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培优点 04 极值点偏移问题（2 大考点+强化训
练）
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常
出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移
问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．
【知识导图】
【考点分析】
考点一:对称化构造函数
规律方法 对称化构造函数法构造辅助函数
(1)对结论x＋x>2x型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x－x)．
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(2)对结论xx>x型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二
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是两边取对数，转化成ln x＋ln x>2ln x，再把ln x，ln x看成两变量即可．
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【例1】（2024下·云南·高二云南师大附中校考开学考试）给出定义:设 是函数 的导函数，
是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称 )为函数 的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图象的对称中心.已知函数 的图象的对称中心为 ，讨论函数 的单调性并求极值.
(2)已知函数 ，其中 .
（i）求 的拐点；
（ii）若 ，求证: .
【变式】（2024下·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知函数 （其
中 为自然对数的底数）.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 为两个不相等的实数，且满足 ，求证： .
考点二:比值代换
规律方法 比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，
利用函数单调性证明．
【例2】．（2022·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .
【变式】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
【强化训练】
1．（2024·广东湛江·统考一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个根 ， ，求实数a的取值范围，并证明： ．
2．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若函数 在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数 有两个极值点 ,证明： .3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .若 有两个零点 ，证明：
.
4.(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝xe2－x.
(1)求f(x)的极值；
(2)若a>1，b>1，a≠b，f(a)＋f(b)＝4，证明：a＋b<4.
5. (2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a.
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x，x，则xx<1.
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6. (2023·沧州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax－1(a∈R)．若方程f(x)＋2＝0有两个实根x，x，且
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x>2x，求证：xx>.(参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)
2 1 17. (2023·淮北模拟)已知a是实数，函数f(x)＝aln x－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个相异的零点x，x且x>x>0，求证：xx>e2.
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8．(2023·南宁模拟)已知函数f(x)＝ex－，a>0.
(1)若f(x)过点(1,0)，求f(x)在该点处的切线方程；
(2)若f(x)有两个极值点x，x，且0<x<x，当e<a<时，证明：x＋x>2.
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9．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)＝ln x＋(a∈R)，设m，n为两个不相等的正数，且f(m)＝f(n)＝3.
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：a2<mn<ae2.
