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微专题06 数列中的复杂递推式问题
【秒杀总结】
1、叠加法：
；
2、叠乘法：
；
3、构造法（等差，等比）：
①形如
( 其中
均为常数
) 的递推公式，
，其中
，构造
，即
是以
为首项，
为公比的等比数列．
②形如
(其中
均为常数，
)，可以在递推公式两边同除以
，转化为
型．
③形如
，可通过取倒数转化为等差数列求通项．
4、取对数法：
．
5、由
和
的关系求数列通项
（1）利用
，化
为
．
（2）当
不易消去，或消去
后
不易求，可先求
，再由
求
．
6、数列求和：
（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和
型
（2）倒序相加法
（3）裂项相消法
常考题型
数列的通项公式
裂项方法
等差数列型
是公差为
的等差数列
1
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是公差为
的等差数列
无理型
指数型
对数型
三角型
是公差为
的等差数列
阶乘型
【典型例题】
例1．（2024·安徽六安·高三统考期末）某种生命体M 在生长一天后会分裂成2 个生命体M 和1 个生命体
N，1 个生命体N 生长一天后可以分裂成2 个生命体N 和1 个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发
生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记
表示第n 天生命体M 的个数，
表示第n 天生命体N
的个数，则
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．数列
为递增数列
C．
D．若
为等比数列，则
例2．（2024·浙江·高三瓯海中学校联考开学考试）已知数列
的前
项和为
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
是递增数列
B．
是递增数列
C．
D．
例3．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知数列
中，
，若
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
2
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C．
D．
例4．（2024·全国·高三专题练习）若数列
满足
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
例5．（2024·河北·高三校联考阶段练习）在数列
中，
，
，且
，则实数t
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．6
例6．（2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知数列
满足：对任意
，都有
，
， 设数列
的前
项和为
，若
，则
的最大值为 ．
例7．（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知数列
，
，
．给出下列
四个结论：
①
； ②
；
③
为递增数列； ④
，使得
．
其中所有正确结论的序号是 ．
例8．（2024·河北·高三校联考开学考试）在数列
中，满足
，则
的值为
.
例9．（2024·河北·高三校联考开学考试）菲波纳契数列
又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由
13 世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满
足
.规定
，
.
(1)试证明：
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)试证明：
时，
.
3
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例10．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列
与数列
满足下列条件：①
，
；②
，
；③
，
，记数列
的前
项积为
.
(1)若
，
，
，
，求
；
(2)是否存在
，
，
，
，使得
，
，
，
成等比数列？若存在，请写出一组
，
，
，
；
若不存在，请说明理由；
(3)若
，求
的最大值.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知数列
满足
，且对任意
均有
.记
的前
项和为
，则
（ ）
A．28
B．140
C．256
D．784
2．（2024·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，则满足不等式
的
的值
为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．（2024·全国·高三专题练习）己知正项数列
满足
，
则下列正确的是（ ）
A．
B．数列
是递减数列
C．数列
是递增数列
D．
4．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）已知数列
满足
，
若
，则数列
的前10 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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5．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知数列
满足
，
，令
．
若数列
是公比为2 的等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知数列
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
为递增数列
C．
D．
7．（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现
代物理､化学等领域都有应用．斐波那契数列
满足
，则（ ）
A．
B．
，使得
成等比数列
C．
，对
成等差数列
D．
8．（2024·江西·高三统考期末）已知正项数列
满足
，
，其中
，
则（ ）
A．
为单调递减数列
B．
C．
D．
9．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二
次函数
有两个不相等的实根
，其中
.在函数
图象上横坐标为
的点处作曲线
的切
线，切线与
轴交点的横坐标为
；用
代替
，重复以上的过程得到
；一直下去，得到数列
.记
，且
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
（其中
）
B．数列
是递减数列
C．
D．数列
的前
项和
5
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10．（2024·江苏苏州·高三统考期末）如图，在平面直角坐标系
中，已知函数
的图象为曲
线
，点
在
上，点
在
轴上，且
分别是以
为直角顶点的等腰直角三角形.记点
的横坐标分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为等差数列
D．
11．（2024·浙江温州·高三统考期末）已知数列
满足
，
，若
，
，
，则
的值可能为（ ）
A．－1
B．2
C．
D．－2
12．（2024·全国·统考模拟预测）已知数列
满足
，
，且
，记数列
的前n
项和为
，前n 项积为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
，使得
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2024·江西·高三校联考期末）在1，3 中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3 为数列
1，3 的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3 为数列1，3 的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，
，
，…，
，3 为数列1，3 的第n 次扩展数列，令
，则数列
的通
项公式为 .
14．（2024·北京·高三统考竞赛）整数列
，
，
，对
有
，
为固定正整
数，求使
成立的
的个数
15．（2024·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试）函数
的最小值是
，数列
满足
，
，则数列
的通项公式是 ．
6
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16．（2024·全国·高三专题练习）已知
是各项均为正实数的数列
的前n 项和，
，若
，则实数m 的取值范围是 ．
17．（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）项数为
的有限数列
的各项均
为不小于
的整数，满足
，其中
．给出下列四个结论：
①若
，则
；
②若
，则满足条件的数列
有4 个；
③存在
的数列
；
④所有满足条件的数列
中，首项相同．
其中所有正确结论的序号是 ．
18．（2024·全国·模拟预测）已知数列
前
项和为
，且
，则
.
19．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知数列
满足
，则
，
.
20．（2024·全国·高三专题练习）已知数列
，对
都有
，且
，则
.
21．（2024·江苏·高三统考期末）若数列
满足
，
（
），则
.
四、解答题
22．（2024·北京·高三清华附中校考阶段练习）若无穷数列
的各项均为整数．且对于
，
，
都存在
，使得
，则称数列
满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，
，2，3，…；
②
，
，2，3，…．
(2)若数列
满足性质P，且
，求证：集合
为无限集；
(3)若周期数列
满足性质P，求数列
的通项公式．
7
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23．（2024·广东广州·统考二模）已知数列
中，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记
为
的前
项和，证明：
时，
.
24．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知
是公差不为0 的等差数列，
，且
成等比数列，
数列
，数列
的前
项和
.
(1)求
(2)求
25．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列
满足:
且
.
(1)判断数列
是否为等比数列，并求出
的通项公式；
(2)将数列
中满足不等式
的项数记为
，求数列
的前
项和
.
26．（2024·福建·高三校联考开学考试）已知正项数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前n 项和
，求满足
的正整数n 的集合．
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