文档文本内容
考前回顾 04 数列（知识清单+易错分析+23 年高考真题+24
年最新模拟）
知识清单
1．牢记概念与公式
等差数列、等比数列(其中n∈N*)
等差数列 等比数列
通项公式 a＝a ＋ ( n － 1 ) d a＝a q n － 1 ( q ≠ 0)
n 1 n 1
①q≠1，S＝＝；
n
前n项和公式 S＝＝na＋d
n 1
②q＝1，S＝na
n 1
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{a}的常用性质
n
等差数列 等比数列
①若m，n，p，q∈N*，且m
①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝
＋n＝p＋q，则a ＋ a ＝ a ＋
m n p s＋t，则a · a ＝ a · a ；
a； m n s t
q
性质 ②a＝a · q n － m ；
②a＝a ＋ ( n － m ) d； n m
n m
③S ，S －S ，S －S ，…仍成
③S ，S －S ，S －S ，… m 2m m 3m 2m
m 2m m 3m 2m 等比数列(S ≠0)
仍成等差数列 m
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
a
n＋1
－a
n
＝d(常数)(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
②通项公式法
a＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列；
n n
③中项公式法
2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n∈N*)⇔{a
n
}是等差数列；
④前n项和公式法
S＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a}是等差数列．
n n
(3)判断等比数列的常用方法①定义法
＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n
②通项公式法
a＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a}是等比数列；
n n
③中项公式法
a＝a
n
·a
n＋2
(a
n
≠0，n∈N*)⇔{a
n
}是等比数列．
3．数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．
(2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c ＝a ＋b 形式的数列求和问题的方法，其中{a}与
n n n n
{b}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
n
(3)通项公式形如a＝(其中a，b，b，c为常数)用裂项相消法求和．
n 1 2
裂项相消法常见形式：
＝－，
＝，
＝，
＝－.
(4)形如{a·b}的数列(其中{a}为等差数列，{b}为等比数列)，利用错位相减法求和．
n n n n
(5)通项公式形如a＝(－1)n·n，a＝a·(－1)n或a＝(－1)n(2n＋1)(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列
n n n
求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．
易错提醒
1．已知数列的前n项和求a ，易忽视n＝1的情形，直接用S －S 表示．作答时，应验证a 是否满足a
n n n－1 1 n
＝S－S ，若是，则a＝S－S ；否则，a＝
n n－1 n n n－1 n
2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±.
3．易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
4．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
5．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．
易错分析
易错点1 忽视公式 的适用条件而导致错误1. [河北 2023 适应考]已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （
）
特别提醒：本题易忽视公式 的适用条件 而导致错误.利用此公式求得 后，一定要验证
时是否满足所求出的 ，若不满足，则要用分段形式来表示.
【解析】
令 ，可得 ， 解得 .
①，
②，
由①-②可得
【答案】
易错点2 混淆等差数列单调性与最值的关系致误
2.[湖南株洲2023联考]等差数列 是递增数列，公差为 ，前 项和为 ，满足 ，则下列说
法正确的是（ ）
特别提醒：（1）若公差 ，则 是递增数列，有 最小值，
此时若 ，则 的最小值为 ，若 ，使 成立的 的最大正整数为 ，则 的最小值为，若恰有 ，则 的最小值为 和
（2）若公差 ，则 是常数列.此时若 ，则 的最小值为 ；若 ，则 的最大值为
.
（3）若公差 ，则 是递减数列， 有最大值，
此时若 ，使 成立的 最大正整数为 ，则 的最大值为 ，若恰有 ，则 的最大值
为 和 ；若 ，则 的最大值为 .
【解析】对于 ，由 ，得 ，即 （关键：根据条件得到首项和公差
之间的关系，由此可消去首项 ，只需借助 的范围进行讨论即可）由于 是递增数列，所以 ，
故 错误；对于 ， ，由于 ，故当
，且 时， 当 时， ，当 ， 时，
因此当 或 时， 最小，故 错误，对于 ，令 ，由于
，故解得 ，且 ，故当 时， 的最小值为8，故 正确.
