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专题 03 函数图像与方程问题
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 作图
利用描点法作图的步骤
(1)确定函数定义域；
(2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
(4)描点并作出函数图象.
1．（25-26高三上·云南怒江·期末）已知函数(1)在所给坐标系中，画出 的图象.
(2)求 ， 的值.
2．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
3．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1) ；
(2) ．
4．（25-26高三下·全国·课堂例题）求函数 的单调区间、极值，并画出函数的大致图象.
5．（25-26高三下·天津滨海新区·期中）给定函数 ．
(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)画出 的大致图象；
(3)求出方程 的解的个数．
6．（25-26高三下·山东枣庄·期中）已知函数 .(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)在图中画出函数 的大致图象.
题型02 函数图象的变换
利用图象变换法作图的步骤
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－a)(a＞0)
的图象可由y＝f(x)的图象向右平移a个单位长度而得到.
②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到y＝f(x)＋b的图象；y＝f(x)－b(b＞0)
的图象可由y＝f(x)的图象向下平移b个单位长度而得到.
总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”.
(2)对称变换
①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于y轴、x轴、原点对
称.
② 若函数 的图像关于直线 对称，则对定义域内的任意 都有 或
（实质上是图像上关于直线 对称的两点连线的中点横坐标为 ，即
为常数）；若函数 的图像关于点 对称，则对定义域内的任意 都有
③函数 与 的图像关于 对称.
(3)翻折变换
①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴
上方，上方的部分不变.②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)
在y轴左边的图象，右边的部分不变.
(4)伸缩变换
①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来
的A倍.
②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的
倍.
7．（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数 的图象，只需要把 图象上所有的点
（ ）
A．横坐标变为原来的 （纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．向右平移1个单位（纵坐标不变）
D．向上平移2个单位（横坐标不变）
8．（2026·北京·三模）将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数
的图象．再将 的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数 的图象重合．则
可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．（25-26高三·全国·一轮复习）函数 的图象如图所示，那么函数 的图象是（ ）A． B．
C． D．
10．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的
所有的点（ ）
A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度
B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度
C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度
D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度
11．【多选】（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数 ，则图乙中的图象对应
的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（25-26高三下·河北邢台·开学考试）已知函数 的图象如图所示，则 的图象为
（ ）A． B．
C． D．
13．（25-26高三上·北京通州·期末）函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象与 关
于 轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
14．【多选】（25-26高三上·浙江宁波·期末）以下两个函数 与 ，其中 可以通过 平移
得到的是（ ）
A．
B．
C．D．
题型03 根据实际问题作函数的图象
1. 建模：梳理题干变量关系，列出函数解析式；
2. 限定定义域：结合实际场景，自变量只能取正数、整数或有限区间；
3. 分析图像特征：实际问题常只有第一象限图像，间断离散点、递增/递减、存在最值；
4. 绘图要点：坐标轴标注实际含义，离散点只画实心点，无延伸虚线，结合增减趋势画图。
15．（2025高三上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，
发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中 轴表示该学生离家的距离， 轴表示所用的时间，下列图象与该
同学走法相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（22-23高三上·安徽黄山·开学考试）已知边长为1的正方形 ， 为 边的中点，动点 在正
方形 边上沿 运动，设点 经过的路程为 ， 的面积为 ，则 关于 的函数
的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
17．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线 在初始位置与等边 的底边重合，之后 开始在平面上按逆
时针方向绕点 匀速转动（转动角度不超过 ），它扫过的三角形内阴影部分的面积 是时间 的函数．
这个函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
18．（23-24高三上·安徽·期中）向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻
画容器中水的高度与时间的函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
19．（25-26高三下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，
骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了
终点.用 ， 分别表示乌龟和兔子所行的路程， 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.
题型04 给出函数确定图象
确定函数的图象主要用排除法. 要抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左
右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势. ③从周期性，
判断图象的循环往复. ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 同时要善于抓住图象的特征，定量计算：
从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题.
20．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数 的图象为（ ）
A． B．C． D．
21．（2026·天津西青·三模）已知函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2026·天津北辰·三模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2024·河北衡水·模拟预测）函数 在区间 上的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
24．（2026·山东枣庄·三模）函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型05 给出图象确定函数
由图选式，一般通过图象体现出的性质利用排除法筛选. 与由式选图类似，主要用奇偶性、单调
性、特值、极限等综合分析.
25．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）A． B． C． D．
26．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
27．（2026·四川成都·二模）已知函数 的图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
28．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）A． B．
C． D．
29．（2026·天津·一模）已知函数 的部分图象如下：
则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
题型06 由函数图象确定参数范围
由函数图象，研究其性质，进而确定参数值或范围，体现了由形到数的思维.
