文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题07 数列
目录一览
2023 真题展现
考向一 等差数列
考向二 等比数列
考向三 数列综合
真题考查解读
近年真题对比
考向一 等差数列
考向二 数列递推公式
考向三 数列的求和
考向四 数列综合
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 等差数列
1．（2023•新高考Ⅰ•第7 题）记Sn为数列{an}的前n 项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{Sn
n }为等差数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
考向二 等比数列
2．（2023•新高考Ⅱ•第8 题）记Sn为等比数列{an}的前n 项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A．120
B．85
C．﹣85
D．﹣120
考向三 数列综合
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023•新高考Ⅰ•第20 题）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn= n
2+n
an
，记Sn，Tn分别为数列
{an}，{bn}的前n 项和．
（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．
4．（2023•新高考Ⅱ•第18 题）已知{an}为等差数列，bn={
an−6，n 为奇数
2an，n 为偶数
，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前
n 项和，S4＝32，T3＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当n＞5 时，Tn＞Sn．
【命题意图】
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考查等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查等差、等比数列的性质；考查数列的求和方法，
考查根据数列的递推公式求通项公式，考查数列和其他知识结合等综合知识．
【考查要点】
数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关
的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数
等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．
【得分要点】
1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意
1等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
2对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
3注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式
和性质解题；
4当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间
的内在联系.
2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n 项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根
据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：
（一）公式法
①等差数列的前n 项和公式：Sn＝＝na1＋d.
②等比数列的前n 项和公式：
Sn＝
③数列前n 项和重要公式：
（1）
1
n
k
k
1
2
3
n
2
)1
(
n
n
（2）
1
(2
1)
n
k
k
1 3
5
2
1
n
2
n
（3）
3
1
n
k
k
2
3
3
3
)1
(
2
1
2
1
n
n
n
（4）
2
1
n
k
k
)1
2
)(
1
(
6
1
3
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
（5）等差数列中，
m n
m
n
S
S
S
mnd
；
（6）等比数列中，
n
m
m n
n
m
m
n
S
S
q S
S
q S
.
二分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
三裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求
和.
四错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的前n 项和Sn；
(2)基本步骤
(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
Sn－qSn；
②作差后，等式右边有第一项、中间n－1 项的和式、最后一项三部分组成；
③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1 项和看成n 项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．
五倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和
式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n 项和公式的推导便使用了
此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
考向一 等差数列
5．（2022•新高考Ⅱ）图1 是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水
平距离称为步，垂直距离称为举．图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是
举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
＝0.5，
＝k1，
＝k2，
＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1 的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k3＝（ ）
A．0.75
B．0.8
C．0.85
D．0.9
考向二 数列递推公式
6.（多选）（2021•新高考Ⅱ）设正整数n＝a0•20+a1•21+…+ak﹣1•2k﹣1+ak•2k，其中ai∈{0，1}，记ω（n）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
＝a0+a1+…+ak，则（ ）
A．ω（2n）＝ω（n）
B．ω（2n+3）＝ω（n）+1
C．ω（8n+5）＝ω（4n+3）
D．ω（2n﹣1）＝n
考向三 数列的求和
7．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．
规格为20dm×12dm 的长方形纸，对折1 次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm 两种规格的图形，它们
的面积之和S1＝240dm2，对折2 次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm 三种规格的图形，它
