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专题 02 幂函数、指数函数与对数函数
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 指数与对数的化简求值
1、指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式 化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，
然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．
1．（2026·吉林长春·二模）已知实数 ，若 且 ，则
（ ）
A．9 B．21 C．27 D．30【答案】D
【解析】设 ，则 ，由于 ，则 ，
故由 可得 ，即 ，解得 ， 舍去，
故 ，即得 ，
又 ，则 ，即 ，结合 ，得 ，
故 ，则 .
2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 ，则 ___________．
【答案】8
【解析】由 ，可得 ，由 ，可得 ，所以 ．
3．（2026·山西临汾·二模）已知 （ ，且 ），则 ______．
【答案】
【解析】已知 （ ，且 ），令 ，则 ， ，解得 ，
， ；
，
．
4．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）若 ，且 ，则 ______．
【答案】3
【解析】由 可得， ，
则 ，
因为 ，且 ，
所以 ，即得 ，解得 或 （不符合题意舍去），
故答案为：3.
题型02 幂函数的图象问题
对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区
域．根据a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
5．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知幂函数 的图象过点 ，则
（ ）
A．16 B． C． D．8
【答案】A
【解析】依题意，幂函数为 ，
因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，即 ，
即 ，解得 ，所以 ；
又 ，所以 .故选：A.
6．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知幂函数 的图象经过点 ，则函数 的图象大致为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】设幂函数解析式为 ，
由题意： ，则 ，即 ，定义域为 ，
且当 时，函数单调递减，
结合选项只有B符合，故选：B
7．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知幂函数 的图象与坐标轴没有交点，则
__________.
【答案】
【解析】因为 为幂函数，所以 ，解得 或 ，
当 时 与 轴、 轴均有交点，故不符合题意；
当 时 ，定义域为 ，与 轴没有交点，
又 恒成立，所以 恒成立，所以与 轴没有交点，符合题意.
所以 .
8．（2025·新疆喀什·模拟预测）（多选）下列关于幂函数的论述正确的是（ ）
A．若 ，则幂函数 的图象是一条直线
B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同
C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点
D．幂函数的图象一定经过点 ，且一定不经过点
【答案】CD
【解析】对于A，当 时，幂函数 的定义域为 ，其图象是直线 除去点 ，
故A错误；
对于B，幂函数 的图象有三个公共点 ，这两个函数不相同，B错误；
对于C，幂函数图象一定过点 ，当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称，
则该幂函数图象必过点 ，C正确；对于D，幂函数的图象一定经过点 ，且一定不经过点 ，D正确.
故选：CD
题型03 幂函数的单调性与奇偶性
1、幂函数的图象特征及单调性：
（1） 时，在第一象限快速上升，单调递增；
（2） 时，在第一象限缓慢上升，单调递增；
（3） 时，在第一象限下降，单调递减．
2、幂函数的奇偶性
（1）若 为偶数，函数为偶函数；
（2）若 为奇数，函数为奇函数；
（3）若 为分数，需检验定义域对称性．
9．（2026·云南玉溪·模拟预测）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，因为 和 都是定义在 上的增函数，所以 是增函数，
又 ，所以 为奇函数，A符合；
对于B，由反比例函数性质可知， 在定义域内不单调，B不符合；
对于C，由对勾函数性质可知， 在定义域内不单调，C不符合；
对于D，因为 ，所以 ，所以 是偶函数，
由幂函数性质可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，D不符合．
10．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知幂函数 是偶函数，则实数
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D【解析】由 ，解得： 或 ，
当 时， ，偶函数，
当 时， ，奇函数，
又 是偶函数，则 ，故选：D.
11．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数 在 上单调递减，则实数m的值为
（ ）
A．0或1 B． 或1 C．1 D．0
【答案】C
【解析】由于 为幂函数，所以 ，解得 或 ，
又函数 在 上单调递减，
所以 ，即
故当 时 符合条件．
12．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围
是_______.
【答案】
【解析】由 在 上单调递增，而 ，所以 .
