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专题 02 分段函数及抽象函数的应用
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 求分段函数的函数值
①已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行
计算即可，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用.求形如 的函数时，求解时
遵循由内到外的顺序进行；
②已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确
定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；1．（2026·山西晋城·模拟预测）若函数 则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．e
3．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
4．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 （ ）
A．1或3 B． 或1 C．0或 D．1或
5．（2026·浙江·模拟预测）已知函数 若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
6．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 _________．
题型02 分段函数与不等式
分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最
后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响
变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围
并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．7．（2026·江苏南京·模拟预测）已知 ，则 的解是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026·河北邢台·模拟预测）已知函数 则满足 的实数 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2026高三·全国·专题练习）已知 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
10．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 ，若 ，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数 ，则满足 的实数a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．题型03 分段函数图象及其应用
1. 分段作图：按照自变量划分区间，每一段单独绘制对应基础函数图像；区间端点处，包含该点画实心
点，不包含画空心点。
2. 图像应用：利用图像求解不等式、判断单调性、求最值、比较函数值大小、分析零点个数；核心思路
数形结合，将代数问题转化为图像高低、交点问题。
12．（2026高三·全国·单元测试）已知函数
(1)求 ， 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)作出函数 的大致图象，并求 的解集．
13．（2026高三·广东惠州·期中）已知函数 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)若 ，求 的值；(3)作出函数 的大致图象，并求 时， 的值域．
14．（2026高三·天津和平·期中）已知函数 .
(1)求 的值；
(2)在平面直角坐标系中画出函数 的图象；
(3)求关于 的方程 的实数根．
题型04 求分段函数的值域或最值
两种通用解法：
1. 代数法：逐段求出每一段解析式在对应区间的值域，将所有区间值域取并集，即为整个分段函数值
域；逐段求出每段最值，再对比全部最值得到全局最大、最小值。
2. 图像法：画出完整分段图像，竖直观察图像纵坐标范围直接读出值域，图像最高点、最低点对应函数
最值。
15．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
16．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
17．（2026高三·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数 则 的值域是（ ）A． B． C． D．
18．（2026高三·全国·一轮复习）定义 为 中的最小值，设 ，
则 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
题型05 已知分段函数的值域(最值)求参数
逆向综合题型，解题步骤：
1. 按分段区间拆分，分别写出每一段函数的单调区间、最值、取值范围；
2. 结合题目给定的整体值域/全局最值，建立含参数的不等式或等式；
3. 以分段分界点、函数单调性临界点为分类标准讨论参数；
4. 验证参数取值下各段值域合并后与题干条件一致，舍去矛盾参数。
19．（2026·河南周口·模拟预测）若函数 的值域为 ，则实数 的
取值范围（ ）
A． B．
C． D．
20．（2026·河南开封·模拟预测）已知 ，且 ，若函数 的值域为 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数 的值域为 ，则 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
22．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知函数 若 存在最大值，则实数 的最大值
为___________．
23．（2026·北京昌平·模拟预测）设函数 若 存在最小值，则 的一个取值为
____， 的最小值为_____．
题型06 分段函数的单调性及应用
1. 判断分段函数单调递增/递减的充要条件：
①每一段自身在对应区间内单调；
②相邻两段，左侧区间右端点函数值 ≤（递增）/ ≥（递减）右侧区间左端点函数值。
2. 应用题型：利用单调性解分段不等式、比较函数值大小、已知单调性求参数范围；
3. 含参时，既要保证每一段解析式单调，还要满足分段点处函数值大小约束。
24．（2026高三·全国·课后作业）已知函数 ，设 ，则 是（ ）
A．在 上单调递减
B．在 上单调递增
C．在 上单调递减， 上递增
D．在 上单调递增， 上递减25．（2026·湖南常德·模拟预测）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值
是（ ）
A． B．2 C． D．5
26．（2026高三·安徽阜阳·阶段检测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
27．（2026高三·云南楚雄·阶段检测）已知函数 ，在 上单调递增，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 若对任意 ， ，且 ，
都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．（2026高三·全国·专题练习）如果函数 ，满足对任意 ，都有
成立，那么 的取值范围是______．题型07 抽象函数的定义域问题
所谓抽象函数是指用 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键
是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是
一致的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须
用集合或区间来表示.
