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数列求和
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】利用公式法求和
【题型二】奇偶并项（分组）求和
【题型三】 列项相消求和
【题型四】错位相减法求和
【题型五】数列新定义
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：求和时项数，化简易错
：以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上．通项主要考查等差数列
和等比数列的通项公式，常结合递推关系求解通项。求和重点考查等差数列和等比数列的前
项和公式，
以及错位相减法、裂项相消法等求和方法．
：熟练掌握数列求和的几种常规方法，等差等比数列混合的时候弄清楚等差与等比数列的项
数；数列与新定义结合的时候深刻理解新定义的定义是什么以及考察的知识点
【题型一】利用公式法求和
【例1】已知数列
中，
．
(1)求数列
的前5 项；
(2)若等差数列
满足
，求
的前n 项和
．
【例2】已知等差数列
和等比数列
都是递增数列，且
，
，
.
(1)求
，
的通项公式：
(2)求数列
的前
项和
.
（1）等差数列
的前n 项和
，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列
的前n 项和
，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）常用公式：
** 错误的表达式 **平方和公式：
；
** 错误的表达式 **立方和公式：
．
（4）如果一个数列通过适当分组可写成
的形式，而数列
，
可利用公式求和或可转化
能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和．
【变式1】记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．16
B．18
C．23
D．25
【变式2】已知等比数列
的公比
，
，
．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【变式3】已知数列
为等差数列，首项
，公差
．
(1)若
，证明：
是等比数列；
(2)若
，设数列
的前
项和为
，求满足
的
的最小值．
(3)若
，求数列
的前
项和
；
【题型二】奇偶并项（分组）求和
【例1】已知数列
的前
项和为
，且
，
，则
的值为（ ）
A．360
B．480
C．960
D．1280
【例2】已知数列
满足
，
记
．
(1)证明：数列
是等差数列．
(2)求
的通项公式．
(3)求
的前20 项和．
1、常见类型
（1）通项含有
或
或
或
；
（2）
型；
（3）
型；
（4）
．
2、注意事项：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”；
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇.若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公
式，再加上最后的奇数项通项;若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可；
③并项后要注意新数列的项数．
【变式1】已知数列
满足
，且
，该数列前20 项和
．
【变式2】已知数列
的前
项和
，数列
是正项等比数列，满足
，
.
(1)求
，
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求
.
【变式3】已知等比数列
是递减数列，
的前
项和为
，且
、
、
成等差数列，
，数列
满足
，
，
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【题型三】 列项相消求和
【例1】已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)设
，
为数列
的前n 项和，证明：
.
【例2】已知
为等差数列，前
项和为
，
是首项为
且公比大于
的等比数列，
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)若数列
满足：
，且数列
的前
项和为
，求证：
．
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项
相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1）
1
1 1
1
(
)
(
)
n n
k
k n
n
k （2）
2
1
1
1
1
(
)
4
1
2 2
1
2
1
n
n
n
（3）
1
1
1
1
(
1)(
2)
2
(
1)
(
1)(
2)
n n
n
n n
n
n
（4）
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1)
(
(
)
n
n
n
n
n
（5）
2
2
2
2
1
1
1
1
2)
4
2)
(
(
n
n
n
n
n
（6）
1
1 (
)
n
k
n
k
n
k
n
【变式1】记数列
的前
项和为
，已知
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前
项和
.
【题型四】错位相减法求和
【例1】已知等比数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前
项和
．
1、解题步骤
2、注意解题“3 关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达
式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1 和q≠1 两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令cn=(An +B)⋅qn
，可以用错位相减法．
T n=( A+B)q+(2 A+B)q2+(3 A+B)q3+...+(An+B)qn
①
qT n=( A+B)q2+(2 A+B)q3+(3 A+B)q4+...+(An+B)qn+1
②
得：
．
整理得：T n=( An
q−1+ B
q−1−
A
(q−1)2 )qn+1−( B
q−1−
A
(q−1)2 )q．
【变式1】已知数列
满足
．
(1)求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【变式2】已知等差数列
的前
项和为
，公差
，且
，
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
是首项为1，公比为3 的等比数列，
①求数列
的前
项和
；
②若不等式
对一切
恒成立，求实数
的最大值．
【题型五】数列新定义
【例1】已知函数
．数列
的首项
．以后各项按如下方式取定：记曲线
在
处的切线为
，若
，则记
与
轴交点的横坐标是
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【例2】若数列
满足
，则称
为“对奇数列”．已知
为“对奇数列”，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】若数列
的各项均为正数，且
，都有
，则称数列
具有“
性质”，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则数列
具有“
性质”
B．若
，则数列
具有“
性质”
C．具有“
性质”的数列
的前
项和为
D．具有“
性质”的数列
的前
项和为
【变式2】对于数列
，若存在常数
满足
，则称
为“上界数列”，
为
的“上界”，
并把最小的
值叫做“上界临界值”，记为
．记数列
的前
项和为
，已知
，
．
(1)判断
是否为“上界数列”，并说明理由；
(2)若
，
为数列
的前
项和，求数列
的“上界临界值”
；
(3)若
，数列
的“上界临界值”为
，证明：
．
易错点：等差等比项数混淆
解题技巧：熟练掌握等差等比项数统计方法
例1．在数1 和100 之间插入n 个实数，使得这
个数构成递增的等比数列，将这
个数的乘积记作
，再令
.则数列
的通项公式为 .
变式1．已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)设
是等比数列，且对任意的
，当
时，则
，
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）求
的通项公式及前
项和．
变式2．已知数列
是等差数列，其前
和为
，
，数列
满足
(1)求数列
，
的通项公式;
(2)若对数列
，
， 在
与
之间插入
个2（
），组成一个新数列
，求数列
的
前2023 项的和
.
