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实战演练 11 递推、累加、累乘、构造法求数列通项公式
①递推法
②累加法
③累乘法
④构造法
一、公式递推法：
n S
若 已 知 数 列 的 前 项 和 n与 的 关 系 ， 求 数 列 的 通 项 可 用 公 式
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 和
合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
二、累加法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
三、累乘法：形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
四、构造数列法：
（一）形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式：
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定
系数法）得 ，即 构成
以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为首
项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如 型的递推式：
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，
以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理
可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以
得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在转化为
类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转化为
类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 ．
五、倒数变换法：
形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为 形式，化
归为 型求出 的表达式，再求 ；
还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为
型求出 的表达式，再求 ．
六、形如 型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数得
，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用
归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式①递推法
一、填空题
1．（23-24高二下·北京·期中）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为
．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的通项公式
为
3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 通项公
式 ．
4．（23-24高二上·福建福州·期末）设数列 的前 项和为 .已知 ，数列
的通项公式 .
5．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则
6．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）设数列 的前n项和为 ， ， ，则
.
7．（2024 高三下·全国·专题练习）数列 满足 ，则
．
8．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列 满足 ，设数列 的前 项
和为 ，则满足 的实数 的最小值为 ．
②累加法
一、填空题
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列 中， ，则 ．
2．（2024·广东江门·模拟预测）若数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，则
．
3．（23-24高二下·四川成都·期中）数列 满足 ， （ ），则 （用
数字作答）．4．（23-24高一下·上海·期末）在数列 中，已知 ，且 ，则 ．
5．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列 中， ，且 ，则
.
6．（23-24高二下·辽宁·期中）在首项为1的数列 中 ，则
③累乘法
一、填空题
1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列 满足： 且 ，则数列
的通项公式为 ．
2．（2023高二·全国·专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的通项公式为
．
3．（2023高三·全国·专题练习）若 ，则通项公式 .
4．（2024·四川泸州·三模）已知 是数列 的前 项和， ， ，则 .
5．（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列{a )的前 项和为 且满足 ，则数列{a )的
n n
通项公式为 ．
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知数列 ，则数列
的通项为
④构造法
一、填空题
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数{a )满足 ，则数列{a )的通项公式
n n
．
2．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列{a )的递推公式为 且 ，则数列{a )
n n
的前n项和 =3．（23-24高一下·上海·期末）数列 满足 ，则数列 的通项公式为
.
4．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列{a )的首项为 ，且满足 ，则
n
．
5．（22-23高二下·全国·单元测试）已知数列 满足 ， ， ，则 .
6．（23-24高二下·河南·期中）数列 中，若 ， ，则 ．
7．（23-24高三下·四川·期末）若数列 的前n项和为 ， ， ，则数列
的通项公式为 ．
8．（23-24高三下·广东·阶段练习）在数列 中， ，且 ，则 的通项公
式为 ．