【答案】
易错点3 未对 的奇偶性进行讨论而致误.
3.[江西上饶2023一模]在数列 中， ， . ，记数列
的前 项和为 ，则 .
特别提醒：（1）由 ，易得数列 的符号规律为 因此在求数列通项
时需对 的奇偶性分类讨论；
（2） 的通项公式应为 ，因此求和时也要对 的奇偶性进行分类讨
论.
【解析】因为所以 ，所以 .
在 中，令 ，则
所以 ，则该数列奇数项是以 为首项，公比为 的等比数列，偶数项是以 为首项，
公比为 的等比数列，
故
【答案】
易错点4 忽视递推公式 满足的条件而致误
4.[山西怀仁一中 2022 期末]已知数列 ， 为 的前 项和， ，则 =
.
特别提醒：在由递推公式 求通项公式时，要注意 这个条件是对数列中的所有
项都满足递推公式，一旦出现 此时 这个条件是对数列中从第二项开始满足
递推公式，在求通项公式的时候一定要进行辨别.
【解析】 ①
②
①-②得 又
所以【答案】
易错点5. 求 前 项和时忽略对 取值的讨论而致误
5.[海南 2022 诊断]在等差数列 中， ， 与 互为相反数， 为 的前 项和，
，则 的最小值是 .
特别提醒：分清楚 取何值时 或 ，当 的各项都为非负数时， 的前 项和等于
的前 项和，当 的各项都为非正数时， 的前 项和等于 的前 项和的相反数，当 的
某些项是正的，某些项是负的时，要对 进行分类讨论，转化成 的前 项和求解.
【解析】设等差数列 的公差为 .
解得
由 得 ，由 得
当 时，
当 时，
当 时，对于函数 ， 当 时 ， 在 上单调递
增
当 时， 为最小值
当 时， ，对于函数 ，
当 时， ， 函数 在 上单调递增，
当 时， 为最小值.
综上所述， 的最小值是6
易错点6 忽视对公比是否为1的讨论而致误
6.[浙江诸暨2022期末]已知等比数列 ，首项为 ，公比为 ，前 项和为 .若数列 是等比
数列，则（ ）
特别提醒：在利用等比数列的前 项和公式时，若其公比 不确定，则应对公比分 和 两种情况
进行讨论.在解题时首先讨论公比 这一特殊情况，再在 的情况下，应用等比数列的前 项和公式
对式子进行整理变形，再进行研究.
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 .
若 ，则 ，由题意可得 ，
即
所以 不合题意，
若 ，则 ，则
由题意可得，
即所以
可得 ，故选
高考真题
一．选择题（共8小题）
1．（2023•全国） 为等差数列的前 项和， ， ，则
A．2 B．11 C．15 D．19
2．（2023•甲卷）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则
A．25 B．22 C．20 D．15
3．（2023•天津）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为
A．3 B．18 C．54 D．152
4．（2023•新高考Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
5．（2023•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．（2023•甲卷）已知正项等比数列 中， ， 为 前 项和， ，则
A．7 B．9 C．15 D．30
7．（2023•北京）数列 满足 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，B．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
C．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
D．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
8．（2023•上海）已知无穷数列 的各项均为实数， 为其前 项和，若对任意正整数 都有
，则下列各项中可能成立的是
A． ， ， ， ， ， 为等差数到， ， ， ， ， ， 为等比数列
B． ， ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， ， 为等差数列
C． ， ， ， ， 为等差数列， ， ， ， ， 为等比数列
D． ， ， ， ， 为等比数列， ， ， ， ， 为等差数列
二．填空题（共4小题）
9．（2023•甲卷）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
10．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前 项和为 ，则 ．
11．（2023•乙卷）已知 为等比数列， ， ，则 ．
12．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质
量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9的数列 ，该数列的前3项成
等差数列，后7项成等比数列，且 ， ， ，则 ，数列 的所有项的和为
．
三．解答题（共8小题）
13．（2023•全国）已知 为等比数列，其前 项和为 ， ， ．（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 ．
14．（2023•乙卷）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
15．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
