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数列通项公式
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】定义法求通项公式
【题型二】 累加法求数列通项公式
【题型三】 累乘法求数列通项公式
【题型四】
法求通项公式
【题型五】构造法求数列通项公式
【题型六】寻找递推关系式求数列
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：数列的首项不满足取值规律。
：1.等差等比数列及求和在高考中主要考查基本量的基本运算，是常规求和方法发的基本应
用。包括：错位相减求和，奇偶性求和，列项求和等。
2.情景化与新定义是高考的一个新的考点，一般采用学过的知识去解决新定义问题，因加以重视，是高考
的一个方向，并且作为压轴题的可能性比较大，难度大。
3.知识的综合是未来高考的一个重要方向，主要是数列与统计概率相结合，数列作为一个工具与解析几何，
函数结合等，属于中等难度。
：复习等差、等比数列的基础知识点，以及常见题型的归纳总结，累加，累乘数列求通项的
基方法。
【题型一】定义法求通项公式
【例1】已知数列
满足：
，
，则
等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【例2】已知数列
为等比数列，其中
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】首项为3 的等差数列
满足
，则
的公差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】在数列
中，则“
”是“数列
为等差数列”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分又不必要
【变式3】已知等比数列
的公比为
，若
，
，则
．
【题型二】 累加法求数列通项公式
【例1】在数列
中，
，求数列
的通项公式.
【例2】在数列
中，
，求
的通项公式．
1、适用于：
…………这是广义的等差数列
2、若
则an−an−1= f (n−1)；an−1−an−2= f (n−2)……，a3−a2= f (2)，a2−a1= f (1)
两边分别相加得：an−a1= f (1)+ f (2)+⋯+ f (n−1)
【变式1】已知数列
中，
，
（
，且
），则通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知数列
的首项为14，且
，则
的最小值为 .
【变式3】已知数列
满足
，
且
，则
.
【题型三】 累乘法求数列通项公式
【例1】已知数列
满足
，
，则
的前6 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】在数列
中，
，
（
），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1、适用于：
…………这是广义的等比数列
2、若an+1
an
= f (n)，
则
an
an−1 = f (n−1)，
an−1
an−2
= f (n−2)，……，
a3
a2
= f (2)，
a2
a2
= f (1)，
两边分别相乘得：
an
a1
= f (1)∙f (2)∙f (3)⋯f (n−1)
【变式1】数列
中，满足
，
，则
．
【变式2】已知数列
中，
，则
.
【变式3】在数列
中，首项
，
时，
，则数列
的前
项和为
.
【题型四】
法求通项公式
【例1】已知数列
的前
项和为
，则数列
的通项公式为 ．
【例2】设数列
的前
项和为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
1、利用
求通项时，要注意检验
n=1
时的情况。
已知
求
的三个步骤：
（1）先利用
求出
.
（2）用
替换
中的
得到一个新的关系，利用
便可求出当
时
的表达
式．
（3）对
时的结果进行检验，看是否符合
时
的表达式，
如果符合，则可以把数列的通项公式合写；
如果不符合，则应该分
与
两段来写．
2、已知数列的前n 项和sn 的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个：
（1）将和sn 转化为项an ,即利用an=sn−sn−1将和转化为项.