30．（2026高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知 定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
31．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域是 ，则 的定义域为______．
32．（2026高三·广东佛山·期末）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（
）
A． B． C． D．
33．（2026高三·江西宜春·开学考试）已知函数 的定义域为 ，则函数 的
定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型08 抽象函数的值域问题1. 依托单调性求值域：通过赋值证明抽象函数单调，结合给定自变量区间，判断区间端点函数值，得到
值域；
2. 依托有界性、特殊函数值：利用 、 、奇偶性、周期性限定函数上下界；
3. 复合抽象函数值域：先求内层 范围，再结合 对应法则推出整体取值范围。
34．（2026高三·陕西商洛·阶段检测）已知函数 的定义域和值域均为 ，则函数 的
定义域和值域分别为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
35．（2026高三·浙江·期中）已知 是定义在 上且不恒为 的连续函数，若
， ，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 的周期为 D． 的值域为
36．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，若函
数 的值域为 ，则函数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
37．（2026高三·重庆·阶段检测）已知 满足 ，且 ，则
的值域为_____
38．【多选】（2026高三·浙江金华·期末）已知定义域为 的函数 满足：对任意 ，有，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若存在 使得 ，则 的最小正周期为
C． 为偶函数
D． 的值域为
题型09 求抽象函数的值
核心为赋值法，分三层赋值思路：
（1）基础赋值：令 ，快速求出 等特殊函数值；
（2）变量替换赋值：根据式子结构令 等，构造可消元的等式；
（3）拆分赋值：和型 、积型 ，将目标自变量拆成两数之和/积，代入关系式计算。
39．（2026·湖南·模拟预测）设 是奇函数，且 ，则 ______．
40．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数 满足对任意实数 ，都有
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
41．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足 ．若
，则 的值为______．
42．【多选】（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，， ， 为奇函数，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．
题型10 求抽象函数的解析式
以赋值法、换元构造方程组为主：
1. 赋值法：多次赋特殊值，消去多余变量，直接得到 恒等式；
2. 替换构造方程：将原式中 替换为 ，联立二元方程组消去 或 ，解出 ；
3. 递推型抽象函数：通过赋值得到递推关系，结合等差、等比规律写出解析式。
43．（2026高三·河南·期中）已知定义在 上的函数 满足对任意
恒成立，且 ，则 （ ）
A．200 B．210 C．110 D．220
44．（2026·重庆·模拟预测）已知 是偶函数，对任意 ， ， ；当
时， ．则 的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可）
45．【多选】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）对任意 ，函数 都满足
，则（ ）A．
B．
C． 在 上单调递增
D．直线 是曲线 的切线
46．（2026·辽宁锦州·模拟预测） 是定义在 上的函数，满足 对 都成立，
则 （ ）
A． B． C． D．
47．（2026高三·全国·竞赛）设函数 的定义域为 ，且满足 ，则 的
最小值为_____.
48．（2026高三·福建福州·阶段检测）已知 满足 .若 为增函数，
，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型11 抽象函数的奇偶性问题
“赋值法”探究抽象函数的奇偶性
判断抽象函数的奇偶性的关键是得到 与 的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后
只保留 与 的关系。
注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律.
（1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，（2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。
（3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
49．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
50．【多选】（2026·广西河池·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且
为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 为奇函数 B．函数 为奇函数
C．函数 是偶函数 D．函数 是偶函数
51．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域关于原点对称， ，且
．求证： 是奇函数．
52．（2026高三·江西·阶段检测）已知定义在 上的函数 满足：对于任意的 ，均有
，且当 时， .
(1)求 ；
(2)探究 的奇偶性；
(3)用定义法证明 在区间 上单调递增.
53．（2026高三·广西河池·阶段检测）若函数 的定义域是 ，且对任意的 ，都有成立，且当 时， .
(1)求 ；
(2)判断函数 的奇偶性；
(3)解不等式 .
54．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 对任意实数x，y，均有 ，
，且存在非零常数c，使 .
(1)求 的值；
(2)判断 的奇偶性并证明；
(3)求证 是周期函数，并求出 的一个周期.
题型12 抽象函数的单调性问题
判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试．
f (x+y)=⋯
** 错误的表达式 **若给出的是“和型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：
f (x )−f (x )=f ((x −x )+x )−f (x ) f (x )−f (x )=f (x )−f ((x −x )+x )
2 1 2 1 1 1 或 2 1 2 1 2 2 ；
f (xy)=⋯
** 错误的表达式 **若给出的是“积型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：
x x
( ) ( )
f (x )−f (x )=f x ⋅ 2 −f (x ) f (x )−f (x )=f (x )−f x ⋅ 1
2 1 1 x 1 2 1 2 2 x
1 或 2 ．55．【多选】（2026高三·广东江门·期中）定义在 的函数 满足 ，
当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．函数 在 上是增函数 D．不等式 的解集为
56．（2026高三·广东深圳·期中）设定义在 上的函数 满足：①对 ，都有
；②当 时， ；③不存在 ，使得 .