题型04 二次函数的单调性与最值问题
二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不
论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关
系进行分类讨论．
13．（2026·江苏·二模）函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 在 上单调递增，符合题意，则 ；当 时，由函数 在 上是增函数，得 且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .故选：D
14．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数 ，若对于区间 上的任意两个
不相等的实数 ， ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】二次函数 图象的对称轴为直线 ，
∵对于任意 ， 且 ，都有 ，即 在区间 上是单调函数，
∴ 或 ，
∴ 或 ，即实数 的取值范围为 ．故选：C．
15．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，可知 在 上单调递减，且 ，
要使函数 在 上单调递增，只需函数 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，符合题意；
当 时， 图象开口向上，对称轴 ，所以 ，即 ，
当 时， 图象开口向下，对称轴 ，
此时 在 上单调递减，符合题意，
综上，则 的取值范围是 ．故选：B．
16．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知函数 ，且 ， 的最
小值为 ．(1)求a，b的值；
(2)记 在 上的最大值为 ，求 的最小值．
【答案】(1) ， ；(2)0
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 的最小值为 ，所以 ，解得 ．
（2）由（1）知 ，其图象的对称轴为直线 ，
因 在 上的最大值为 ，
则当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ，
所以
当 时， ；
当 时， （仅当 时等号成立），
所以 的最小值为0．
题型05 指数函数的定点与图象问题
指数函数的图象需要注意以下几个特征：
（1）指数函数的图象所过的关键点为 ， ， ；
（2）函数图象与坐标轴的交点位置；
（3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。
17．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数 （ ，且 ）的图象恒过定点P，则点P
的坐标为______．
【答案】
【解析】令 ，解得 ，此时 ，所以函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ．
故答案为：
18．（2025高三上·河南开封·专题练习）若函数 的图像不经过第二象限，求实数 的取值范围
为___________．
【答案】
【解析】因为 在定义域 上单调递增，
又 的图像不经过第二象限，
所以当 时 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
19．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）函数 且 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，则函数 需向下平移 个单位，不过 点，所以排除A，当 时，
有 ，所以排除B，当 时，有 ，所以排除C，故选D.
20．（2026·河北沧州·一模）（多选）若函数 的图象经过第二、三、四象限，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】若函数 的图象经过第二、三、四象限，则 的图象如下图所示：函数 单调递减，所以 ，所以 ，
由题意可知 ，解得 ，所以 ， ，故选：AC.
题型06 指数函数的单调性及应用
1、利用指数函数的单调性比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可借助中间
量；
2、求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题
时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
21．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
是指数函数，且在 上单调递增，
是二次函数，图象开口向下，对称轴为 ，且在 上单调递增，在 上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则， 的单调递增区间为 ．.
22．（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，由指数函数性质知： 在 上单调递减．
根据复合函数“同增异减”， 在 上单调递增，
则 在 上单调递减．
二次函数 的对称轴为 ，
单调递减区间为 ，
故 ，即 ．
23．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 为 上的增函数，
所以由复合函数的单调性知 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，满足题意；
当 时， 在 上单调递减，则 ，解得 .
综上， .
24．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，
得 的图象关于直线 对称，
设 ，则 ，因为 在 上单调递增，且 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
由 ，可得 ，
所以 ，整理得 ，
解得 或 ．
题型07 指数函数的奇偶性及应用
标准指数函数本身无奇偶性，题目通常通过复合或对称化构造来设计相关考点．
常见的三种类型： 、 、
25．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 为偶函数，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 且 ，故 .
26．（2026·江苏·模拟预测）若函数 （ 且 ）是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由偶函数可知 ，即 ，
化简得 ，即 ，即 .27．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数 （ ）是奇函数，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．9
【答案】D
【解析】由题知， ， 定义域为 ，
由 是奇函数得 （负根舍去），
则 ， ，符合题意．
故 .
28．（2026·湖南常德·二模）已知函数 为奇函数，则实数 ______．
【答案】1
【解析】由题意可得 对定义域内的任意 恒成立，故
，因此 ，
化简可得： 对定义域内的任意 恒成立，
由于 是变化的，因此 ，故 .
