专项02 数列及求和
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026 年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，等差数列、等比数列与数列求和是必考主干，分值约10-22 分．
命题趋势：
解答题：稳定考查数列（常为第15 题或16 题），通常情况下与解三角形解答题二选一，一般考查内容
是等差等比数列性质的简单应用，求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组
求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识
以及自主学习能力问题.
2026 年预测：解答题极可能仍为数列常规题．
备考核心：熟记等差（等比）数列的通项公式、求和公式和性质，解答题强化“求数列通项及求和”综
合训练，小题提升转化与化归能力．
题型01 数列通项及分组求和
析典例·建模型
1．（2026·陕西商洛·二模）已知等差数列
na
满足
3
4
3
4
a
a
=
=
，
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
n
n
a
b
+
是首项为2，公比为3 的等比数列，求数列
nb
的前n 项和．
研考点·通技法
通项求解：优先观察型（等差、等比、周期）；递推型用累加法、累乘法、构造法（如an+1=pan+q）；
Sn 与an 混用必用
1
1
,
1,
.
2,
n
n
n
S n
a
S
S
n
-
=
ì
= í
-
³
î
，勿忘验证首项.
分组求和：识别通项可拆为等差、等比、常数、奇偶项等结构，按类型拆分数列.分别对各组用对应求
和公式（等差、等比求和），再合并结果。注意项数统计、下标换算与符号，尤其奇偶分组时项数要准
确.
核心：先拆通项结构，再分组套公式，严谨核对项数与首末项.
破类题·提能力
1．（25-26 高三下·上海·月考）已知数列
na
满足
1
1
1,
3
4
2,
n
n
a
a
a
n
n
-
=
=
+
³
ÎN ．
(1)求证：数列
2
na +
是等比数列；
(2)若
2
n
n
b
a
n
=
+
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
2．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列
na
是等差数列，且
1
1
a = ，
3
4
2
3
a
a
=
+
，数列
nb
满足
1
3
b =
，
1
3
n
n
n
b
b
a
+ =
+
.
(1)求
na
的通项公式，并证明数列
nb
n
+
是等比数列；
(2)若数列
nc
满足
n
n
n
c
a
b
=
+
，求
nc
的前n 项和
nT .
题型02 数列通项及裂项求和
析典例·建模型
1．（25-26 高三上·河北石家庄·期末）在正项数列
na
中，
1
4
a =
，
1
4
4
n
n
n
a
a
a
+ -
=
+
.
(1)证明：数列
na
是等差数列；
(2)记
1
1
n
n
b
a
=
- ，设数列
nb
的前n 项和为
n
S ，求满足
10
21
n
S >
的最小整数n .
2．（2026·河北保定·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
+ -
=
+
.
(1)求
n
S
(2)若
1
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a +
+
= -
，求数列
nb
的前n 项和.
研考点·通技法
一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的
前n 项和．常见的“裂项”结论有：
(1)
1
1
1
1
1
+
-
=
+
n
n
n
n
+
-
-
=
+
-
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
Î
-
+
=
+
+
N
n
n
n
n
n
1
1
1
(2)形如
2
,
1
1
1
³
Î
-
-
+
a
N
a
a
a
a
n
n
n
当
Î N
a
，
2
³
a
时，易知
-
-
-
-
=
-
-
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
(3)形如
0
,2
,
1
1
1
>
³
Î
+
+
-
-
-
b
a
N
a
b
a
b
a
a
a
n
n
n
当
Î N
a
，
2
³
a
时，易知
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
n
n
n
n
n
+
-
+
=
+
+
-
-
-
-
1
1
1
1
1
1
(4)形如
2
,
1
1
2
1
2
³
Î
+
-
-
+
a
N
a
n
n
n
n
a
a n
当
Î N
a
，
2
³
a
时，易知
n
a
n
a
n
n
n
n
a
a
n
n
n
1
2
3
2
2
1
2
1
1
1
+
+
+
-
+
=
+
-
-
(5)形如
2
,
1
1
1
³
Î
+
+
-
+
a
N
a
a
n
n
a
n
a
n
当
Î N
a
，
2
³
a
时，易知
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
-
=
+
+
-
n
n
n
a
n
na
a
n
n
a
n
a
破类题·提能力
1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
na
前n 项的积为
2
1
3
n
nT
-
=
.
