文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题5-3 数列求和及综合大题归类
目录
题型01 等差等比公式法求和...............................................................................................................................................1
题型02 等差、等比、裂项、三角型分组求和..................................................................................................................2
题型03 中心对称型倒序求和..............................................................................................................................................3
题型04 难度较大的错位相消求和.......................................................................................................................................4
题型05 奇偶讨论、正负相间型求和..................................................................................................................................5
题型06 插入数型求和..........................................................................................................................................................6
题型07 分段型数列求和......................................................................................................................................................8
题型08 裂项相消型求和.......................................................................................................................................................8
题型09 裂项归类：降幂分离型.........................................................................................................................................10
题型10 裂项归类：分子是分母差的线性型.....................................................................................................................10
题型11 裂项归类：指数等差型裂项.................................................................................................................................11
题型12 裂项归类：指数与等差“同构”型.....................................................................................................................12
题型13 正负型裂项：正负基础型.....................................................................................................................................13
题型14 正负型裂项：等差裂和型....................................................................................................................................14
题型15 正负型裂项：指数裂和型.....................................................................................................................................14
题型16 裂项归类：三角函数型.........................................................................................................................................15
题型17 通项分段求和........................................................................................................................................................16
高考练场.............................................................................................................................................................................. 17
题型01 等差等比公式法求和
【解题攻略】
对于等差等比数列，利用公式法可直接求解
等差数列有关公式：
(1) 通项公式：an＝
a 1＋
( n －
1)
d ；
(2)前n 项和公式：Sn＝na1＋d＝.
等比数列有关公式：
(1) 通项公式：an＝a1q n － 1 ；
(2)前n 项和公式：Sn＝
【典例1-1】（2024 上·四川自贡·高三统考）设
是等差数列，若
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和及其最值．
【典例1-2】（2024 上·湖北·高三湖北省武汉市汉铁高级中学校联考）已知
是等差数列
的前
项和，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的最小值.
【变式1-1】（2024 上·河南·高三校联考）已知公比不为1 的等比数列
满足
，且
是等差数
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
列
的前三项.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
【变式1-2】（2023 上·海南省直辖县级单位·高三校考）在等差数列
中，已知：
，
.
(1)求数列
的公差及通项公式；
(2)求数列
的前
项和
的最小值，并指出此时正整数
的值.
题型02 等差、等比、裂项、三角型分组求和
【解题攻略】
分组求和
1.形如an＝
，用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝
，用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝
，用分组求和法，分别求和而后相加减
【典例1-1】（23·24 上·徐汇·）若数列
满足条件：存在正整数k，使得
对一切
，
都成立，则称数列
为k 级等差数列；
(1)已知数列
为2 级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求
的值；
(2)若
（
），且
是3 级等差数列，求
的最小正值，及此时数列
的前3n 项和
；
【典例1-2】（22·23 上·广安·）已知数列
满足
.等比数列
的公比为3，且
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
.
【变式1-1】（23·24 上·成都·阶段练习）设
为数列
的前
项和，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，
，求数列
的前
项和
．
【变式1-2】（23·24 上·盐城·）设数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若数列
满足
，
，且
，设
，求数列
的前
项和
．
题型03 中心对称型倒序求和
【解题攻略】
倒序求和
如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相
加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。比较常见于等差数列，以及具有中心对成的
函数型数列求和
【典例1-1】（22·23·全国·专题练习）设函数
，设
，
．
(1)计算
的值．
(2)求数列
的通项公式．
【典例1-2】（21·22·全国·专题练习）设
是函数
的图象上任意两点，
且
，已知点
的横坐标为
．
(1)求证：
点的纵坐标为定值；
(2)若
且
求
；
【变式1-1】（20·21·全国·课时练习）已知函数
，数列
的前n 项和为
，点
均在函数
的图象上，函数
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
的值；
(3)令
，求数列
的前2020 项和
.
【变式1-2】（20·21·全国·课时练习）已知函数
，数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图象上．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若函数
，令
，求数列
的前2020 项和
．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型04 难度较大的错位相消求和
【解题攻略】
错位相减法：形如an＝
，用错位相减法求解．
错位相减法求数列
的前n 项和
（1）适用条件
若
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和
．
（2）基本步骤
（3）思维结构结构图示如下
（4）注意事项
①在写出
与
的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令cn=(An +B)⋅qn，可以用错位相减法．
T n=( A+B)q+(2 A+B)q2+(3 A+B)q3+...+(An+B)qn①
qT n=( A+B)q2+(2 A+B)q3+(3 A+B)q4+...+(An+B)qn+1②
得：
．
整理得：T n=( An
q−1+ B
q−1−
A
(q−1)2 )qn+1−( B
q−1−
A
(q−1)2 )q．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（5）万能公式：
形如
的数列求和为
，
其中
，
，
（6）公式秒杀:
(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数
与
,可以采用将前1 项和与前2 项
和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)
【典例1-1】（23·24 上·厦门·）已知等差数列
与等比数列
满足
，
，
，且
既是
和
的等差中项，又是其等比中项.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，其中
，求数列
的前
项和
.