们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为
；如果对折n
次，那么
Sk＝
dm2．
考向四 数列综合
8．（2021•新高考Ⅱ）记Sn是公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n 的最小值．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝
（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求{an}的前20 项和．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
10．（2022•新高考Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n 项和，已知a1＝1，{
}是公差为
的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：
+
+…+
＜2．
11．（2022•新高考Ⅱ）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2 的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）证明：a1＝b1；
（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．
重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n 项和，考查错位相减、裂项相消等求和方法。
有时考查数列的创新问题，实际应用问题，与不等式的综合问题，考查划归与转化思想，运算求解能力。
考查形式多样。
一．数列的函数特性（共4 小题）
1．（2023•河南模拟）已知数列{an}的通项公式为
，则当an 最小时，n＝
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
2．（2023•西固区校级一模）数列{an}的前n 项积为n2，那么当n≥2 时，an＝
．
3．（2023•南岗区校级三模）已知数列{an}的通项公式是an＝2n﹣1，记bm 为{an}在区间[m，2m）
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（m∈N*）内项的个数，则b5＝ ，不等式bm+1﹣bm＞2062 成立的m 的最小值为 ．
4．（2023•海淀区校级模拟）已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pk（xk，yk） （k∈N*，k≥2）满
足P1（1，1），
与
（i＝2，3，4…k）中有且只有一个成立．
（1）写出满足k＝4 且满足P4（3，2）的所有点列；
（2）证明：对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
+
＝2k；
（3）当k＝2n﹣1 且P2n﹣1（n，n）（n∈N*，n≥2）时，求
的最大值．
二．等差数列的性质（共4 小题）
5．（2023•安庆二模）已知等差数列{an}满足
+
＝4，则a2+a3不可能取的值是（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．
D．
6．（2023•江西模拟）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物
的剖面图，DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
，且成首项为0.114 的等差数列，若直线OA 的斜率为0.414，则该数列公
差等于（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
7．（2023•阿拉善盟一模）已知{an}是等差数列，Sn是{an}的前n 项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，Sn＞
S3”是“a4＞a3”的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．充要条件
8．（2023•青羊区校级模拟）下列结论中正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，c＜d＜0，则
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．若x＞y＞0 且xy＝1，则
C．设{an}是等差数列，若a2＞a1＞0，则
D．若x∈[0，+∞），则
三．等差数列的通项公式（共3 小题）
9．（2023•武功县校级模拟）已知数列{an}为等差数列，a4＝2，a7＝﹣4，那么数列{an}的通项公式为（
）
A．an＝﹣2n+10
B．an＝﹣2n+5
C．an＝﹣
n+10
D．an＝﹣
n+5
10．（2023•凉山州模拟）在等差数列{an}中，a2+a4＝2，a5＝3，则a9＝（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
11．（2023•雁塔区校级模拟）已知数列
为等差数列，且a1＝1，
，则a2023＝（ ）
A．
B．
C．
D．
四．等差数列的前n 项和（共2 小题）
12．（2023•玉树州模拟）记等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S11＝44，则a4+a6+a8＝（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15
13．（2023•陈仓区模拟）在等差数列{an}中，a6，a18是方程x2﹣8x﹣17＝0 的两个根，则{an}的前23 项的
和为（ ）
A．﹣184
B．﹣92
C．92
D．184
五．等比数列的性质（共4 小题）
14．（2023•玉林三模）已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，若
，则
＝（ ）
A．12
B．36
C．31
D．33
15．（2023•河南模拟）已知数列{an}为等比数列，an＞0，n∈N*，且
，则实数
λ＝（ ）
A．2
B．
C．3
D．
16．（2023•镇江三模）已知a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，且2 和8 为其中的两项，则a5的最小值为（
）
A．﹣64
B．﹣16
C．
D．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
17．（2023•吴忠模拟）已知{an}是等比数列，若a3a7＝3a5，且a8＝﹣24，则a10＝（ ）
A．96
B．﹣96
C．72
D．﹣72
六．等比数列的通项公式（共5 小题）
18．（2023•河南模拟）在等比数列{an}中，若a5＝2，a3a8＝a7，则{an}的公比q＝（ ）
A．
B．2
C．
D．4
19．（2023•南江县校级模拟）在等比数列{an}中，a1+a3＝2，a5+a7＝18，则a3+a5＝（ ）
A．3
B．6
C．9
D．18
20．（2023•山西模拟）已知正项等比数列{an}满足a3﹣a1＝2，则a4+a3的最小值是（ ）
A．4
B．9
C．6
D．8
21．（2023•鼓楼区校级模拟）已知等比数列{an}满足
，则a1+a3＝（ ）
A．
B．
C．
D．3
22．（2023•鼓楼区校级模拟）英国数学家亚历山大•艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同
乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1200 音分，它们的频率值