16．（2023•甲卷）已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
17．（2023•北京）数列 ， 的项数均为 ，且 ， ，2， ， ， ， 的前
项和分别为 ， ，并规定 ．对于 ，1，2， ， ，定义 ， ，
1，2， ， ，其中， 表示数集 中最大的数．
（Ⅰ）若 ， ， ， ， ， ，求 ， ， ， 的值；
（Ⅱ）若 ，且 ， ，2， ， ，求 ；
（Ⅲ）证明：存在 ， ，使得 ．
18．（2023•上海）已知 ，在该函数图像 上取一点 ，过点 ， 作函数 的切线，
该切线与 轴的交点记作 ，若 ，则过点 ， 作函数 的切线，该切线与 轴的交点
记作 ，以此类推 ， ， ，直至 停止，由这些项构成数列 ．（1）设 属于数列 ，证明： ；
（2）试比较 与 的大小关系；
（3）若正整数 ，是否存在 使得 、 、 、 、 依次成等差数列？若存在，求出 的所有取值；
若不存在，请说明理由．
19．（2023•天津）已知 是等差数列， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式和 ；
（Ⅱ）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ．
当 时，求证： ；
求 的通项公式及其前 项和．
20．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ，的前 项和．
（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
最新模拟
一．选择题（共16小题）
1．（2024•江苏模拟）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2024•如皋市模拟）在等比数列 中， ， ，且前 项和 ，则此数列的
项数 等于
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2024•红谷滩区校级模拟）设 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．2 B． C． D．
4．（2024•泰州模拟）在等差数列 中，已知 ， ， ， ，则 是
的
A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．（2024•海淀区校级模拟）设 是等差数列，下列结论中正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
6．（2024•重庆模拟）记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
A． B． C．10 D．12
7．（2024•黑龙江模拟）等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．10 B．70 C．30 D．90
8．（2024•重庆模拟）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一
定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用 表示解下 个圆环所需要最少移
动的次数，数列 满足 ，且 ，则解下5个环所需要最少移动的次数为
A．7 B．10 C．16 D．31
9．（2024•乌鲁木齐模拟）已知数列 满足 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
10．（2024•长沙模拟）数列 的通项公式为 ，若数列 单调递增，则 的取值范围为A． ， B． ， C． D． ，
11．（2024•兴义市模拟）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
12．（2024•龙岗区校级模拟）已知 是等比数列 的前 项和，且存在 ，使得 ， ，
成等差数列．若对于任意的 ，满足 ，则
A． B． C．32 D．16
13．（2024•江西模拟）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数
学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 ，作一个等边三角形
，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 （第一段圆弧），再以点
为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 ，再以点 为圆心， 为半径逆时针画圆
弧 以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为
A． B． C． D．
14．（2024•新会区校级模拟）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且
，下列结论正确的是
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值15．（2024•陕西模拟）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项和为
A． B． C． D．
16．（2024•山东一模）将方程 的所有正数解从小到大组成数列 ，记
，则
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