题型08 指数型函数的值域问题
y f(ax) a0 a 1
1、形如 （ ，且 ）的函数求值域
ax t f(t) t
换元法：令 ，将求原函数的值域转化为求 的值域，但要注意“新元 ”的范围．
2、形如y
afx
（a0，且a 1）的函数求值域
f x f x y a y afx
换元法：令 ，先求出 的值域，再利用 的单调性求出 的值域．
29．（25-26高三上·河南·期中）已知函数 在区间 上的值域为 .若 ，
则 的值为（ ）A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】函数 ，
则 ，
因此函数 的图象关于点 对称，
函数 在 上都单调递增，
因此函数 在 上单调递增，
则 ，而 ，
所以 .故选：B
30．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数 的最大值为2，则 ______．
【答案】
【解析】设 ，则 ．
因为 为减函数，又 有最大值为2，所以 有最小值 ．
二次函数有最小值所以开口向上，因此 ，
二次函数的最小值 ，所以 ，解得 ．
31．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数 的最小值为 ，则实数 的值是
（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】设 ，则 ，函数 等价于函数 ．
令 ，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线 ．
当 ，即 时， 在 上单调递增，此时无最值，不满足题意；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
或 （舍去）．
所以实数 的值是 .32．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数 分别为定义在 上的奇函数和偶函数，
且满足 ．
(1)求 的解析式；
(2)设函数 ，求 在 上的最小值，并求对应的 的值．
【答案】(1) ；(2)最小值为0，
【解析】（1）由题意得 ，
因为 分别是 上的奇函数和偶函数，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）可知 ，
令 ，当 时， ，
故 ，
由对称轴 ，可得 时， 取得最小值0，
此时 ，解得 ，即 ，
所以 在 上的最小值为0，此时 ．
题型09 对数函数的定点与图象
对数函数的图象识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高
点、最低点等）排除不符合要求的选项．
（2）一些对数型方程、不等式问题长转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
33．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数 且 的图象经过定点 ，则
点 的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．3【答案】C
【解析】当 ，即 时，对任意 且 ，恒有 ，即 的图象过定点 ，
所以点 的横坐标为2.故选：C
34．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数 （ 且 ）的部分图象如图所
示，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】由函数图像知， 在定义域内单调递减，所以 ，
根据图像可知函数 的图像是把 的图像向左平移小于1个单位得到的，
所以 ，解得 .
35．（2026·贵州毕节·二模）已知函数 的图象过点 ，且无限接近直线
，但又不与该直线相交，则 的值为（ ）
A． B．4 C． 或 D．
【答案】A
【解析】由题知， ，即 ，
又 ，则 ，解得 ，
由对数函数性质， 无限接近 ，
则 时， ，即 ，
故 ，解得 ，则
36．（25-26高三下·重庆·开学考试）（多选）若 （ ，且 ），则函数
的大致图象可能为（ ）A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】当 时， ，
即 ，解得 ，
对于函数 ，即 是增函数，
，排除C选项，D选项符合.
当 时， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
对于函数 ， 是减函数，
，排除A选项，B选项符合.
题型10 对数函数的单调性及应用
1、解简单对数不等式的方法
（1）形如 的不等式：借助 的单调性求解，如果 的取值不确定，需分
或 两种情况讨论；
（2）形如 的不等式：将 化为以 为底的对数式的形式，再借助 的单调性求解；
（3）形如 的不等式：可利用图象求解．
2、解决对数型复合函数单调性问题的思路
（1） 型：函数 的单调性与函数 的单调性在 时相
同，在 时相反；（2） 型：用换元法，即令 ，则只需研究 及 的单调性即可
37．（24-25高三下·山西太原·阶段检测）函数 的单调递增区间是______．
【答案】
【解析】 的真数大于 ，即 ，
或 ，
的定义域为 ，
设 ， ，
则 是由 和 复合而成的，
为 上的单调递减函数，
要求 的单调递增区间，
就是求 在 和 范围内的单调递减区间，
的开口向上，对称轴为 ，
在 范围内是单调递减函数，
的单调递增区间为 .
