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备战2026 年高考数学考前仿真模拟必刷10 卷
必刷模拟卷04
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
，
，则
.
2．已知向量
，若
，则
（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．4
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算求解.
【详解】因为
，所以
，
若
，则
，解得
，
故选：D.
3．复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法法则计算可求得复数
的虚部.
【详解】因为
.
所以复数
的虚部为
.
故选：D.
4．在等比数列
中，若
，
，则
（ ）
A．6
B．9
C．15
D．81
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式和题设条件，求得数列
的公比，代入即可求得结果.
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，
，
.
故选：A.
5．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得
，再结合二倍角公式求值即可．
【详解】
，
则
．
故选：C．
6．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：D
7．在棱长为
的正方体
中，
，
分别为棱
，
的中点，
为棱
上的
一点，且
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立空间直接坐标系，写出点坐标，利用空间坐标法求点到平面的距离即可.
【详解】以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系
．
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量为
．
所以点
到平面
的距离为
，
故选：A
8．已知函数
的定义域为
.若
的图象关于点
中心对称，且
，则
下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
关于直线
对称
C．
D．
【答案】D
【分析】利用
的图像关于点
中心对称，
为奇函数，结合
可得
是周期函数，再由选项逐一分析.
【详解】因为
的图象关于点
中心对称，所以
的图象关于原点对称，
则函数
为奇函数，因为函数
的定义域为
,所以
，
又
，则
，
所以
，则
，
所以
,故
,所以是
的一个周期，
对于A，不妨令
，满足定义域为
的奇函数，周期为，
但
，所以A 错误；
对于B，不妨令
，其定义域为
，
，
则函数
为奇函数，
，
所以是
的一个周期，
所以直线
不是
的对称轴，故B 错误；
对于C,因为函数
为周期为的奇函数，
则
，
,
因为
不一定为
,所以C 错误；
对于D，因为函数
为周期为的奇函数，
则
，
所以
，故D 正确，
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知集合
，其中
.定义向量集
，若对任意
，存在
，使
，称集合
具有性质
，则
（ ）
A．集合
具有性质
B．当
时，具有性质
的集合
有无数个
C．若集合
具有性质
，且
，则
D．已知集合
具有性质
，且
，若
，则有穷数列
的通项公式为
【答案】ABD
【分析】利用列举法来配对两两数量积为
，即可判断A，利用
总满足性质
，即可判断B，
利用分类列举，并通过数量积为
，来求解参数，发现有两解，从而可判断C，利用任意性和存在性来配
对数量积为
，即可判断D.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
所以对任意
，存在
，使
，即集合
具有性质
，故A 正确；
当
时，令
，
，
则
，
因为
，
所以对任意
，存在
，使
，即集合
具有性质
，
因为正数
有无数个，所以具有性质
的集合
有无数个，故B 正确；
若集合
具有性质
，
则取
，则
只可能是
根据
，依次解得：
，
因为
，且要满足集合
中元素互异性，所以
,
检验：当
时，
，
因为
，
所以对任意
，存在
，使
，即集合
具有性质
，
当
时，
，
因为
，
所以对任意
，存在
，使
，即集合
具有性质
，故C 错误；
由C 选项可知：
满足，此时
假设
满足题意，则取
，要使其存在正交向量
，
即
，因为
，所以必须为负数，即
，此时
，
由
，逐一检验可知，只有
时，
，符合
，
以此类推可得：有穷数列
的通项公式为
，
下证明充分性：
对于任意
且
不妨假设
，总存在
满足
，
有穷数列
的通项公式为
,故D 正确；
故选：ABD
10．已知双曲线
的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，过
的直线与
的右支相交于
两点，则下列结论错误的有（ ）
A．
的方程为
B．
C．
的渐近线方程为
D．当
时，
的面积为3
【答案】BC
【分析】由已知条件可以知道
,离心率是
,所以
.
.进而可以得到双曲线的标准方程.
对选项逐一分析即可.
【详解】对于选项A,由已知条件可以知道
,离心率是
,所以
.
.所以双曲线的标准方程为
.故A 正确.
对于选项B,当
垂直于
轴时,将
,代入双曲线方程
可得
.
此时
.当
不垂直于
轴时,
,所以
.故选项B 错误.
对于选项C,双曲线的方程为
其渐近线方程为
.
已知
,则渐近线方程为
.即
.故选项C 错误.
对于选项D,因为
,所以
.
设
,根据双曲线的定义
即
.
又因为
,可以解得
.
所以
的面积
.故选项D 正确.
故选：BC.
11．如图，在正四棱锥
中，
，
，
，
，
分别为侧棱PA，PB，PC，PD 的中点，
若多面体
的体积为
，则（ ）
A．
平面
B．四棱锥
的外接球半径为2
C．直线
与底面ABCD 所成角的余弦值为
D．点B 到平面PAD 的距离为
【答案】ACD
【分析】对于A 选项，通过中位线构造线面平行，再由线线平行推导线面平行即可；对于B 选项，先由棱
台体积求出棱台高，进而得到四棱锥高，再通过勾股定理判断侧棱与对角线的垂直关系，确定外接球球
心，再求得半径即可；对于C 选项，取中点构造垂线，将线面角转化为直角三角形内角，再用余弦定义求
解即可；对于D 选项，利用等体积法，将点到平面的距离转化为体积问题求解即可.