【典例1-2】．（23·24 上·无锡·）各项均为正数的数列
的前
项和记为
，已知
，且
对一切
都成立．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
和
之间插入
个数，使这
个数组成等差数列，将插入的
个数之和记为
，其中
．求数列
的前
项和．
【变式1-1】（23·24 上·温州·）已知数列
的前项和为
.
(1)求数列
的通项公式.
(2)设数列
的前项和为
，点
在直线
上，
，求
以及
的最小值.
【变式1-2】（23·24 上·丹东·）已知数列
是公差为1 的等差数列，且
，数列
是等比数列，
且
(1)求
和
的通项公式；
(2)记
，其中
，求数列
的前
项的和
．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型05 奇偶讨论、正负相间型求和
【解题攻略】
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇
数项通项。
【典例1-1】（2024 上·江苏苏州·高三统考）已知等差数列
的公差为
，且
，设
为
的前项
和，数列
满足
.
(1)若
，且
，求
；
(2)若数列
也是公差为
的等差数列，求数列
的前
项和
.
【典例1-2】（2024 上·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考）已知数列
满足
，且对任意正整
数n 都有
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，
，（
），若
且
，求集
合A 中所有元素的和．
【变式1-1】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
.
【变式1-2】（2024 上·江苏·高三）已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，且
对一切
都成立.若
是公差为2 的等差数列，
.
(1)求数列
与
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
题型06 插入数型求和
【解题攻略】
插入数型
1.插入数构成等差数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等差数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等差数列，公差记为
，所以：
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2. 插入数构成等比数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等比数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等比数列，公差记为
，所以：
3. 插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列
提供了多少项，其余都是插入进来的。
【典例1-1】（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知数列
为等差数列，
，且数
列
是公比为2 的等比数列，
.
(1)求
，
的通项公式；
(2)若数列
满足
，将
中的项按原有顺序依次插入到数列
中，使
与
之间
插入2 项，形成新数列，求此新数列前面20 项的和
.
【典例1-2】（2018 下·江苏南京·高三南京外国语学校校考）设等比数列
的前
项和为
；数
列
满足
（
，
）．
（1）求数列
的通项公式；
（2）①试确定的值，使得数列
为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数
，在
与
之间插
入
个2，符到一个数列
．设
是数列
的前
项和，试求满足
的所有正整数
．
【变式1-1】（2023 上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习）若数列
满足
（
为正整数，
为常数），则称数列
为等方差数列，
为公方差.
(1)已知数列
，
的通项公式分别为：
，
，判断上述两个数列是否为等方差数列，
并说明理由；
(2)若数列
是首项为1，公方差为2 的等方差数列，在（1）的条件下，在
与
之间依次插入数列
中的
项构成新数列
：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，……，求数列
中前
30 项的和
.
【变式1-2】（2022 上·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列{an}中，
a1=1 且满足
，数列{bn}的前n 项和为Sn，满足2Sn+1=3bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和Sn；
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(3)若在bk 与bk+1之间依次插入数列{an}中的k 项构成新数列
：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，
b4，……，求数列{cn}中前50 项的和T50.
.
题型07 分段型数列求和
【解题攻略】
分段数列求和：
1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；
（2）可“跳项”求和
【典例1-1】已知数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
，求数列
的前
项和
．
【典例1-2】已知数列
，
的前n 项和分别为
，
，
，
．
(1)求
及数列
，
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2n 项和
．
【变式1-1】已知等差数列
前
项和为
（
），数列
是等比数列，
，
，
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
，设数列
的前
项和为
，求
.