(1)判断
1
1
1
1
1
1
1
，
，
n
n
n
a
a
a
+
-
-
+
是否成等差数列，并给出证明；
(2)令
1
1
1
1
n
n
n
b
a
a
=
-
+
-
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ，
2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
na
满足
1
2
3,
8
a
a
=
=
，且对任意的正整数n ，当
2
n ³
时，都有
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+
-
+
=
+
．
(1)证明：数列
2
na
n
-
是等差数列；
(2)设
1
2
3
n
n
n
n
b
a a +
+
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
3．（2026·云南·模拟预测）已知函数
1
x
f x
a
=
- （
0
a >
且
1
a ¹ ）的图象经过点
1,2 ，记数列
na
的前n
项和为
n
S ，且
n
S
f n
=
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
1
3
1
1
n
n
n
n
b
a
a
-
+
=
+
+
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：1
1
21
12
nT
£
<
．
题型03 数列通项及错位相减求和
析典例·建模型
1．（25-26 高三上·吉林·期中）已知数列{
}
na
的前n 项和
n
S ，
1
*
1
2
2
n
n
n
S
a
n
-
-
+
= -
Î
N
，数列{ }
nb
满足
2n
n
n
b
a
=
.
(1)求证：数列{ }
nb
是等差数列，并求数列{
}
na
的通项公式；
(2)求数列{
}
n
S
的前n 项和
nT .
研考点·通技法
设
na
是等差数列，
nb
是公比
1
q ¹ 的等比数列，则数列
n
n
a
b
×
的前n 项和
n
S 的常规求法是错位相减
法，取巧可这样做：设
1
n
na
An
B q
q
=
+
¹
，则
n
n
S
xn
y q
y
=
+
-
，其中
1
Aq
x
q
= - -
，
1
1
1
Aq
y
Bq
q
q
= -
+
-
-
.推导过程请参考视频，x、y 的计算公式可不记，记住
n
S 的形式，取
1S 和
2
S 用待定
系数法来算就可以了.
破类题·提能力
1．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
6
3
4
S
S
=
，
4
2
2
1
a
a
=
+ ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)数列
nb
满足
1
2
n
a
nb
=
，求数列
n
n
a b
的前n 项和
nT ．
2．（2026·河南·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
*
2
1
2
,
,
N
n
n
n
n
S
a
a
a
n
+
+
=
-
Î
，且
6
3
4
S
S
=
，
2
2
1
n
n
a
a
=
+ ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)数列
nb
满足
1
2
n
a
nb
=
，求数列
n
n
a b
的前n 项和
nT ．
题型04 数列通项及奇偶项讨论问题
析典例·建模型
1．（2026·黑龙江·一模）数列
na
是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为
n
S ，满足____．数列
nb
满
足
1
2
b =
，且
1
1
n
n
n
n
b
b
a
a
+
+
-
=
．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.
①
1
2
a =
，
3
14
S =
；
②
1
2
a =
，
1
1
a + ，
2a ，
3
3
a - 成等差数列；
③
3
14
S =
，
6
126
S =
；
(1)分别求出数列
na
与
nb
的通项公式；
(2)若数列
nc
满足
,
,
n
n
n
b n
c
a n
ì
= í
î
为奇数
为偶数，求数列
nc
的前10 项和
10
T ．
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
研考点·通技法
核心思路：分奇偶讨论、分别构造通项、合并结果，3 步速解：
1.拆分奇偶项：按下标n 分奇数项与偶数项分组，单独分析递推关系、公差或公比.
2.求分段通项：奇数项、偶数项分别套用等差或等比公式，写出对应k 的表达式.
3.验证合并：核对边界项一致性，整理成分段函数形式；求和时同理，奇项和、偶项和分开计算再累加.