故答案为： .
38．（25-26高三上·广东惠州·期末）设函数 ，则 （ ）
A．在 单调递增 B．在 单调递减
C．在 单调递增 D．在 单调递减
【答案】C
【解析】函数定义域为 ，故排除A、B，
对于C，D，由复合函数的单调性知 在 上单调递增，
且 在 上单调递增，则 在 单调递增，C正确，D错误；故选：C.
39．（2026·河北沧州·一模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 在区间 上单调递增，
令 ，而函数 在定义域内单调递减，
所以 在区间 上单调递减，
又因为 ，有 恒成立，
则 ，求解可得
所以 ．故选：D
40．（2026·山东聊城·模拟预测）若 ，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】 满足底数 且 ，
由 ，可得 或 ，结合 且 ，可得 ，
故由 ，可得 ，即 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围是 .
题型11 对数函数的奇偶性及应用对数函数的奇偶性分析是函数性质中的特殊考点，因其定义域天然不对称（ ），标准对数函数本
身无奇偶性，实际题目常通过构造复合函数或对称变换来设计，需要灵活应对．
类型（1）复合函数，如 ，需先分析 的性质．
类型（2）对称变换，如 或 ，通过构造对称定义域．
41．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知 是奇函数，则实数 的值为
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为函数 是奇函数，
则 ，可得 ，
则 ，可得 ，
且 ，所以 ．故选：C.
42．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数 是奇函数，则 ______.
【答案】
【解析】由 得 ，
因为函数 是奇函数，所以定义域关于原点对称，
则方程 根互为相反数，所以 ，所以 ，
所以函数 的定义域为 ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 .
此时 ，定义域为 ，且满足 ，
所以 .
43．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数 是偶函数，则 ________．【答案】0
【解析】因为 是偶函数，且定义域为 ，
所以 对 恒成立，
所以 ，即 对 恒成立，
即 对 恒成立，解得 ．
故答案为：0.
44．（2026·山东威海·二模）已知函数 为偶函数，则 ________．
【答案】1
【解析】因为函数有意义，则 ．
若 ，则 ，此时定义域为 ，
不关于原点对称，不符合偶函数定义，故 ．
当 时，临界点为 和 ，定义域为 或 ．
因为 为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即 ，解得 ．
当 时，定义域为 ．
对任意 ，有 .
所以 ．
题型12 对数型函数的值域问题
y f(log x)
a0 a 1
1、形如 a （ ，且 ）的函数求值域
log xt log xt y f t y f t
换元法：令 a ，先求出 a 的值域，再利用 的单调性，再求出 的值
域．
y log f x
a0 a 1
2、形如 a （ ，且 ）的函数的值域
f x f x y log y log f x
换元法：令 ，先求出 的值域，再利用 a 的单调性，求出 a 的
值域．45．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）函数 的最大值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．13
【答案】B
【解析】令 ，可得 ，
可得函数 的最大值为9.
46．（2026·河南·模拟预测）已知函数 是偶函数，则函数 的值域为
__________．
【答案】
【解析】 ，
即 ，
，解得 ，
，
则 ，解得 ，
的定义域为 ，
又因为 ， ，
即函数 的取值范围是 ．
47．（2026·全国·三模）若函数 （ 且 ）的最大值为3，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】由 ，得 ，则 的定义域为 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且当 ， ，
其值域为 ，
而函数 在 上单调递增，
因此函数 的值域为 ，当 时，函数 在 上单调递减，值域为 ，
无最大值，不符合题意；
当 时，函数 在 上单调递增，
当 时， ，解得 ，符合题意，
所以 .故选：B
48．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数 ，若 的值域为 ，则实数
的最小值为______.