(1)求证： 为奇函数；
(2)求证： 在R上单调递增；
57．（2026高三·广东深圳·期中）函数 的定义域为 ，对 ， ，都有
；且当 时， ．已知 ．
(1)求 ， ；
(2)判断并证明 的单调性；
(3)解不等式： ．
58．（2026高三·广东·期中）已知函数 对任意实数 ， ，都有 成立，且当
时， .
(1)证明：对任意实数 ， ， ；(2)求证： 是 上的增函数；
(3)若命题 ， 为假命题，求实数 的取值范围.
59．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在 上的函数 满足：对任意 都有
，当 时，有 ．
(1)判定 在 上的奇偶性，并说明理由；
(2)判定 在 上的单调性，并给出证明；
(3)求证： ；
题型13 抽象函数周期性问题
抽象函数周期性的常用结论（ 是不为0的常数）
1、若 ，则 ；
2、若 ，则 ；
3、若 ，则 ；
4、若 ，则 ；
5、若 ，则 ；注： ；（ 为常数）
6、若 ，则 （ ）；60．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，则
（ ）
A．0 B． C．2 D．4
61．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，
则 （ ）
A． B． C．1 D．2
62．（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，且
，则 ______.
63．（2026·重庆·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 ，
，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
64．（2026高三·全国·专题练习）若函数 的图像关于两直线 ， （ ）对称，证明：
函数 具有周期性．
65．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且它的图象关于直线 对称．
(1)求证： 是周期为4的周期函数；
(2)若 ，求 时，函数 的解析式．
66．（2026高三·浙江宁波·期中）已知 是定义在 上的函数，对 、 都有
，且满足 .
(1)判断函数 的奇偶性，并证明之；(2)证明： ；
(3)求 的值.
题型14 抽象函数的对称性问题
抽象函数的对称性
（1）轴对称：
①函数 关于直线 对称
②函数 关于直线 对称 .
（2）中心对称：
①函数 关于点 对称 ；
②函数 关于点 对称
9.函数的奇偶性和对称性的关系：
（1）若 为奇函数，则 关于 对称；
（2）若 为偶函数，则 关于 对称；
（3）若 为奇函数，则 关于 对称；
（4）若 为偶函数，则 关于 对称.
67．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ， 是奇
函数， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．9
68．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在 上的函数 的图象关于 对称，且，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
69．（2026高三·福建龙岩·开学考试）已知函数 的定义域为R，且 ，
， 为偶函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
70．【多选】（2026·福建泉州·模拟预测）已知定义在 上的连续函数 的导函数是 ，且满足
， 为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．若 是 的一个极值点，则函数 在区间 至少有7个零点
题型15 解抽象不等式
解题三步流程：
1. 标准化：将不等式两侧化为 与 的形式，统一只有一个 符号；
2. 利用单调性脱 ：单调递增则 ，单调递减则 ；
3. 补齐定义域： 均要满足抽象函数自身取值范围，联立不等式组求解。补充：结合奇偶、周期性先化简自变量，再脱外层 。
71．（2026高三·湖南长沙·阶段检测）定义在 上的函数 满足：对任意 ， 且 ，
，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
72．（2026高三·广东·阶段检测）设 的定义域为 ，对任意 ，都有 ，
且当 时， ，又 ．则下列结论中，错误的是（ ）
A．
B．
C． 在 上为增函数
D． 解集为 或
73．（2026高三·四川成都·期中）函数 是定义在 上的偶函数，且 增函数，若对任意
，均有 ，则实数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
74．【多选】（2026高三·江苏苏州·阶段检测）已知定义在R上的函数 满足对任意的 ，都有
，当 时， ， ，则（ ）A． B．
C． 在R上单调递增 D． 的解集为
75．（2026高三·全国·期中）设奇函数 的定义域为 ，对任意的 ，且 ，都有不
等式 ，且 ，则不等式 的解集是____________
76．（2026高三·云南昆明·期末）已知函数 定义域为 ， 对任意两个不相等的实数 ， 都
有 成立.则不等式 的解集为______.