（2）可将条件看作是数列{sn}的递推公式，先求出sn ，然后题目即转化为已知数列的前n 项和sn ，求数
列通项公式an ．
【变式1】已知
为数列
的前
项和，且
，若
对任意正整数
恒成立，则
实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知数列
的前
项和
满足
，若数列
满足
，
，则
数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）已知数列
的前
项和为
，
，
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．
C．
D．数列
的前
项和为
【题型五】构造法求数列通项公式
【例1】已知数列中，
，
，则
．
【例2】（多选）已知数列
的前n 项和为
，若
，
，则（ ）
A．
B．数列
为等比数列
C．
D．
1、形如
型
** 错误的表达式 **若c =1时，数列{an}为等差数列；
** 错误的表达式 **若d =0时，数列{an}为等比数列；
** 错误的表达式 **若c≠1，d ≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列
来求。
（1）待定系数法：设an+1+ λ =c(an+ λ)，得an+1=c an+(c−1)λ，
与题设an+1=c an+d比较系数得：(c−1) λ =d，所以λ =
d
c−1 (c≠1)
所以有：an+1+
d
c−1 =c(an+
d
c−1 )
因此数列{an+
d
c−1}构成以a1+
d
c−1为首项，以c为公比的等比数列。
（2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an+1=c an+d中把n换成n−1
有an=c an−1+d，两式相减有：an+1−an=c(an−an−1)，从而化为公比为c的等比数列{an+1−an}，进而求
得通项公式an+1−an=c
n(a2−a1)，
再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。
2、形如
（其中
是常数，且
）
** 错误的表达式 **若p=1时，即：an+1=an+q
n累加即可。
** 错误的表达式 **若p≠1时，即：an+1= pan+q
n求通项方法有以下三种方法：
（1）两边同除以p
n+1.目的是把所求数列构造成等差数列，即：an+1
p
n+1 = an
p
n + 1
p ∙( q
p )
n
，
令bn= an
p
n，则bn+1−bn= 1
p ∙( q
p )
n
，然后累加法求通项。
（2）两边除以q
n+1.目的是把所求数列构造成等比数列，即：an+1
q
n+1 = p
q ∙an
q
n + 1
q ，
令bn= an
q
n，则可化为bn+1= p
q bn+ 1
q ，然后待定系数法求通项即可。
（3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设an+1+ λ∙q
n+1= p(an+ λ∙q
n)，通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项。
注意：应用待定系数法时，要求p≠q，否则待定系数法会失效。
3、形如
（其中
，
是常数，且
）
（1）逐项相减法（阶差法）
（2）待定系数法：通过配凑可转化为(an+ xn+ y)= p(an−1+ x (n−1)+ y)
解题基本步骤：
** 错误的表达式 **确定f (n)=kn+b
** 错误的表达式 **设等比数列bn=(an+ xn+ y)，公比为p
** 错误的表达式 **列出关系式(an+ xn+ y)= p(an−1+ x (n−1)+ y)，即bn= pbn−1
** 错误的表达式 **比较系数求x，y
** 错误的表达式 **解得数列
的通项公式，并得出数列
的通项公式。
【变式1】已知数列
满足
，
，
，则数列
的通项公式为 ．
【变式2】已知数列
的前
项和为
，其中
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知数列
的前
项和为
，若
，且
，则
．
【题型六】寻找递推关系式求数列
【例1】三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5 次传递后，球
又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．6 种
B．10 种
C．11 种
D．12 种
【例2】（多选）某学校足球社团进行传球训练，甲乙丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随机
､
､
地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现假定每次传球都能
被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第
次触球者是甲的概率为
.已知甲为本次训练的第一次触球
者，即
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格
出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边
（如第1 次运动，机器人可以运动到
，
，
或
）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视
为“成功”，则运动2025 次后机器人“成功”的概率为 ．
【变式2】如图，在多面体
的顶点处有一质点S，质点S 每次会随机地沿一条棱向相邻的某
个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点
S 的初始位置在点A 处，记质点S 移动n 次后仍在平面ABCD 上的概率为
，则
；
．
易错点一：忽视首项需要检验
①当
时，a1若适合
，则
的情况可并入
时的通项
；
②当
时，a1若不适合
，则用分段函数的形式表示.
例1．已知数列
的前
项和为
，则数列
的通项公式为 ．
变式1．已知数列
的前
项和为
，
，则
.
变式2．已知数列{an}的前n 项和为Sn（n N
∈*），且
S1+
S2+…+
Sn=3n+5，则数列{an}的通项公式
.