30．（2026·江西宜春·一模）已知关于x的方程 有两个不相等的实数解，则正实数m的取
值范围是______.31．（2026·河南焦作·一模）已知函数 若方程 恰有2个实根，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
32．（2026·重庆万州·三模）若直线 与函数 的图象的公共点构成的集合为 ，直线
与函数 的图象的公共点构成的集合为 ，且 只有 个元素，则 的取值范围是
_________________
33．（2026·安徽滁州·三模）已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是_________．
题型07 利用图象研究函数的性质
函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具. 数形结合应以快、准为前提，充分利用
“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透.
34．（2026高三·全国·专题练习）函数 的图像如图所示，其中点 ， ， ， 的坐标分别为 ，
， ， ，则下列说法不正确的是（ ）A． 的定义域是
B． 的值域是
C．
D．只与 的一个值对应的 值的范围是
35．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数 则图象上关于原点对称的点有
（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
36．（2026·山东德州·模拟预测）已知 ， ， 为两两不相等的正数，设函数 ，则
（ ）
A． 没有零点 B． 有唯一零点
C． 至多有一个零点 D． 至少有一个零点
题型08 利用图象解不等式
与指、对、幂混合型函数相关的不等式问题，常通过数形结合转化为函数图象的交点和在交点两侧
图象的上、下位置关系来求解.
37．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数 的图象如图所示，则关于x的不等式
的解集为（ ）A． B． C． D．
38．（25-26高三下·上海浦东新·阶段检测）如图所示为函数 的图象，则不等式 的解集为
________.
39．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数 的定义域是 ，其图象如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
题型09 函数图象的综合应用(1)利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方
程解的个数.
(2)利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交
点，根据题意结合图像写出答案
(3)利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻
找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
40．（24-25高三上·天津和平·阶段检测）已知函数 ，若方程
有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（ ）
A． B． C．4 D．8
41．（25-26高三·全国·一轮复习）对于实数 ， ， ，记 为 ， ， 中的最大者，例如：
， ．若非负实数 ， 满足 ，则 的最
小值为_____．
42．（23-24高三下·上海浦东新·阶段检测）设定义在 上的偶函数 满足 ，它在
区间 上的图像为如图所示的线段 ，则方程 的最大实数根的值为_________．
题型10 求函数的零点三种通用解法：
1. 代数解方程：令 ，直接解方程，方程实数解即为零点；
2. 图像法：画出 图像，图像与 轴交点横坐标为零点；
3. 转化交点法：变形 ，求 与 交点横坐标；
注：零点是实数，不是点，写数值而非坐标。
43．（2026·上海徐汇·二模）函数 的零点是__________.
44．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数 的一个零点为（ ）
A． B． C． D．
45．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）函数 在 上的零点是（ ）
A． B． C． D．
46．（25-26高三上·安徽淮北·期中）写出函数 的所有零点______.
题型11 确定零点所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位
置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两
端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与 轴的交点来确定．
47．（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．48．（2026·天津·模拟预测）方程 的根所在区间为（ ）
A． B． C． D．
49．（2026·陕西西安·模拟预测）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
50．（2026·广东深圳·模拟预测）已知 ，则 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
51．（2026·天津·二模）函数 的一个零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
52．（24-25高三上·四川宜宾·期末）函数 的零点在下列区间内（ ）
A． B． C． D．
题型12 判断函数零点个数
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与 轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个
数。如判断 型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数
和 的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几
个不同的值，就有几个不同的零点．53．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 则函数 的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
54．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线 与 的交点的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
55．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时，
，则方程 的实数根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
56．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，
则当 时，函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
57．（25-26高三上·安徽淮北·期末）函数 是由 图像向左平移 ，横坐标变为原来的 变
换得到，则 与函数 的交点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型13 已知函数零点求值
1. 零点定义转化：零点 满足 ，代入解析式构造含参数方程；
2. 多零点问题：多个零点分别代入，联立方程组求解参数；
3. 二次函数零点：可用韦达定理（根与系数关系）快速建立等式，简化计算。
58．（24-25高三上·广东广州·阶段检测）函数 的零点为1，2，则不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
59．（2025·云南楚雄·模拟预测）若函数 恰好有一个零点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
60．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知 是函数 的零点，则 的
最小值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．5
61．（24-25高三下·贵州黔东南·期中）已知 是函数 的零点，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
62．（2025·云南曲靖·一模）已知 是函数 的零点， 是函数 的
零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2025
题型14 根据零点所在的区间求参数的取值范围
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
63．（25-26高三上·全国·期末）若函数 在区间 上存在一个零点，则实数 的取值范
围是（ ）A． 或 B． C． D．
64．（25-26高三上·上海·阶段检测）若函数 在区间 上存在零点，则常数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
65．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数 的零点 ，则整数 的值
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
66．（25-26高三上·浙江台州·期末）若函数 在区间 各恰有一个零点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
67．（24-25高三上·黑龙江·阶段检测）设函数 在区间 上存在零点，则 的最小
值为（ ）
A．0 B．e C． D．1
题型15 根据函数零点的个数求参数的取值范围
已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用
数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移
项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用
数形结合思想，求得相应的结果．
68．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知方程 恰有四个不等实根，则 的取值范围为
_____.69．（25-26高三下·江苏盐城·期末）若函数 有三个零点，则实数 的取值范围为______．
70．（2026·全国二卷·高考真题）若函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
71．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数 在定义域上恰有三个零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
72．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知关于x的方程 有两个不等实根，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
73．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型16 与零点相关的比较大小问题
与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一
平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定.