77．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，若函数 在
上单调递增，则不等式 的解集为_____．
题型16 抽象函数比较大小
1. 转化自变量：借助周期、奇偶性，将待比较自变量全部转化到同一个单调区间内；
2. 利用单调性：同一单调区间内，自变量大小直接对应函数值大小；
3. 特殊值辅助：求出 等中间值，分层对比多个函数值。
78．（2026高三·广东江门·期中）设偶函数 在区间 上单调递增， 则 、
的大小关系为：__________________（用大于号连接）；
79．（2026高三·广西柳州·开学考试）设偶函数 的定义域为 ，在区间 上单调递减，则（ ）A． B．
C． D．
80．（2026高三·湖南邵阳·期末）已知函数 是定义在 上的奇函数， ，且 ，有
成立．设 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
81．（2026高三·山西太原·开学考试）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递
增，若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
82．（2026高三·江苏泰州·阶段检测）已知定义在 上的奇函数 ，且当 时 是增函数，设
， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
83．（2026高三·重庆·阶段检测）已知函数 定义域为 ，满足 为偶函数，当
且 时有不等式 恒成立，设 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
84．【多选】（2026高三·云南昭通·期末）已知定义在 上的函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① 为偶函数；② 为 上的增函数；③ ，下列选项成立的是（ ）
A． 的单调递减区间为
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
题型17 抽象函数的最值问题
1. 锁定单调区间：通过赋值证明单调性，确定区间端点为最值点；
2. 利用有界条件：结合奇偶、周期、 恒等式推导函数上下界；
3. 存在性验证：确认取到最值时对应的自变量在定义域内，方可确定最值。
85．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其图象是连续曲线，对任意的正实数 ，
在 上是增函数，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上不单调
C． 可能存在最大值 D． 可能存在最小值
86．（2026高三·贵州·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，满足
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程 有解
C．函数 在定义域内单调递减 D． 的最小值为 287．（2026高三·全国·一轮复习）已知定义在 上的函数 ，集合 对于任意的
，在使得 的所有 中，下列说法成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取到最大值
C．存在 在 上单调递增 D．存在 在 处取到极小值
题型18 抽象函数的零点问题
零点即 的解，解题思路：
1. 赋值求基础零点：令 快速找到初始零点；
2. 结合周期/对称：由已知零点推出全部零点；
3. 限定区间求零点个数：结合单调性、周期性，统计给定区间内零点数量。
88．（2026高三·福建泉州·阶段检测）已知定义在 上的函数 满足 ，
且 ，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 有零点 D．
89．（2026·上海嘉定·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且
，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 有零点 D．90．（2026高三·云南曲靖·期末）已知定义在 上的函数 满足 ，且
，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 不存在零点 D．
91．【多选】（2026高三·河南·阶段检测）已知函数 是定义在 上的可导函数， ，且
，则（ ）
A．曲线 关于点 中心对称
B． 在R上单调递增
C．
D．函数 的所有零点之和为
92．【多选】（2026高三·江苏无锡·期末）函数 在R上的图象是一条连续不断的曲线，
， ，则（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D． 零点个数大于1
93．【多选】（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数 是 上的奇函数，且过点 ，对于一切正实数
，都有 ． 当 时， 恒成立，则（ ）
A．B． 在 上是单调函数
C． 有三个零点
D．当 时，
题型19 双函数混合型
题干同时给出 两个抽象函数关系式（常一奇一偶）：
1. 替换 构造二元方程组，联立消元分别求出 解析式；
2. 综合问题：求函数值、解不等式、比较大小时，分开利用各自奇偶、单调、周期性质；
3. 零点、值域综合：分别分析两个函数性质，再结合复合、加减运算推导整体特征。
94．【多选】（2026·山东青岛·模拟预测）函数 ， 的定义域为 ， 为偶函数且恒大于0，
， ， ， ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．对于任意 ，点 到直线 与 的距离之积为
95．【多选】（2026·广东佛山·模拟预测）定义域关于原点对称的函数 ， 满足， ， 为偶函数且 ，
则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D．若 ，则
96．【多选】（2026高三·安徽黄山·期中）已知 均是定义域为 的非常值函数，且满足
， ，则（ ）
A． B．
C． D． 为奇函数
97．【多选】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知定义在 上的偶函数 满足 ，
，设 在 上的导函数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
98．【多选】（2026·安徽·模拟预测）已知函数 ， 的定义域为 ， 为偶函数且
， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
99．【多选】（2026高三·湖南长沙·期中）已知函数 ， 定义域均为 ， 为偶函数，
为奇函数，且 ，则（ ）A． B．函数 图象关于点 对称
C． D．当 时，