破类题·提能力
1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列
na
满足
1
3
1
2
6,
3
a
a
a a
+
=
=
．数列
nb
的各项均为正数，
1
2
b =
，且
2
1
1
2
2
n
n
n
n
n
b
b b
b
b
+
+
-
+
-
0
=
．
(1)求数列
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)设
1
1
,
1
n
n
n
n
b
n
c
n
a
a
-
+
ì
ïï
= í
ï
ï
×
î
为奇数
，为偶数
，求数列
nc
的前2n 项和
2n
T ．
2．（25-26 高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
nb
是公比大于0 的等比数
列，
3
3
a = ，
3
2
2
S
S
=
，
1
2
b =
，且
2b ，
6a ，
3b 成等差数列.
(1)求数列
na
与
nb
的通项公式；
(2)设
2
,
2
1
6
7
,
2
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
a n
k
a
b
c
n
k
a
a +
=
-
ì
ï
-
= í
=
ï
-
-
î
*
k ÎN
，求
2
1
1
n
i
i
c
+
=å
；
(3)设
1
,
2 ,
1,
2
k
n
n
k
n
a n
d
d
n
-
ì
=
= í
-
¹
î
（k ÎN ），求
2
1
1
n
i
i
d
-
=å
.
题型05 数列证明类问题
析典例·建模型
1．（2026·山西运城·一模）设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
n
S
a
a
=
+
．
(1)求
na
的通项公式;
(2)若
1
2
1
n
n
a
b =
- ，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
2
nT <
．
2．（25-26 高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列
na
满足
1
1
3
a =
，
1
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+ +
+
=
+ ，
*
nÎN .
(1)求数列
na
的通项公式;
(2)证明:对
*
n
" Î¥ ，
1
2
3
2
3
4
1
2
1
24
n
n
n
a a a
a a a
a a
a
+
+
+
+
+
<
L
.
研考点·通技法
核心是抓定义、用递推、巧放缩，分三类突破：
1.等差等比证明：紧扣定义，证相邻项差或比为常数，或用中项性质，优先化简递推式.
2.通项与求和证明：利用累加法、累乘法、Sn 与an 关系推导，代入验证等式成立.
3.不等式证明：常用放缩法（裂项、等比放缩）、数学归纳法、函数单调性，先放缩再求和.
关键步骤：先梳理递推关系，再选对应方法，严谨书写推理过程，注意 n 的取值范围.
破类题·提能力
1．（25-26 高三下·重庆·月考）已知数列
na
满足
*
1
1
0,
3
4
2,
n
n
a
a
a
n
n
-
>
=
+
³
ÎN
.
(1)数列
na
能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；
(2)证明:
1
1
4
4
2
n
n
a
a -
-
£
-
.
2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列
na
满足
1
1
cos
1
cos
n
n
a
a
n
n
+ =
+ +
+
-
，且
1
1
cos1
a = +
．
(1)求
na ；
(2)若
2
1
2
1
2
n
n
a
a
+
-
-
<
，求证：
1
sin
cos
n
n
-
< ；
(3)求2sin 2
4sin 4
6sin 6
180sin180
+
+
+×××+
o
o
o
o 的值．
题型06 数列型定义问题
析典例·建模型
1．（2026·北京平谷·一模）设数阵
11
12
0
21
22
a
a
A
a
a
=
，其中
11
12
21
22
,
,
,
1,2,
,6
a
a
a
a Î
L
．设
1
2
,
,
,
i
S
e e
e
=
Í
L
1,2,
,6
L
，其中
1
2
,
N
i
e
e
e i
<
<
<
Î
L
且
6
i £
．定义变换
k
j 为“对于数阵的每一行，若其中有k 或
k
- ，则将这一行中每个数都乘以1
- ；若其中没有k 且没有k
- ，则这一行中所有数均保持不变
1
2
,
,
,
i
k
e e
e
=
L
．
0
S A
j
表示“将
0
A 经过
1e
j 变换得到
1A ，再将
1A 经过
2e
j 变换得到
2
A ，…，以此类推，
最后将
1
iA - 经过
ie
j 变换得到
iA ”，记数阵
iA 中四个数的和为
0
ST
A
．
(1)若
0
1
2
3
5
A
=
，写出
0
A 经过
3
j 变换后得到的数阵
1A ；
(2)若
0
1
3 ,
1,2,4
4
4
A
S
=
=
，求
0
ST
A
的值；
(3)对任意确定的一个数阵
0
A ，证明：对所有可能的非空子集S ，对应的
0
ST
A
的值的总和不超过
4
- ．
研考点·通技法
定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：
第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，
第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时
可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点.
