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专题05 求递推公式之全题型培优归类
题型1 递推基础：归纳与猜想
归纳推理的核心思维:
先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据
与项数
的关系，猜想数列的通项公式，
最后再证明.
归纳推理的一般步骤:
一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.；
二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的
归纳两类：
（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之
间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
1
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1．（25-26 高三上·湖北·阶段练习）在正整数数列中，由1 开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取1;
第二次取2 个连续的偶数2，4;第三次取3 个连续的奇数5，7，9;第四次取4 个连续的偶数10，12，14，
16;第五次取5 个连续的奇数17，19，21，23，25.按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，
10，12，14，16，17，19，…，则这个数列中的第2025 个数是（ ）
A．3980
B．3982
C．3984
D．3986
2．（23-24 高三吉林长春·阶段练习）分形几何学是在20 世纪70 年代创立的一门新学科，它的创立为解
决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照
，
的分形规律生长成的一个树形图，
则第11 行的实心圆点的个数是（ ）
A．89
B．55
C．34
D．44
3．（2025 高三·全国·专题练习）数列
的前
项和为
，若数列
的各项按如下规律排列：
有如下运算和结论：
①
；
②数列
是等比数列；
③数列
的前
项和为
；
④若存在正整数
，使
，
，则
．
其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．①③④
C．③④
D．②③④
4．（25-26 高三·全国·阶段练习）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一
个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2 倍，则第10 个图形的面积为（ ）
A．1023
B．1024
C．2047
D．2048
题型2 递推基础：累加法
2
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累加法：
1. 型如：
的数列的递推公式，采用累加法求通项；
利用累加法求通项：
数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。
1.“等差”累加法:
2.“等比”累加法:
3.“裂项”累加法:
4.无理根式裂项累加法:
1．（24-25 高二上·湖北孝感·阶段练习）数列
满足：
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
满足
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·河南驻马店·阶段练习）已知首项为0 的数列
满足
，若
，则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
4．（24-25 高三上·重庆·开学考试）已知函数
的定义域为
，值域为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 递推基础：累积法
累乘法：
形如：
的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
3
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利用累乘法求通项：
若在已知数列中相邻两项存在：
的关系，可用“累乘法”求通项.
累积法主要有“分式型”和“指数型”。
分式型：
指数型：
1．（24-25 高二下·河南南阳·期中）在数列
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．2025
D．5050
2．（24-25 高三广东·阶段练习）已知首项为1 的数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三河南南阳·阶段练习）已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·河南·期中）在数列
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．15
C．
D．10
题型4 递推核心思想： 等差等比定义构造
1．（25-26 高三上·河南商丘·开学考试）已知数列
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·江西·阶段练习）已知数列
满足
，则
中的项小
于0 的有（ ）
A．0 项
B．5 项
C．6 项
D．无数项
3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·吉林长春·期末）在数列
中，
，
，
，则
（ ）
4
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A．
B．15
C．
D．10
题型5 递推核心思想：sn 与an 型
数列前n 项和：
an＝
求通项时，要注意检验n=1 是否成立
1.（2021·江西赣州·一模（理））记
为数列
的前n 项和．若
，
，则数列
的通项公
式为______．
2.（2020·江西·南昌市第三中学高一开学考试）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2022·全国·高二课时练习）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，则数列
的通
项公式为______．
4.（2023·全国·高三专题练习）数列
中，已知
，
且
（
且
），则
此数列
的通项公式为__________.
题型6 消an 求sn 型
数列前n 项和：
an＝
求通项时，要注意检验n=1 是否成立
1.（2021·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的数列
的首项为1，且前
项和
满足
，则数列
的通项公式为______．
2.（2021·江苏·高二课时练习）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，
，则
的通项公式为_________．
3.（2021·全国·高二课时练习）已知各项为正数的数列
的前
项和为
，且
，
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，则数列
的通项公式为_________.
4.（2021·全国·高三专题练习）设数列
的前
项和为
，若
且当
时，
，则
的通项公式
_______.
题型7 新数列“隐形和”
新数列和型：
若
型，则可以再写一个，做差，得到
，
1.（2022·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为___________.
