2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------
教考衔接七 数 列
--------------■高考命题·解读■-----------------
考点
2025 年考情
考点1.等差数列定义的判断
2023 新课标 I 卷
考点2.等差数列前 n 项和基本量的计算
2025 全国二卷；2024 新课标 II 卷；
2023 全国甲卷；2022 全国乙卷
考点3.等差数列性质的应用
2024 全国甲卷
考点4.等比数列基本量的计算
2023 全国乙卷
考点5.等比数列前 n 项和基本量的计算
2025 全国一卷；2025 全国二卷；
2023 全国甲卷；2022 全国乙卷
考点6.等比数列前 n 项和的性质
2023 新课标 II 卷；2021 全国甲卷
考点7.分组求和法
2024 全国甲卷；2023 新课标 II 卷；
2021 新高考全国 I 卷
考点8.裂项相消法求和
2022 新高考全国 I 卷
考点9.错位相减法求和
2025 全国一卷；2024 全国甲卷；
2023 全国甲卷；2021 全国乙卷
🎯【命题解读】（考前必看）
1.本章高考试题难度以中档为主，题型一般为一小(选择题或填空题)一大(解答题)
（1）在高考试题中多以等差数列、等比数列的基本量运算为载体，以数列递推关系形式出现，考
查数列求和及数列最值等综合问题.
（2）在处理等差、等比数列基本量运算，递推关系求通项，数列求和等问题时，常用公式法.
（3）重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.
2.主要是以下几个方面：
（1）以等差、等比数列基本量的运算为载体，考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式
的求解与应用；
（2）考查数列求和的综合问题，涉及数列的最值及解决方法；
（3）考查数学文化、实际应用为背景的数列问题.
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】(人教A 版选择性必修第二册P24 习题4.2·T1)根据下列等差数列{an}中的已知量,求相应的未知
量:
（1）a1=20,an=54,Sn=999,求d 及n； （2）d=1
3,n=37,Sn=629,求a1及an;
（3）a1=5
6 ,d=-1
6,Sn=-5,求n 及an; （4）d=2,n=15,an=-10,求a1及Sn.
【🚀衔接高考】
（1）（2025·全国二卷）记
为等差数列
的前n 项和，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n 项和,已知S5=S10,a5=1,则a1=( )
A.7
2 B.7
3 C.-1
3 D.- 7
11
（3）(2023·全国甲卷) （一题多解）记Sn为等差数列{an}的前n 项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )
A.25 B.22 C.20 D.15
（4）（2025·上海高考）已知等差数列
的首项
，公差
，则该数列的前6 项和为 ．
（5）(2024·新高考Ⅱ卷)（一题多解）记Sn为等差数列{an}的前n 项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10= .
（6）(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n 项和.若2S3=3S2+6,则公差d= .
【🚀新题预测】
（高考新题型：项目式）（2026·北京1 月模拟）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退
休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4 个月延迟1 个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六
十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
出生时间
1965 年1 月－4 月
1965 年5 月－8 月
1965 年9 月－12 月
1966 年1 月－4 月
…
新方案法定
退休年龄
60 岁
1 个月
60 岁
2 个月
60 岁
3 个月
60 岁
4 个月
…
那么1970 年5 月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．61 岁
4 个月 B．61 岁
5 个月 C．61 岁
6 个月 D．61 岁
7 个月
【教材母题2】 (人教B 版选择性必修第三册P25 例3)已知数列{an}的前n 项和公式为Sn=2n2-30n.
（1）求出数列的通项公式,并判断这个数列是否是等差数列;
（2）求Sn的最小值,并求Sn取得最小值时n 的值.
【🚀衔接高考】
（1）（2025·天津高考）
，则数列
的前
项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
（2）(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n 项和.已知2Sn
n +n=2an+1.
①证明:{an}是等差数列;
②若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
【教材母题3】
（1）(人教A 版选择性必修第二册P24·T4)求集合M={m|m=2n-1,n∈N*,且m<60}中元素的个数，并求这些元素
的和.
（2） (人教B 版选择性必修第三册P28 习题5-2A·T4)求集合{m|m=7n,n∈N,0<m<100}的元素的个数,并求所有
元素的和.
【🚀衔接高考】
(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列,{bn}是公比为2 的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.
（1）证明:a1=b1;
（2）求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数.
【教材母题4】 (人教A 版选择性必修第二册P25T7)已知Sn是等差数列{an}的前n 项和.
（1）证明:{
Sn
n }是等差数列;
（2）设Tn为数列{
Sn
n }的前n 项和,若S4=12,S8=40,求Tn.
【🚀衔接高考】
(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=n
2+n
an
,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n 项和.
（1）若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
（2）若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
【教材母题5】(人教B 版选择性必修第三册P59·T7)已知{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,求S8的值.
【🚀衔接高考】
(2020·全国Ⅰ卷) （一题多解）数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16 项和为540,则a1= . .
【教材母题6】
（1）(人教A 版选择性必修第二册P29·例1) （一题多解）若等比数列{an}的第4 项和第6 项分别为48 和12,
求{an}的第5 项.