【变式1-2】已知数列
的前
项和为
，且满足
，等差数列
中，
，
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)定义
，记
，求数列
的前20 项和
.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型08 裂项相消型求和
【解题攻略】
常见的裂项相消法求和类型
(1)
；
（
2
）
；
（
3
）
；（4）
；
分式型：
，
，
等；
【典例1-1】（23·24 上·福州·）已知
是数列
的前n 项和，
．
(1)求数列
的通项公式
(2)设
为数列
前n 项的和，若
对一切
恒成立，求实数
的最大值．
【典例1-2】（23·24 上·威海·阶段练习）设数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求证：
．
【变式1-1】（23·24 上·闵行·）等差数列
的前
项和为
，已知
，且
.
(1)求
和
；
(2)设
，若
恒成立，求实数
的取值范围.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【变式1-2】（23·24 上·佛山·阶段练习）已知数列
的前
项的和为
，数列
是公差为1 的等差数
列．
(1)证明：数列
是公差为2 的等差数列；
(2)设数列
的前
项的和为
，若
，证明
．
题型09 裂项归类：降幂分离型
【解题攻略】
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分
子次幂降下来。
【典例1-1】．（22·23 下·十堰·阶段练习）设
是正数组成的数列，其前
项和为
，并且对于所有的
正整数
，
与2 的等差中项等于
与2 的等比中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求证：
.
【典例1-2】（22·23 下·河池·阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【变式1-1】（23·24 上·深圳·阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
的前n 项和为
，求
．
(3)记数列
的前n 项和为
，若
恒成立，求
的最小值．
【变式1-2】（23·24 上·南昌·阶段练习）已知函数
.
(1)若
，使得
成立，求实数
的取值范围；
(2)证明：对任意的
为自然对数的底数.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型10 裂项归类：分子是分母差的线性型
【解题攻略】
分式型分子裂差法
如果数列通项满足“分子是分母差的线性关系”即
【典例1-1】（22·23·秦皇岛·模拟预测）设等比数列
的前
项和为
，数列
为等差数列，且公差
，
.
(1)求数列
的通项公式以及前
项和
；
(2)数列
的前
项和为
，求证：
.
【典例1-2】（23·24 上·湖北·一模）已知正项数列
的前
项和
，满足：
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，设数列
的前
项和为
，求证
．
【变式1-1】（22·23·海口·模拟预测）已知等差数列
，其前
项和
满足
为常数.
(1)求
及
的通项公式；
(2)记数列
，求
前
项和的
.
【变式1-2】（2023·四川内江·统考一模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
.
(1)求
及
；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
题型11 裂项归类：指数等差型裂项
【解题攻略】
指数裂项法
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【典例1-1】（2024·福建厦门·统考一模）已知数列
的前
项和为
，
，当
，且
时，
．
(1)证明：
为等比数列；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，若
，求正整数
的最小值．
【典例1-2】（2024 上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
，求数列
的前
项和
，证明：
.
【变式1-1】（2024 上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）记
为正项数列
的前
项和，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，证明：
.
【变式1-2】（2023 上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知数列
的首项
，且满足
，记
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)记
，证明；数列
的前
项和
.
题型12 裂项归类：指数与等差“同构”型
【解题攻略】
指数与等差数列“同构”
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【典例1-1】（22·23·河南·三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项
；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【典例1-2】（23·24 上·合肥·阶段练习）在数和之间插入
个实数，使得这
个数构成递增的等比数
列，将这
个数的乘积记作
，令
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【变式1-1】（22·23 下·抚顺·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
.
【变式1-2】（23·24 上·哈尔滨·阶段练习）已知数列
为等差数列，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)数列
满足
，数列
的前
项和为
，求证：
．
题型13 正负型裂项：正负基础型
【解题攻略】
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇
数项通项。
【典例1-1】（22·23 下·德州·）已知数列
为等差数列，数列
为正项等比数列，且满足
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【典例1-2】（22·23 下·武汉·）设数列
前n 项和为
，
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
前n 项和为
，问
是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
【变式1-1】（22·23 高三下·湖北·）已知数列
的前n 项和
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
满足：
，求数列
的前2n 项和
.
【变式1-2】设数列
的前
项和为
，且
.（1）求
、
、
的值；
（2）求出
及数列
的通项公式；
（3）设
，求数列
的前
项和为
.
题型14 正负型裂项：等差裂和型
【解题攻略】
正负型等差裂和型
【典例1-1】（22·23 下·荆州·阶段练习）已知等差数列
满足
，且
，
，
成等比数列.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，
的前
项和分别为
，
.若
的公差为整数，且
，求
.
【典例1-2】（22·23·三明·三模）已知数列
满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，
的前
项和为
，证明：
.
【变式1-1】（22·23 下·武汉·）设数列
前n 项和为
，
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)设数列
前n 项和为
，问
是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）已知数列
的前
项积为
．
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
.