构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200 个音的频率值构成一个公比为
的等比数列．已知音M 的频率为m，音分值为k，音N 的频率为n，音分值为l．若
，则
k﹣l＝（ ）
A．400
B．500
C．600
D．800
七．等比数列的前n 项和（共3 小题）
23．（2023•周至县一模）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n 项和，若a3a5＝64，且
a5+2a6＝8，则S6＝（ ）
A．128
B．127
C．126
D．125
24．（2023•陈仓区模拟）已知Sn是等比数列{an}的前n 项和，且
，则a1a2+a2a3+⋯+a10a11＝（
）
A．
B．
C．
D．
25．（2023•赣州一模）若等比数列{an}的公比为q，其前n 项和为Sn，前n 项积为Tn，并且0＜a9＜1＜
a8，则下列正确的是（ ）
A．q＞1
B．0＜a1＜1
C．Sn的最大值为S8
D．Tn的最大值为T8
八．数列的应用（共5 小题）
26．（2023•甘肃模拟）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九
连环最少需要移动341 次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周
邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
个圆环最少需要移动圆环1 次，解下2 个圆环最少需要移动圆环2 次，记an（3≤n≤9，n∈N*）为解下
n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且an＝an﹣1+2an﹣2+m（n≥3，n∈N*），则解下8 个圆环所需要移动
圆环的最少次数为（ ）
A．54
B．90
C．170
D．256
27．（2023•池州模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨部所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为
“三角垛”．角垛”的最上层有1 个小球，第二层有3 个小球，第三层有6 个小球设各层球数构成数列
{an}．该数列从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列，则该“三角垛”中第8 层小球个数为（
）
A．21
B．28
C．36
D．45
28．（2023•浉河区校级模拟）三潭印月被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3 个石塔和其周围
水域，石塔建于宋代元四年（公元1089 年），每个高2 米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个
等边三角形，记为△A1B1C1，设△A1B1C1的边长为a1，取△A1B1C1每边的中点构成△A2B2C2，设其边长
为a2，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列{an}，若{an}的前6 项和为
，则△A1B1C1的边
长a1＝（ ）
A．62
B．61
C．31
D．30
29．（2023•石家庄二模）中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发
展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本
末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组
成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50 层，第一层2 个小球，第二层5 个小球，第三层10
个小球，第四层17 个小球，…，按此规律，则第50 层小球的个数为（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．2400
B．2401
C．2500
D．2501
30．（2023•保定二模）我们知道地球和火星差不多在同一轨道平面上运动，火星轨道在地球轨道之外．
当地球和火星与太阳在同一条直线上，这一天文现象称为“冲日”，简称“冲”．假设地球和火星都做
近似匀速圆周运动，火星绕太阳一周约需687 天，地球绕太阳一周约需365.25 天，则相邻两次“冲日”
之间间隔约为 天．（结果精确到个位）
九．数列的求和（共7 小题）
31．（2023•贵州模拟）已知Sn是数列{an}的前n 项和，S3＝273，
，当数
列
的前n 项和取得最大值时，n 的值为（ ）
A．30
B．31
C．32
D．33
32．（2023•徐州模拟）若数列{an}满足
，
，则{an}的前n
项和为
．
33．（2023•郑州模拟）已知数列{an}满足a1＝1，
，数列
的前n 项和为Sn，
若k 为大于1 的奇数，则Sk＝ ．
34．（2023•武鸣区校级二模）已知数列{an}满足a1+a2+…+an﹣1﹣an＝﹣2（n≥2 且n∈N*），且a2＝4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{
}的前n 项和为Tn，求证：Tn＜1．
35．（2023•保定二模）已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝1，若对任意的正整数n 都有2Sn＝2nan﹣
n2+n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{（﹣
）
}的前n 项和为Tn，若s≤Tn﹣
≤t 恒成立，求t﹣s 的最小值．
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）
随着Tn的增大而增大，由此求出
的最大值和最小值，两数之差即为t﹣s 的最小值．
36．（2023•河北三模）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，已知a2＝7，S5＝55．
（1）求an和Sn；
（2）若bn＝
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
（2）bn＝
＝
＝
﹣
，进而求出Tn．
37．（2023•岳麓区校级模拟）已知正项数列{an}满足：a1＝3，且an（
﹣1）＝2（
﹣1）an+1，
n∈N*．
（1）设bn＝an﹣
，求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn＝
+
，求数列{cn}的前n 项和Tn，并确定最小正整数n，使得Tn为整数．
一十．数列递推式（共8 小题）
38．（多选）（2023•开福区校级三模）已知数列{an}的前n 项和是Sn，则下列说法正确的是（ ）
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．若Sn＝an，则{an}是等差数列
B．若a1＝2，an+1＝2an+3，则{an+3}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列
39．（多选）（2023•重庆模拟）对于数列{an}，若a1＝1，
，则下列说法正确的
是（ ）
A．a4＝3
B．数列{an}是等差数列
C．数列{a2n﹣1}是等差数列
D．a2n＝2n﹣1
40．（2023•贵阳模拟）设数列{an}的前n 项和为Sn，当n≥2 时，有（n﹣2）an﹣（n﹣1）an﹣1+a1＝0．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若a1＝20，S4＝56，求Sn的最大值．
41 ．（2023• 沙坪坝区校级模拟）已知数列{an} 满足：an ＝