第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，
一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）.
第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论.
破类题·提能力
1．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列
na
中，记
1
n
n
n
a
a
a
+
=
D
-
，若
na
D
为等差数列，则称
na
为二阶等差
数列．
(1)若
2
4
5
3
na
n
n
=
-
+ ，判断
na
是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列
na
满足
1
0
a =
，
2
1
a = ，
3
3
a = ．
①求数列
na
的通项公式；
②若不等式
1
2n
na
k
-
<
×
对
*
n
" ÎN 恒成立，求实数k 的取值范围．
2．（25-26 高三下·重庆·月考）设有穷数列
na
：
1
2
3
,
,
a a a ，…，
*
2,
na
n
n
³
ÎN
满足
1
0
n
i
i
a
=
=
å
且
1
0
n
i
i
a
t t
=
=
>
å
，则称其为“n 阶
t
- - 数列”．
(1)若“8 阶
4
- -
数列”：
1
2
3
8
,
,
,
,
a a a
a
¼
是递增的等差数列，求
1a ；
(2)设“n 阶
t
- - 数列”满足
1
2
3
n
a
a
a
a
³
³
³
³
L
．
（i）记该“n 阶
t
- - 数列”的前r 项和为
1
rS
r
n
£
£
．证明：数列
1
2
3
:
,
,
,
,
n
n
S
S S S
S
L
不是“n 阶
t
- - 数
列”；
（ii）证明：
1
2
n
n a
a
t
-
³
．
（建议用时：60 分钟）
刷模拟
1．（25-26 高三上·山东临沂·期末）已知等比数列
na
的公比为
0
q q >
且
1
q ¹
，等差数列
nb
的公差为
d ，满足条件：
1
1
1
a
b
=
= ，
3
4
a
b
=
，
4
8
a
b
=
.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a
b
=
-
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
2．（25-26 高三上·河南信阳·期末）设数列
na
是等差数列，
nb
是等比数列.已知
1
1
2
2
b
a
=
=
，
2
2
2
b
a
=
+
，
3
3
2
2
b
a
=
+
.
(1)求
na
和
nb
的通项公式；
(2)设
2
2
1
log
14
n
n
c
b
-
=
-
，求数列
nc
的前n 项的和
nT .
3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列
na
，等差数列
nb
其前n 项和分别为
n
S ，
nT ，
满足
2
2
6
S
T
=
=
，
4
30
S =
，
4
20
T =
.
(1)求
na
，
nb
的通项公式；
(2)将数列
na
与
nb
中的项按从小到大依次排列构成一个新数列
nc
，求数列
nc
的前50 项和
50
H
.
4．（2026·河北保定·一模）已知等差数列
na
满足
1
2
1
+
+
=
+
n
n
a
a
n
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
满足
2
( 1)
2 n
a
n
n
n
b
a
= -
×
+
，求
nb
的前2n 项和
2n
T 及其最小值．
5．（25-26 高三上·贵州黔南·期末）已知数列
na
的首项
1
2
a =
，且满足
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，
*
nÎN .
(1)证明数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是等差数列，并求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
1
2
1
n
n
n
b
a
a
-
+
×
=
，记数列
nb
的前n 项和为
n
S ，证明：
2
n
S <
.
6．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且2
3
4
3
n
n
S
a
n
-
=
- .
(1)证明：
2
na -
是等比数列；
(2)设
2
n
n
b
n a
=
-
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
7．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
2
2
x
f x
x
=
+
.