题型15 正负型裂项：指数裂和型
【解题攻略】
正负型：等指数裂和型
【典例1-1】（21·22 高三下·重庆沙坪坝·）设数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和为
.
【典例1-2】（22·23 高三下·黑龙江哈尔滨·）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，若存在
，使
，求
的取值范围.
【变式1-1】（22·23 下·武清·阶段练习）设
是等比数列，公比大于，其前
项和为
，
是等差数列，已知
，
，
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
.
（i）求
；
（ii）求
.
【变式1-2】（23·24 上·黔东南·阶段练习）已知数列
满足：
，
.
(1)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)令
，求
的前n 项和
.
题型16 裂项归类：三角函数型
【典例1-1】（2023·山东威海·二模）已知2n＋2 个数排列构成以
为公比的等比数列，其中第1 个
数为1，第2n＋2 个数为8，设
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设
，求数列
的前100 项和
．
【典例1-2】（22·23 上·芜湖·）已知
是数列
的前
项和，
．且
(1)求
的通项公式；
(2)设
，已知数列
满足
，求
的前
项的和
【变式1-1】（2023 上·安徽·高三校联考阶段练习）数列
各项均为正数，
的前n 项和记作
，已
知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2023 项和．
【变式1-2】（2023 上·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知数列
中，
，设
为
前n 项和，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
题型17 通项分段求和
【典例1-1】在公差为2 的等差数列
中，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前20 项和
．
【典例1-2】在公差不为0 的等差数列
中，前n 项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)设
，
，求数列
的前12 项和
．
【变式1-1】（2024 上·浙江杭州·高三杭州高级中学校考）已知正项数列
的前
项和为
，且满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，
的前
项和为
，求
.
【变式1-2】（2024 上·贵州毕节·高三统考）已知递增的等比数列
满足
，且
成等差数
列.
(1)求
的通项公式；
(2)设
求数列
的前
项和.
高考练场
1.（2024 上·广东深圳·高三统考）已知数列
为等差数列，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
为
的前
项和，若
，求
的最小值.
2.（23·24 上·六安·阶段练习）已知首项为1 的正项等比数列
，且
，
，
成等差数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和为
．
3.（20·21 上·开封·阶段练习）已知函数
，设数列
满足
，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若记
，2，3，
，
，求数列
的前
项和
.
4.（23·24 上·邢台·）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)数列
满足
，
，设数列
的前
项和为
，证明：
.
5.（2024 上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考）已知数列
是各项为正数的数列，前n 项和记为
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，(
)，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，
，求数列
的前n 项和
．
6.（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）若数列
满足
（n 为正整数，p 为
常数），则称数列
为等方差数列，p 为公方差．
(1)已知数列
的通项公式分别为
判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明
理由；
(2)若数列
是首项为1，公方差为2 的等方差数列，数列
满足
，且
，求正整数m 的值；
(3)在（1）､（2）的条件下，若在
与
之间依次插入数列
中的
项构成新数列
，
，求数列
中前50 项的和
．
7.（2024 上·陕西榆林·高三统考）已知数列
满足
，
，记
.
(1)求
，
；
(2)求证：数列
是等差数列；
(3)求数列
的前
项和
.
8.（23·24 上·河南·）对数列
，记
为数列
的前n 项交替和；
(1)若
，求
的前n 项交替和
；
(2)若数列
的前n 项交替和为
，求
的前n 项和．
9.（22·23 上·全国·单元测试）已知数列
满足：
，数列
满足：
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
10.（2023 上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）已知正项数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)求数列
前n 项和
；
(3)若
，数列
的前
项和为
，求
的取值范围.
11.（23·24 上·昆明·阶段练习）已知数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
.
12.（23·24 上·黔东南·阶段练习）已知数列
满足：
，
.
(1)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)令
，求
的前n 项和
.
13.（22·23·三明·三模）已知数列
满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，
的前
项和为
，证明：
.
14.（23·24 上·和平·开学考试）已知等比数列
的公比
，若
，且
，
，
分别
是等差数列
第1，3，5 项.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
；
(3)记
，求
的最大值和最小值.
15.（22·23 高三上·江苏南通·）已知
为正项数列
的前n 项和，且
，当
时，
.
(1)证明
为等差数列，并求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
16.（2024 上·山东临沂·高三统考）已知
为等差数列，
，记
分别为数列
的前
项和，
.
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求
的通项公式;
(2)求
.
20