17．（2024•芝罘区校级模拟）如图，已知点 是平行四边形 的边 的中点， 为边
上的一列点，连接 交 于 ，点 满足 ，其中数列 是
首项为1的正项数列， 是数列 的前 项和，则下列结论正确的是
A． B．数列 是等比数列
C． D．
三．填空题（共5小题）
18．（2024•番禺区校级模拟）应越共中央总书记阮富仲、越南国家主席武文赏邀请，中共中央总书记、
中国国家主席习近平于2023年12月12日至13日对越南进行国事访问，期间，共同探讨了经济、政治等
领域的诸多问题，构建了具有战略意义的中越命运共同体，访问受到了越南各层各界的隆重欢迎，引起了
全世界的广泛关注．“访、越、南”三个汉字的笔画数，经过适当调整能构成一个等差数列，则此等差数
列的公差为 ．19．（2024•海淀区校级模拟）已知 ，4， 成等比数列，且 ，则 ．
20．（2024•吴兴区校级模拟）已知等比数列 中， ，前 项和为 ， 成等比数列，则
．
21．（2024•浦东新区校级模拟）设 ， ， ， ，则数列 的通项公式
．
22．（2024•如皋市模拟）小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有 层
，设第1层的“环境满意度”为1，且第 层 比第 层的“环境满意
度”多出 ；又已知小王有“恐高症”，设第 1 层的“高层恐惧度”为 1，且第 层
比第 层的“高层恐惧度”高出 倍．在上述条件下，若第 层“环境满意度”与“高
层恐惧度”分别为 ， ，记小王对第 层“购买满意度”为 ，且 ，则小王最想买第 层住
宅．
（参考公式及数据： ， ， ，
四．解答题（共11小题）
23．（2024•呼和浩特模拟）甲、乙、丙三名高中生进行传球训练．第一次由甲将球传出，传给乙的概率
是 ，传给丙的概率是 ；乙传给甲和丙的概率都是 ；丙传给甲和乙的概率地都是 ．如此不停地传下
去且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第一次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 ，．
（1）求 ， ， ；
（2）证明： 为等比数列．
24．（2024•茂名一模）设 为数列 的前 项和，已知 是首项为 、公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ， 为数列 的前 项积，证明： ．
25．（2024•南明区校级一模）已知数列 的前 项和为 ．且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中， ，求数列 的前 项和 ．26．（2024•天河区二模）已知数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记 为 的前 项和，证明： 时， ．
27．（2024•九龙坡区校级模拟）已知数列 是由正实数组成的无穷数列，满足 ， ，
， ．
（1）写出数列 前4项的所有可能取法；
（2）判断：是否存在正整数 ，满足 ，并说明理由；
（3） 为数列 的前 项中不同取值的个数，求 的最小值．28．（2024•中山市校级模拟）已知数列 满足 ．
（1）若 为等差数列，求 的通项公式；
（2）记 的前 项和为 ，不等式 对 恒成立，求 的取值范围．
29．（2024•凉州区模拟）已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，
成等比数列
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，若数列 前 项和 ，证明 ．
30．（2024•鼓楼区校级模拟）（理 在平面直角坐标系 中，若在曲线 的方程 中，以 ，
为正实数）代替 得到曲线 的方程 ，则称曲线 、 关于原点“伸缩”，变换
， ， 称为“伸缩变换”， 称为伸缩比．
（1）已知曲线 的方程为 ，伸缩比 ，求 关于原点“伸缩变换”后所得曲线 的方程；（2）射线 的方程 ，如果椭圆 经“伸缩变换”后得到椭圆 ，若射线 与椭
圆 、 分别交于两点 、 ，且 ，求椭圆 的方程；
（3）对抛物线 ，作变换 ， ， ，得抛物线 ；对 作变换 ，
， 得抛物线 ，如此进行下去，对抛物线 作变换 ， ，
，得抛物线 ， ．若 ，求数列 的通项公式 ．
31．（2024•天津模拟）已知 是等差数列， 是公比不为1的等比数列， ， ，
，且 是 与 的等差中项．
（1）求：数列 和 的通项公式．
（2）设 ，求 ．
（3）若对于数列 、 ，在 和 之间插入 个 ，组成一个新的数列 ，记数列
的前 项和为 ，求 ．32．（2024•越秀区校级一模）已知数列 满足 ．
（1）若 为等比数列，求 的通项公式；
（2）若 的前 项和为 ，不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
33．（2024•开福区校级模拟）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合 ，2， ， ，
的函数称为 次置换．满足对任意 ， 的置换称作恒等置换．所有 次置换组成的集合记
作 ．对于 ，我们可用列表法表示此置换： ，记 ，
， ， ， ， ， ．
（1）若 ，计算 ；
（2）证明：对任意 ，存在 ，使得 为恒等置换；
（3）对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27
张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张， ，依次类推．这样操作最少重复几次就能恢复
原来的牌型？请说明理由．