2.（2021·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知数列
满足
，
．数列
的通项公式是______．
3.（2024·江西·高三阶段练习）已知
为数列{
}的前
项和，
且
．则{
}的通项公式为 _________________ ．
4.（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）若数列
满足
，则数列
的通
项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 构造法：二阶构造等比求通项
二阶等比构造法有两种方法：
1.形如
为常数）,构造等比数列
。特殊情况下，
当q 为2 时，
=p，
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2.形如
，变形为
，新数列累加法即可
1.（2025 全国 专题训练）设数列
的前n 项和为
，对任意
，有
，
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
2.（2024·漳州·阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，则
A．
B．
C．
D．
3.（2024·上海 阶段练习）已知数列满足
，
，设数列
的前n 项和为
，若
，则与
最接近的整数是（ ）
A．5
B．4
C．2
D．1
4.（2025·河北 武汉 阶段练习）已知数列
满足
，
，则通项公式
_______.
题型9 二阶线性f（n）型构造等比
二阶f（n）线性构造等比型：
形如
为常数）,构造等比数列
。
特殊情况下，可以构造出常熟数列（依旧是等比数列，公比是1）
1.（23-24 高二下·广东湛江·期中）在数列
中，已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2023·四川成都·一模）若数列
满足
，则
（ ）
A．6
B．14
C．22
D．37
3.（23-24 高二下·广东湛江·期中）在数列
中，已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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4.（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列
满足
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 二阶指数q（n）型构造等比
二阶f（n）指数型构造等比型：核心思维是同除
.形如
，变形为
，新数列累加法即可
1．（23-24 高二上·广东·期末）在数列
中，
，记
，若
数列
为递增数列，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高二下·湖北武汉·阶段练习）在数列
中，
，
，
，前
项和为
，
则下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（22-23 高二上·全国·单元测试）已知数列
满足
= ，
，则数列
的通项公式是
（ ）.
A．
B．
C．
D．
4.（22-23 高二上·全国·单元测试）已知数列
满足
=
，
，则数列
的通项公式为
（ ）.
A．
B．
C．
D．
题型11 分式：取倒数构造等差型
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形如
，可以取倒数变形为
1.（21·22 下·模拟预测）数列
满足
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
是等比数列
C．
D．
2.（21·22 上·银川·阶段练习）已知数列
的首项
，且各项满足公式
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·山西阶段练习）已知数列
满足
，
，若
，
，且数列
是单调递增数列，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4.（2024 河北石家庄阶段练习）已知数列
满足
，
.若
，则数
列
的通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 分式：特征方程构造型
特征方程构造型：
形如
的递推数列，
方程的根，可以分两种情况：
（1）、若其中有一个不动点x0，则
是等差数列
（2）、若其中有两个不动点m，n，则
是等比数列
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1.（2020 下·温州·模拟预测）已知数列
由首项
及递推关系
确定.若
为有穷数列，
则称a 为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（21·22 下·开学考试）在数列
中， 已知， 且
， 则以下结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（22·23·贵州阶段练习）已知数列
满足
，
，则
．
4.（2021 上·天水·模拟预测）已知数列
满足
，
，则数列
的
通项公式为
.
题型13 三阶递推:特征方程构造型
三阶数列特征方程型：
形如
，可以通过凑配系数构等比数列。
也可以通过特征方程求解
1.（24-25）已知数列
中，
，
，
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（20·21 下·绵阳·三模）已知数列
的前
项和为
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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3.（2020 上·南通·期中）已知数列
满足
且
，则
时，使得
不等式
恒成立的实数a 的最大值是（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
4.（23·24 上·阶段练习）已知
是数列
的前
项和，且
，
（
），则下列
结论正确的是（ ）
A．数列
为等比数列
B．数列
为等比数列
C．
D．
题型14 三阶地推：周期型
周期数列
1.若数列{a
n}满足
2.若数列{a
n}满足
3.若数列{a
n}满足
4.若数列{a
n}满足
5.若数列{an}满足
6.
1.（24-25 黑龙江哈尔滨阶段练习）设数列
满足
，且对任意正整数
，总有
成立，则数列
的前2019 项的乘积为
A．
B．1
C．2
D．.3
2.（2023 上·河北邢台·高二校联考阶段练习）若数列
满足
，则
.
3.（2023 上·重庆·高二重庆十八中校考阶段练习）数列
满足
，
，
，
若
，
，则
.