【答案】
【解析】由函数 的值域为 ，得 的值域包含 ，
当 时， 显然不满足题意，故 ，
则函数 ，图象开口向上，且与 轴有公共点，
于是 ，解得 ，所以实数 的最小值为 .
故答案为：
题型13 指对幂比较大小问题
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用
函数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一
些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系．
49．（2026·重庆北碚·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造指数函数 ，底数 ，所以 单调递减，即 ；
，即 .
50．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设 ，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【答案】B
【解析】 ，
由幂函数 在 上单调递增，得 ，即 ；
由指数函数 在 上是单调递减，得 ，即 ；
.
51．（2026·河南南阳·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ， ，
因为 在 上为增函数， ,
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，即 故选：D
52．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知 ，若 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， ，则有 ， ，
由 ，有 ，
由 ，得 ，即 ，
则有 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 .
题型14 指数与对数函数综合问题
解答指数、对数、幂函数综合解答题时，首先先锁定对数真数、底数的取值限制确定定义域，若底数含
参数则分a>1与0<a<1两类讨论，运算阶段统一指对形式、借助换元简化复合结构，求解复合函数单调
区间严格遵循定义域优先与同增异减法则，求值域时先算出内层函数范围，内层为二次函数则结合闭区
间二次函数最值确定边界；比较混合式数值大小以0、1为中间量分层判断，求解指对不等式统一底数后依据底数范围调整不等号，对数不等式联立定义域取交集；处理恒成立、存在性求参问题优先参变分
离转化为函数最值问题，也可结合函数图象数形结合分析，全程验证等号成立条件，规避忽略定义域、
底数分类不全、不等号方向出错等典型失分问题。
53．（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）函数 是定义在 上的偶函数，则 在
的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】由 是偶函数，得 对 成立.
，
所以 ， ，
整理得 恒成立，故 .
此时 ，区间为 .
因 是偶函数，仅需分析 的情况，
当 时， ， 非负且单调递增，
非负且单调递增，故 在 时单调递增，
最大值为 .故选：D
54．（24-25高三上·广东中山·阶段检测）已知函数 的定义域 .
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，判断 的奇偶性，并解关于 的不等式 .
【答案】(1) ；(2)偶函数，
【解析】（1）因为函数 的定义域为 ，
所以 恒成立，
令 ，则 ，所以 在 上恒成立，
即当 时， 恒成立，根据对勾函数性质知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 .
（2）当 时， ，易知 的定义域为 ，
因为 ，
所以 为偶函数.
当 时， ，
令 ，
因为函数 在 上单调递增，且 在定义域上为增函数，
所以函数 在 上单调递增，
又因为函数 在定义域上为偶函数，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 .
55．（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）设函数 .
(1)求函数 的定义域，判断函数 的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数 的单调性；（不必说明理由，给出结论即可）
(3)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，奇函数，理由见解析；(2)函数 在定义域 上为单调递增函数；
(3) .
【解析】（1）由题 即 ，解得 ，所以函数 的定义域为 .
函数 为奇函数，理由如下：
函数 的定义域为 关于原点对称，
且所以函数为 奇函数；
（2）函数 在定义域 上为单调递增函数，理由如下：
因为函数 ，
又因为 、 在 上均单调递减， 为增函数，
所以 与 在 上均单调递增，
所以函数 在定义域 上为单调递增函数；
（3）因为 ，且函数 在定义域 上为单调递增函数，
所以若 ，则 ，解得 或 ，
满足题意的实数 的取值范围为 .
56．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知 ， ．
(1)求不等式 的解集；
(2)设函数 ，若存在实数x，使得 成立，求实数m的取值范围；
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由 可知函数 的定义域为R，
因 ，
结合对数函数的单调性可得， ，即 ，
解得 ，得 ，
故不等式 的解集为 .
（2）由题可得 ，
因存在实数 ，使得 成立，
即存在实数 ，使得 成立，
所以方程 有实数解，令 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以方程 有实数解，
因为 和 为 上的增函数，所以 为 上的增函数，
所以 ，所以 ，得 ，
所以实数m的取值范围为 ；