（2）(人教A 版选择性必修第二册P37·T3)设等比数列{an}的前n 项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
【🚀衔接高考】
（1）(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数,前n 项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=( )
A.15
8 B.65
8 C.15 D.40
（2）(2022·全国乙卷) （一题多解）已知等比数列{an}的前3 项和为168,a2-a5=42,则a6=( )
A.14 B.12 C.6 D.3
（3）(2020·全国Ⅱ卷)（一题多解）记Sn为等比数列{an}的前n 项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则Sn
an
=( )
A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1
（4）（多选）（2025·全国二卷）记
为等比数列
的前n 项和，为
的公比，
若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
（5）(2023·全国乙卷)（一题多解）已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7= .
【教材母题7】 (湘教版选择性必修第一册P35·T4(2))已知数列{an}为等比数列,若a2+a6+a10=12,a3+a7+a11=9,求
a1+a5+a9的值.
【🚀衔接高考】
(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=( )
A.12 B.24 C.30 D.32
【教材母题8】 (北师大版选择性必修第二册P27T2)将公比为q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的
数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列( )
A.是公比为q 的等比数列
B.是公比为q2的等比数列
C.是公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
【🚀衔接高考】
(2020·新高考Ⅱ卷)已知公比大于1 的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
（1）求{an}的通项公式;
（2）求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.
【教材母题9】(人教A 版选择性必修第二册P38·例10)如图,正方形ABCD 的边长为5 cm,取正方形ABCD 各边
的中点E,F,G,H,作第2 个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH 各边的中点I,J,K,L,作第3 个正方形IJKL,依此方法
一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD 开始,连续10 个正方形的面积之和;
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?
【🚀衔接高考】
(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20
dm×12 dm 的长方形纸,对折1 次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm 两种规格的图形,它们的面积之和S1=240
dm2,对折2 次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm 三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此
类推,则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n 次,那么
n
∑
k=1
Sk= dm2.
【教材母题10】(北师大版选择性必修第二册P46T3)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢
二进一”.如(1101)2表示二进制的数,将它转换成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数
11…1
⏟
16位
转换成十进制数的形式是( )
A.217-2 B.216-1 C.216-2 D.215-1
【🚀衔接高考】
(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+…+ak,则( )
A.ω(2n)=ω(n)
B.ω(2n+3)=ω(n)+1
C.ω(8n+5)=ω(4n+3)
D.ω(2n-1)=n
【教材母题11】 (苏教版选择性必修第一册P181T11)
（1）利用等式
1
n(n+1)=1
n- 1
n+1,求数列an=
1
n(n+1)的前n 项和;
（2）仿(1)探求数列an=
1
n(n+2)的前n 项和.
【🚀衔接高考】
(2022·新高考Ⅰ卷) （一题多解）记Sn为数列{an}的前n 项和,已知a1=1,{
Sn
an}是公差为1
3的等差数列.
（1）求{an}的通项公式;
（2）证明: 1
a1
+ 1
a2
+…+ 1
an
<2.
【教材母题12】(湘教版选择性必修第一册P52T17)若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,
求Sn.
【🚀衔接高考】
(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n 项和,已知a2=11,S10=40.
（1）求{an}的通项公式;
（2）求数列{|an|}的前n 项和Tn.
【教材母题13】 (苏教版选择性必修第一册P183T2)在数列{an}中,若an={
2n+1,n 为奇数,
2
n,n 为偶数,
则a4+a5的值为
.
【🚀衔接高考】
（1）(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列,bn={
an-6,n 为奇数,
2an,n 为偶数. 记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n 项和,
S4=32,T3=16.
①求{an}的通项公式;
②证明:当n>5 时,Tn>Sn.
（2）(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1={
an+1,n 为奇数,
an+2,n 为偶数.
①记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
②求{an}的前20 项和.
【🚀新题预测】
（2026·河北承德1 月检测）在数列
中，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读】通过阅读《阅读与思考——斐波那契数列》(人教A 版选择性必修第二册P10)
1202 年，意大利数学家斐波那契(Fibonacci)在《算盘书》中提到下面的问题：
如果1 对兔子每月能生1 对小兔子(一雄一雌)，而每1 对小兔子在它出生后的第3 个月里，又能生1 对小兔
子，假定在不发生死亡的情况下，由1 对初生的小兔子开始，50 个月后会有多少对兔子？
即从第1 个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….
如果用Fn表示第n 个月的兔子的总对数，则Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＞2). 这是由递推公式给出的数列，称为斐波那契
数列，也称兔子数列，通常用数列{Fn}表示．可得出如下结论：
（1）面积关系图与黄金螺旋线
（2）F＋F＋…＋F＝FnFn＋1
（3）数列{Fn}的通项公式：Fn＝[()n－()n]
（4）数列{Fn}的前n 项和：Sn＝Fn＋2－1
【教材母题1】（人教A 版选择性必修第二册P6 例5 改编）已知数列{an}的首项为a1＝1，递推公式为an＝1＋
(n≥2)，写出这个数列的前5 项，并猜想数列{an}的通项公式．
【🚀衔接高考】
（2024·新高考I卷）已知函数
的定义域为R,
,且当
时,
,则下列结论
一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【🚀新题预测】
（1）观察下列各式：
，
，
，
，
，…，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）一只蜜蜂从蜂房A 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房A 只能爬到1 号
或2 号蜂房，从1 号蜂房只能爬到2 号或3 号蜂房……以此类推,用
表示蜜蜂爬到n 号蜂房的方法数,则
（ ）
A. B.
C.