(1)若数列
na
f n
=
，求数列
na
的前n 项和
n
S ；
(2)已知函数
f x 在
*
(
)
x
n n
=
ÎN
处的切线为直线nl ，直线nl 在y 轴上的截距为
nb ，求数列
nb
的前n
项和
nT .
8．（2026·湖北孝感·二模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若对任意
*
N
nÎ
，向量
4, 2
1
np
n
=
-
-
uur
，
,
n
n
n
q
S a
=
uur
，有
1
n
n
p
q
×
=
uur uur
．数列
nb
满足
1,
3
,
n
n
n
a
n
b
a n
+
ì
= í
î
为奇数
为偶数，其前n 项和为
nT ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
n
n
T
S
n
l
-
>
对任意
*
N
nÎ
恒成立，求实数l 的取值范围．
9．（2026·陕西·模拟预测）已知函数
f x 定义在区间
1,1
-
内，
4
2,
,
1,1
5
f
x y
-
=
"
Î -
时，恒有
1
x
y
f x
f
y
f
xy
+
+
=
+
.
(1)证明：
f x 为奇函数；
(2)若数列
na
满足0
1
na
<
< ，
1
1
2
a =
，
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
+ =
+ .
（i）证明：数列
n
f a
为等比数列，并求出数列
n
f a
的通项公式；
（ii）设
1
2
3
2
3
4
1
n
n
n
b
f a
f a
f a
f a
+
=
+
+
+×××+
，若
( 1)
6
4
n
nb
l
-
+
<
对
*
n
" ÎN 恒成立，求l 的取值
范围.
10．（25-26 高三下·北京·开学考试）已知,n k 为正整数，
4
n ³
，若数列
1
2
,
,
,
n
x x
x
L
同时满足：
① 对任意1
l
n
£ £
，均有
1,2,
,
lx
k
Î
L
；
② 对任意2
1
l
n
£ £
- ，均有
1
1
1
1
0
l
l
l
l
l
l
x
x
x
x
x
x
-
+
+
-
-
-
-
¹
；
③ 对任意1
a
b
c
d
n
£
<
<
<
£
，均有
2
2
0
a
c
b
d
x
x
x
x
-
+
-
¹
，
则称该数列为n
k
Å
数列．
(1)若数列1,2,3, ,p q 是5
4
Å
数列，直接写出p
q
-
的所有可能值；
(2)若数列
1
2
,
,
,
n
x x
x
L
是
4
n Å
数列，求n 的最大值；
(3)若数列
1
2
,
,
,
n
x x
x
L
是n
k
Å
数列，求2k
n
-
的最小值．
刷真题
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列
na
中，
1
3
a =
，
1
1
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
.
(1)证明：数列
n
na
是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数
2
1
2
( )
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
，求
( 2)
f ¢ -
．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
na
为等差数列，
6,
2
,
n
n
n
a
n
b
a n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，记
n
S ，
nT 分别为数列
na
，
nb
的前n 项和，
4
32
S =
，
3
16
T =
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)证明：当
5
n >
时，
n
n
T
S
>
．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
2
1,2
n
n
a
S
na
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
1
2
n
n
a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
nT ．
4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1,
n
n
S
a
a
ì
ü
=
í
ý
î
þ
是公差为1
3 的等差数
列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)证明：
1
2
1
1
1
2
n
a
a
a
+
+
+
<
L
．
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ 是公差不为0 的等差数列，若从中删
去两项
ia 和
ja
i
j
<
后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数
列
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ 是
,i j -可分数列．
(1)写出所有的
,i j ，1
6
i
j
£ <
£
，使数列
1
2
6
,
,...,
a a
a 是
,i j -可分数列；
(2)当
3
m ³
时，证明：数列
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ 是
2,13 - 可分数列；
(3)从1,2,...,4
2
m +
中任取两个数i 和
j i
j
<
，记数列
1
2
4
2
,
,...,
m
a a
a
+ 是
,i j -可分数列的概率为
m
P ，证
明：
1
8
m
P >
．