若a10 ＝
，则m＝（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
42．（2023•泸县校级模拟）已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝1，an+1＝Sn，则an＝
．
43．（2023•河北三模）在数列{an}中，已知a1＝1，an+1＝
，则a8＝
，当n 为
偶数时an＝
．
44．（2023•2 月份模拟）记数列{an}的前n 项和为Tn，且a1＝1，an＝Tn﹣1（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设m 为整数，且对任意n∈N*，m≥
，求m 的最小值．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
45．（2023•武功县校级模拟）设Sn是数列[an}的前n 项和，
．
（1）求{an}的通项；
（2）设bn＝
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
一十一．数列与函数的综合（共3 小题）
46．（2023•新余二模）已知数列{an}中，a1≠0，
，且a3、a11是函数f（x）＝
2x2+19x+20 的两个零点，则a7＝ ．
47．（多选）（2023•湖北二模）已知数列{an}满足a1＝0，
，前n 项和为
Sn，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A．an+an+1≥ln2
B．S2020＜666
C．
D．{a2n﹣1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列
48 ．（2023• 赤峰模拟）①函数f （x ）对任意x∈R 有f （x ）+f （1﹣x ）＝1 ，数列{an} 满足
，令
．
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②数列{an}中，已知
，对任意的p，q∈N*都有ap+q＝ap+aq，令
．
在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计
分）
（1）数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
（2）设Tn＝b1+b2+…+bn，
，试比较Tn与Mn的大小．
一十二．数列与不等式的综合（共6 小题）
49．（2023•海淀区校级三模）已知等比数列{an}，对任意n∈N*，an•an+1＞0，Sn是数列{an}的前n 项和，
若存在一个常数M＞0，使得∀n∈N*，|Sn|＜M，下列结论中正确的是（ ）
A．{an}是递减数列
B．{an}是递增数列
C．
D．一定存在
，当n＞N0时，
50 ．（2023• 黑龙江一模）已知数列{an} 前
n
项和
，数列{bn} 满足
为数列{bn} 的前n 项和．若对任意的n∈N ，n≥1 ，不等式
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
恒成立，则实数λ 的取值范围为 ．
51．（2023•陈仓区模拟）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，2a2+a5＝21，S9＝99．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：
．
52．（2023•全国四模）已知数列{an}的首项
，且满足
．
（1）求证：数列
为等比数列．
（2）若
，求满足条件的最大整数n．
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
53．（2023•岳阳模拟）已知数列{an}的前n 项和为
．
（1）证明数列
是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设
，若对任意正整数n，不等式
恒成立，求实数m 的取值范围．
54．（2023•温州模拟）设Sn为正项数列{an}的前n 项和，满足2Sn＝
+an﹣2．
（I）求{an}的通项公式；
（II）若不等式（1+
）
≥4 对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；
（Ⅲ）设bn＝
（其中r 是自然对数的底数），求证：
．
一十三．等差数列与等比数列的综合（共6 小题）
55．（2023•锡山区校级一模）设等比数列{an}的首项为a1＝2，公比为q（q 为正整数），且满足3a3是8a1
与a5的等差中项；数列{bn}满足
（t∈R，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试确定t 的值，使得数列{bn}为等差数列；
（3）当{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}．设Tn
是数列{cn}的前n 项和，试求T100．
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
56．（2023•广东模拟）已知正项等比数列{an}和其前n 项和Sn满足a5﹣a1＝2S4，a2•a3＝a4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）在am和am+1之间插入m 个数，使得这m+2 个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为
bm，求满足bm＞50 的正整数m 的最小值．
57．（2023•苏州三模）已知数列{an}是公差不为0 的等差数列，a2＝3，且a3，a5，a8成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
，求数列{bn}的前2023 项和．
58．（2023•鲤城区校级模拟）已知等差数列{an}满足（n+1）an＝n2﹣8n+k，数列{bn}是以1 为首项，公比
为3 的等比数列．
（1）求an和bn；
（2）令cn＝
，求数列{cn}的最大项．
59．（2023•葫芦岛二模）已知{an}是各项为正数的等比数列，{bn}为公差是2a1的等差数列，且a2﹣b2＝a3
﹣b3＝b4﹣a4．
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）若an＞bn，求n 的取值范围；
（2）若a1＝1，求集合
中元素的个数．
60．（2023•河西区三模）设{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝1，a3+1 是a2和a8的等比中项，{bn}的
前n 项和为Sn，2bn﹣Sn＝2（n∈N*）．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}的通项公式cn＝
（n∈N*）．
（i）求数列{cn}的前2n+1 项和S2n+1；
（ii）求
．
常见的裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
②根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
③指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
，设
，易得
，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
于是
（7）
④对数型
⑤幂型
（1）
（
2）
（3）
⑥三角型
（1）
（2）
（3）
（4）
，
则
⑦常见放缩公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
．
（11）
．
22