D.
（3）满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)的数列{an}称为斐波那契数列，又称黄金分割数列．依次以斐波那契
数列{an}各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形的边长，圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧
端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线(也称“黄金螺旋线”).如图，圆心角为90°的扇形OAB 中的曲线是斐波
那契螺旋线的一段，则阴影部分面积与扇形OAB 面积的比值为( )
A． B． C． D．
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】 (人教A 版选择性必修第二册P25T10)已知等差数列{an}的公差为d,求证am-an
m-n =d.你能从直线的斜率
角度来解释这个结果吗?
【探究2】 (人教A 版选择性必修第二册P22)已知数列{an}的前n 项和为Sn=pn2+qn+r,其中p,q,r 为常数,且p≠0.观
察数列{an}的特点,研究它是一个怎样的数列,并证明你的结论.
【探究3】 (人教A 版选择性必修第二册P24)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,若a1=10,当d=-3.5 时,Sn有最大
值吗?考虑更一般的等差数列前n 项和的最大值问题.
【探究4】 (人教A 版选择性必修第二册P32)已知b>0 且b≠1,如果数列{an}是等差数列,那么数列{b
an}是否一定
是等比数列?如果数列{an}是各项均为正的等比数列,那么数列{logban}是否一定是等差数列?
【探究5】片段和公式
（1）(人教A 版选择性必修第二册P23·T3)若Sn为等差数列{an}的前n 项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,是等差数
列,其公差为m2d.
（2）(人教A 版选择性必修第二册P37·例9)
若Sn为等比数列{an}的前n 项和,当q≠-1,或q=-1 且m 为奇数时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等比数列,其公比为qm.
【🚀衔接高考】
（1）(2023·新高考Ⅱ卷) （一题多解）记Sn为等比数列{an}的前n 项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=( )
A.120 B.85
C.-85 D.-120
（2）(2021·全国甲卷) （一题多解）记Sn为等比数列{an}的前n 项和.若S2=4,S4=6,则S6=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
（3）(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为
天心石),环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9 块.下一层的第一环比上一层的最后一环
多9 块.向外每环依次也增加9 块.已知每层环数相同,且下层比中层多729 块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)
( )
A.3 699 块 B.3 474 块 C.3 402 块 D.3 339 块
（4）（2025·全国一卷）（一题多解）若一个等比数列的各项均为正数，且前4 项和为4，前8 项和为68，则该
等比数列的公比为 .
【探究6】等差数列的奇偶项和的性质
(人教A 版选择性必修第二册P23T5,苏教版选择性必修第一册P154T8 拓展)
（1）若非零等差数列{an}的项数为2n,则S 偶-S 奇=nd,S偶
S奇
=an+1
an
.
（2）若等差数列{an}的项数为2n+1,则S 偶-S 奇=-an+1,S偶
S奇
= n
n+1.
【探究7】等比数列的奇偶项和的性质
(苏教版选择性必修第一册P169T8 拓展)
（1）若等比数列{an}的项数为2n,则S偶
S奇
=q.
（2）若等比数列{an}的项数为2n+1,则S奇-a1
S偶
=q,
S偶
S奇-a2n+1
=q.
【🚀新题预测】
（1）(2026·重庆模拟)已知等差数列{an}的前30 项中奇数项的和为A,偶数项的和为B,且B-A=45,2A=B+615,则
an=( )
A.3n-2 B.3n-1 C.3n+1 D.3n+2
（2）(2026·山东淄博模拟)已知等比数列{an}共有2n+1 项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则
公比q= .
【探究8】堆垛术(人教A 版选择性必修第二册P26·T12)
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有
1 个球,第二层有3 个球,第三层有6 个球……设各层球数构成一个数列{an}.
（1）写出数列{an}的一个递推公式;
（2）根据(1)中的递推公式,写出数列{an}的一个通项公式.
【探究9】角谷猜想(人教A 版选择性必修第二册P56·T10)
任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3 再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次
步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6,
根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过8 个步骤变成1(简称为8 步“雹程”).
现给出冰雹猜想的递推关系如下:
已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1={
an
2 ,当an 为偶数时,
3an+1,当an 为奇数时,
（1）当m=17 时,试确定使得an=1 需要多少步雹程;
（2）若a8=1,求m 所有可能的取值集合M.
【🚀新题预测】
(多选)(2026·山西太原模拟)数学中有个著名的“角谷猜想”,其中数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1=
{
an
2 ,当an 为偶数时,
3an+1,当an 为奇数时,
则( )
A.m=5 时,a6=1
B.m=5 时,在所有an的值组成的集合中,任选2 个数都是偶数的概率为2
5
C.a5=4 时,m 的所有可能取值组成的集合为M={8,10,64}
D.若所有an的值组成的集合有5 个元素,则m=16
