.
【答案】
【解析】
，
，
.
故答案为：
.
19．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知数列
满足
，则
，
.
【答案】
3
【解析】由题意得
，则数列
为首项为1，公差为3 的等差数列，
所以
，得
，则
；
由
，得
，即
，
所以
.
故答案为：
；3
20．（2024·全国·高三专题练习）已知数列
，对
都有
，且
，则
.
【答案】
【解析】令
，可得
，
故
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，则
，故
，
，
，
，
24
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故
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
设
前
项和为
，则
.
故答案为：
21．（2024·江苏·高三统考期末）若数列
满足
，
（
），则
.
【答案】3268
【解析】由题意可得
，作差得
，
故
，
故答案为：3268
四、解答题
22．（2024·北京·高三清华附中校考阶段练习）若无穷数列
的各项均为整数．且对于
，
，
都存在
，使得
，则称数列
满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，
，2，3，…；
②
，
，2，3，…．
(2)若数列
满足性质P，且
，求证：集合
为无限集；
(3)若周期数列
满足性质P，求数列
的通项公式．
【解析】（1）对①，取
，对
，则
，
可得
，
显然不存在
，使得
，
所以数列
不满足性质P；
对②，对于
，则
，
，
故
，因为
，
则
，且
，
所以存在
，
，
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使得
，
故数列
满足性质P；
（2）若数列
满足性质
，且
，则有：
取
，均存在
，使得
，
取
，均存在
，使得
，
取
，均存在
，使得
，
故数列
中存在
，使得
，即
，
反证：假设
为有限集，其元素由小到大依次为
，
取
，均存在
，使得
，
取
，均存在
，使得
，
取
，均存在
，使得
，
即
这与假设相矛盾，故集合
为无限集.
（3）设周期数列
的周期为
，则对
，均有
，
设周期数列
的最大项为
，最小项为
，
即对
，均有
，
若数列
满足性质
：
反证：假设
时，取
，则
，使得
，
则
，即
，
这对
，均有
矛盾，假设不成立；则对
，均有
；
反证：假设
时，取
，则
，使得
，
这与对
，均有
矛盾，假设不成立，即对
，均有
；
综上所述：对
，均有
，
反证：假设1 为数列
中的项，由（2）可得：
为数列
中的项，
∵
，即
为数列
中的项，
这与对
，均有
相矛盾，即对
，均有
，同理可证：
，
∵
，则
，
当
时，即数列
为常数列时，设
，故对
，都存在
，
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使得
，解得
或
，即
或
符合题意；
当
时，即数列
至少有两个不同项，则有：
①当
为数列
中的项，则
，即
为数列
中的项，但
，不成立；
②当
为数列
中的项，则
，即
为数列
中的项，但
，不成立；
③当
为数列
中的项，则
，即为数列
中的项，但
，不成立；
综上所述：
或
.
23．（2024·广东广州·统考二模）已知数列
中，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记
为
的前
项和，证明：
时，
.
【解析】（1）因为
，
所以
，
作差可得
，变形为
，即
，即
，化简为
，
因为
，所以
，
因为
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）因为
，
所以
，
，
作差可得
，
所以
，
，
设
，则
在给定区间上递减，又
故
在
是减函数，
，
所以当
时，
.
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24．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知
是公差不为0 的等差数列，
，且
成等比数列，
数列
，数列
的前
项和
.
(1)求
(2)求
【解析】（1）因为
成等比数列，所以
，
设等差数列
的公差为
，
，所以
，
解得
，
，
，
对上式两边同时除以
得:
，即
，
数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
故
，即
；
（2）当
为偶数时，
,
当
为奇数时，
,
故
.
25．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列
满足:
且
.
(1)判断数列
是否为等比数列，并求出
的通项公式；
(2)将数列
中满足不等式
的项数记为
，求数列
的前
项和
.
【解析】（1）因为
，故
，
而
，则
，即
首项为0，
故数列
不为等比数列，
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则由
，结合
，
知
为各项为0 的常数列，
故
；
（2）令
，即
，
则
，则
，
故
.
26．（2024·福建·高三校联考开学考试）已知正项数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前n 项和
，求满足
的正整数n 的集合．
【解析】（1）由
，有
，
即
，
因为数列
是正项数列，
所以
，即
，
可得数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
，
故数列
的通项公式为
；
（2）由（1）可得
．
所以
，
故不等式
可化为
，解得
，
所以满足
的正整数n 的集合为
.
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