74．（2026·福建福州·三模）已知 ，则 的大小关系不可能为
（ ）
A． B．
C． D．75．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数 ， ， 的零点依次
为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
76．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数 ， 与 的零点
分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
77．（2026·湖南湘西·三模）已知 分别为函数
的零点，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
78．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 的零点分别为
，则 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
题型17 求零点的和
1. 二次函数型：两根之和用韦达定理 ；
2. 对称函数型：图像关于直线 对称，成对零点之和为 ；
3. 分段/复合函数：先找出全部零点，分组利用对称性求和再相加；
4. 周期函数零点：结合周期规律，批量计算零点总和。
79．（2026·北京朝阳·一模）已知函数 （ ），则 的所有零点之和为
（ ）A． B． C． D．
80．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数 ，则函数 所有零点之和为
（ ）
A． B．0 C．2 D．4
81．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）函数 的所有零点之和为
______________
82．（2025高三·全国·竞赛）已知 ，则 在 上所有根的和为
_____.
83．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数 的图象关于点 对称，则函
数 的零点之和为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
84．（2025高三·全国·专题练习）若 是 的零点， 是 的零点，
那么 的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
题型18 嵌套函数的零点问题
多层零点由外向内逐层拆解：
1. 设内层 ，原零点 等价于 ，先解出 的所有取值；
2. 对每一个 ，解方程 ，统计每个方程实数解个数；3. 全部解合并即为嵌套函数总零点；
核心：分层转化，先外层、后内层，避免混淆内外变量。
85．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数 ，若 的零点
个数为 ，则实数 取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
86．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数 ，若函数 有8个
不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
87．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数 ．若关于 的方程 有4个不同的实数
根，则实数 的取值范围为_____．
88．【多选】（2026·海南·模拟预测）设函数 的定义域为 ，且 ，则
（ ）
A．函数 的值域为
B．函数 在 上单调递减
C．方程 有3个不同的解
D．若方程 有10个不同的解，则题型19 函数零点的综合应用
零点综合常融合单调性、奇偶、图像、参数、不等式：
1. 零点作为分界点划分单调区间，求解函数不等式；
2. 已知零点个数结合图像求参数范围；
3. 结合对称、周期求区间内零点和、零点个数；
4. 实际应用：利用零点求解最值、盈亏平衡点、交点临界值。
89．【多选】（2026·山西忻州·模拟预测）设函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 的最小值点
B．方程 有且仅有一个实根
C．若 ，则方程 有三个实根
D． 在R上有最大值
90．【多选】（2026·湖北·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 一定有零点
B．曲线 与直线 恒有3个交点
C．若 有3个零点，则它们的和为0
D．曲线 上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形
91．【多选】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数 ，若函数
有三个互不相等的零点 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．实数 的取值范围是B． 的单调递减区间为 ，
C．
D．函数 有4个零点
92．【多选】（2026·福建·三模）已知 为定义在R上的偶函数，且 的图象关于直线 对称，
当 时， ，则（ ）
A．
B．
C．关于x的方程 恰有3个不同的实数解
D．不等式 的解集为
题型20 用二分法求方程的近似解
(1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点
所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x 的近似值的一般步骤如下：
0
①确定零点x 的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
0
②求区间(a，b)的中点c.
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(i)若f(c)＝0(此时x＝c)，则c就是函数的零点；
0
(ii)若f(a)f(c)<0(此时x∈(a，c))，则令b＝c；
0
(iii)若f(c)f(b)<0(此时x∈(c，b))，则令a＝c.
0
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④.
93．【多选】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（ ）A． B．
C． D．
94．【多选】（24-25高三上·河南濮阳·期末）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有
（ ）
A． B．
C． D．
95．【多选】（23-24高三上·浙江宁波·阶段检测）某同学利用二分法求函数 的零点时，
用计算器算得部分函数值如表所示：
则函数 的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58
96．【多选】（24-25高三上·全国·课后作业）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是 ，
则第三次所取的区间可能是（ ）
A． B．
C． D．
97．【多选】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数 ，其中 ， 为某确定常
数，运用二分法研究函数 的零点时，若第一次经计算 且 ，则（ ）
A．可以确定 的一个零点 ，满足B．第二次应计算 ，若 ，第三次应计算
C．第二次应计算 ，若 ，第三次应计算
D．第二次应计算 ，若 ，第三次应计算