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4.（2023·全国·高三专题练习）在数列
中，已知
，
，则
.
题型15 分段型“跳项”构造
分段型递推公式，主要是讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列。
1.（22·23 下·安康·模拟预测）已知数列
的首项为
,数列
的前
项和小于实数
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（21·22 下·上海·阶段练习）已知正整数数列
满足：
，则
3.（22·23 下·云南·阶段练习）在数列
中，
，则使
对任意的
恒成立的
的最大值为 .
4.（21·22 下·河南·模拟预测）已知数列
满足
，
，则
的
最大值为 ．
题型16 技巧与构造：线性“和”型
形如
求通项，则可以通过再写一个做差，构造出奇（偶）数项各自独立的数列递推（多
为等差等比）求通项公式
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1.“和”常数型：
，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列
2.“和”等差型：
则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列
3.“和”二次型：
，
则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式
4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列
满足
，则
（ ）
A．3
B．
C．1
D．
2．（24-25 高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知数列
的前n 项和为
．若
，
，则
（ ）
A．48
B．50
C．52
D．54
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知等差数列
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
4．（2023·广西南宁·模拟预测）在数列
中，
．若命题
，命题
是
等比数列，则p 是q 的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
题型17 技巧与构造： 正负“调和”线性型
满足
，称为正负“调和”型，可以借助奇偶讨论，整体求和来构造
1．（23-24 高二上·江苏南京·期末）已知数列
满足
，则
的值是
（ ）
A．25
B．50
C．75
D．100
2．（23-24 高二下·四川凉山·期中）数列
满足
，则
等于
（ ）
A．2565
B．2575
C．2585
D．2595
3．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知数列
满足
，前8 项的和为60，则
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
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4．（24-25 高二上·江苏苏州·期末）已知数列{an}满足
,且其前62 项的和为
1885，则
．
题型18 技巧与构造：因式分解型
因式分解型：
涉及到二阶数列含有二次型一次型时，可以观察是否能因式分解达到构造的目的。
1.（24·25·全国·阶段练习）已知数列
的各项均为正数，且
，则数列
的通项公式
．
2.（23·24 河北 阶段练习）在各项均为正数的数列
中，
为前
项和，
且
，则
.
3.（23-24·河南·开学考试）已知正项数列
满足
，
，则数列
的前
项和为 ．
4.（22·23·全国·专题练习）设
是首项为1 的正项数列且
，且
，求数列
的通项公式
题型19 技巧与构造：高次取对数型
形如
，可以 通过取对数构造等比数列求通项公式
1.（2024·全国·高三阶段练习）设正项数列
满足
，
，则数列
的通项公式是
______．
2.（2021·全国·高三课时练习）已知数列
，
，
，则数列
的通项公式为
______.
3.（20·21 上·广西·一模）已知数列
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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4.．（19·20 下·全国·阶段练习）设数列
满足
，
，
，
，则
.
题型20 技巧与构造：前n 项积型
前n 项积，可以类比前n 项和求通项过程来求数列前n 项积：
1.n=1，得a1
2.n
时，
所以
1.（21·22 下·包头·一模）已知
为数列
的前n 项积，若
，则数列
的前n 项和
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（21·22 下·包头·一模）已知
为数列
的前n 项积，若
，则数列
的通项公式
（ ）
A．3-2n
B．3+2n
C．1+2n
D．1-2n
3.（21·22 上·合肥·期末）若数列
的前
项积
，则
的最大值与最小值之和为（ ）
A．
B．
C．2
D．
4.（20·21·广西·模拟预测）设数列
的前n 项和为
，已知
，则数列
的前n 项
之积
的最大值为（ ）
A．16
B．32
C．64
D．128
题型21 超难构压轴小题
15
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1．（23-24 高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知数列
满足
，且
，数列
的各项均不为0，且
.若
，则
.
2．（2025·山西太原·阶段练习）已知数列
与
满足
，且
，则
．
3．（2025 高三·全国·专题练习）设数列
的前
项积为
，满足
，其中常数
．若
，
则
；若数列
为等差数列（非常数列），则
．
4．（24-25 高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知正项数列
满足
，若存在非零常
数
，使得数列
为等比数列，则
；数列
的通项公式为
．
结束
16