【详解】对于A，设AC，BD 交于点O，连接
，易知
，又
平面
，
，则
平面
，A 正确；
对于B，多面体
为四棱台，
，设四棱台的高为h，则四棱台
的体
积
，
得
，易知四棱锥
的高
，故
，又
，易知
，
，
所以点O 即为四棱锥P-ABCD 的外接球球心，其半径
，B 错误；
对于C，取OC 中点E，连接
，则
，
平面ABCD，则
即为直线
与底面ABCD
所成的角，
又
，
，
，
，C 正确；
对于D，由
，得
为正三角形，
，又
，
则
，设点B 到平面PAD 的距离为d，
则
，解得
，
所以点B 到平面PAD 的距离为
，D 正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．过点
作圆
的切线，则切线长为___________．
【答案】3
【分析】求出已知圆的圆心、半径，再利用勾股定理求出切线长.
【详解】圆
，即
的圆心
，半径
，
点
，
，
所以所求切线长为
.
故答案为：3
13．已知倾斜角为
的直线l 与曲线
和
都相切，则实数
__________.
【答案】
/
【分析】首先设出切线与曲线
的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲
线
的切点，根据导数的几何意义求实数
的值.
【详解】
，设直线l 与曲线
切于点
，
则
，得
，所以直线l 的方程为
，
设直线l 与曲线
切于点
，则
，
所以点
在直线l 上，故
，得
.
故答案为：
14．已知
是双曲线
上不同的三点，点
关于坐标原点对称，且
，过点
作垂直于
轴的直线分别交双曲线
，直线
于
两点，若
，则
双曲线
的离心率为_____．
【答案】2
【分析】由双曲线第三定义得
，分别找到直线
斜率计算即可
【详解】设
，
，由题意得
，
，
因为
，所以
，
，
又
，即
，两边平方并整理得
，
即
，所以
，
由双曲线第三定义得
，
即
，整理得
，
解得
故答案为：2
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知抛物线
的焦点为
上有一点
到焦点
的距离为3，过焦点
作直线与抛物线交于
两点，
为坐标原点.
(1)求点
的坐标；
(2)求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义解出p 的值，得到点
的坐标；
（2）设直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出直线方程，进而得到
到直线距离，最终求得
的面积
【详解】（1）由抛物线定义可得
，因此
所以抛物线
的方程为
，焦点
的坐标为
（2）
设直线
的方程为
，与
联立，消元可得
，
，
设
，则
，
所以
；
解得
.
所以原点
到直线
的距离为
，
所以
16．（15 分）在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且
．
(1)求A 的大小；
(2)若
，
，试判断
的形状，并求
的面积．
【答案】(1)
(2)等边三角形，
【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式可得
，即可求解，
（2）根据正弦的和差角公式以及辅助角公式可得
，即可根据三角函数的性质求解
的大
小，进而可判断三角形为等边三角形，即可由面积公式求解.
【详解】（1）在
中，由正弦定理得
，
整理得
，
因为
，故
，
又
，故
．
（2）已知
，则
，故
，
，即
，
则
，
，
因为
．则
．故
，
所以，
是等边三角形．
因此
.
17．（15 分）已知等差数列
的公差
，其前n 项和为
，且
，
，
成等比数列，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，且
的前n 项和为
，求证：
（
）．
【答案】(1)
； (2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出
，再结合等比中项列出方程求出公差即可.
（2）由（1）的结论求出
，再利用等差数列前n 项和公式求出
，进而作差推理得证.
【详解】（1）在等差数列
中，由
，得
，解得
，
由
，
，
成等比数列，得
，即
，又
，
解得
，所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）得
，
，即数列
为等差数列，
，当
时，
，
所以
.
18．（17 分）如图，四棱台
的底面为正方形，侧面
为等腰梯形，
，
，
为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值．
(3)在
上是否存在一点
，使
的体积为
，若存在，求
与平面
所成角的正弦值，
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析 (2)
(3)存在，
【分析】（1）由勾股定理可得
，即
，又
，根据线面垂直判定定理可证
平面
，最后由面面垂直的判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，代入公式运算得解.
（3）根据等体积法求出
点的位置，再利用向量法求线面夹角的正弦值.
【详解】（1）由题可知
，所以
，
所以
，
所以
，即
又四边形
是正方形，所以
，
又
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，故平面
平面
；
（2）过点
作直线
平面
，以
为坐标原点建立如图坐标系，
过
作
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，所以
为四棱台
的高，
又
，所以
，
则
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则由
，得
，
令
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则由
，得
，
令
，得
平面的一个法向量为
，
设平面
和平面
的夹角为
，
则
，
所以平面
和平面
夹角的余弦值为
．
（3）假设在
上存在一点
，使
的体积为
，
设
，
所以
，
解得
，所以
，
，
由（2）可知
平面的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以在
上存在一点
，使
的体积为
，此时
与平面
所成角的正弦值为
19．（17 分）已知函数
，
．
(1)令
，求
在点
处的切线方程：
(2)讨论
在
上的单调性；
(3)证明：
（i）当
时，
（ii）
．
【答案】(1)
(2)
在
单调递增． (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）根据复合函数求导得
，进而二阶求导，根据函数的单调性可判断
单调递减，进而可得
单调递减，即可求解,
（3）构造函数
，即可求导得函数的单调性求证（i），根据（i）的结论可证明
，即可结合
求证（ii）.
【详解】（1）
，则
，
，
，
所以
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）
，则
，
记
，
故
设
，则
当
时，
，
单调递减，所以
，即
，所以
单调递减，
所以
，故
在
单调递增．
（3）证明：（i）令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，即当
时
，
所以当
时，
；
（ii）由（i）可知当
时，
，故
，
由于
,则
，故
，
由（2）可知
在
单调递增，
在
单调递减，故
在
单调递减，即
在
单调递减，
故
，所以
