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专题05 常见函数与函数中的新定义问题
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 绝对值（折线）函数
1. 核心处理方法：零点分段法
第一步：令绝对值内部代数式等于0，解出分界零点；
第二步：以零点划分定义域区间，分区间去掉绝对值符号，写成分段函数；
第三步：分段分析单调性、端点、拐点，求解值域、最值、不等式。
2. 三类经典模型与几何意义
①
：V 型折线，顶点
，左减右增；
②
：数轴距离和，最小值为两点间距
；
③
：数轴距离差，存在固定最大值与最小值。
3. 两种解题思路
①代数分段法：适合含参、复杂复合绝对值函数，严谨通用；
②几何距离法：选择填空快速口算最值，简化计算；
4. 高频题型：解绝对值不等式、求含参函数值域、已知最值求参数。
1．【多选】（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．5
2．（2026·天津河西·模拟预测）若a，
，若对任意实数x，都有
恒成立，则
的最大值为_______.
3．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数
的最小值为4，则实数
的所有取值之
和为__________.
4．（2026·上海·模拟预测）若不等式
对于任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为
______．
5．（2026·天津·模拟预测）设
，函数
，若
恰有两个不同零点，则
的
取值范围为__________．
6．（2026 高三·天津·期末）已知函数
，不等式
对任意
恒成立，则实数
的取值范围为______．
7．（2026 高一·四川广安·阶段检测）设二次函数
，若存在实数a，对任意
，使
得不等式
成立，则实数b 的取值范围是______．
8．（2026·天津·模拟预测）设
，函数
.若
恰有两个零点，则
的取
值范围为__________.
题型02 对勾函数
对勾函数
解析式
图像
定义域
渐近线
值域
奇偶性
奇函数
单调性
在
上是增函数，
在
是减函数
在
上是增函数，在
是减函数
【注】基本不等式
，当且仅当
时取到最小值，即
时，
9．（2026 高三·浙江·期中）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026 高三·天津滨海新区·阶段检测）对任意
，不等式
恒成立，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．【多选】（2026 高三·贵州毕节·期中）下列说法正确的有（ ）
A．
的最小值为1
B．
的最小值为2
C．
的最小值为4
D．
的最小值为4
12．【多选】（2026 高三·河南焦作·阶段检测）形如
的函数，我们称之为“对勾函数”.
“对勾函数”具有如下性质：该函数在
上单调递减，在
上单调递增.已知函数
在区间
上的最大值比最小值大
，则实数a 的值可以是（ ）
A．2
B．14
C．
D．
题型03 飘带函数
飘带函数
解析式
图像
定义域
渐近线
值域
奇偶性
奇函数
单调性
在
上是增函数
在
是减函数
13．（2026 高三·安徽·期中）形如
的函数一般称为飘带函数．若飘带函数
的图
象经过两点
和
．则以下四个判断中①
是定义域上的偶函数；②
在
内单调
递减；③
有最小值；④
，正确的有（ ）
A．①②④
B．②③④
C．①③④
D．②④
14．（2026 高三·安徽·期中）一般地，我们把形如
的函数称为飘带函数，若飘带函数
在
上的最小值、最大值分别为
和1.
(1)确定a，b 的值；
(2)求
的零点.
15．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，
也是一对优美的双曲线.在数列
中，
，记数列
的前
项积为
，数列
的前
项和为
，则当
时，
的取值范围为______.
题型04 高斯函数
高斯函数
(1)定义：不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规
定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
(2)性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
(3)图象
16．（2026 高三·重庆·阶段检测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称
号，用他名字定义的函数
称为高斯函数，其中
表示不超过
的最大整数，如
，
，已知方程
，则方程的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，
．已知函数
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026 高三·四川眉山·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王
子”的美誉.函数
称为取整函数，也称高斯函数，其中
表示不超过实数x 的最大整数，例如
，
.下列命题不正确的是（ ）
A．不等式
的解集为
B．不等式
的解集为
C．若
，
恒成立，则实数a 的取值范围为
D．若不等式
的解集为
，则
19．（学易金卷：高三数学上学期第三次月考（北京专用）（范围：人教B 版必修第一册全部 必修第二
册第四章和第五章））对于任意的
表示不超过
的最大整数．十八世纪，
被“数学王子”高
斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令
下列说法正确的有_________
①
②当
时，
③
④不等式
的解集为
20．【多选】（2026 高三·贵州遵义·期末）对于任意的
，
表示不超过
的最大整数.十八世纪，
被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（
）
A．函数
，
的图象关于原点对称
B．函数
，
的值域为
C．对于任意的
，不等式
恒成立
D．不等式
的解集为
21．【多选】（2026 高三·江苏南京·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其
名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为“高斯函数”，如：
，
，
，又称为“取整函数”.设
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的图像关于
轴对称
C．
的解集为
D．若
，则
的值域为
22．【多选】（2026 高三·山东淄博·期中）函数
称为取整函数，也称高斯函数，其中
表示不
大于实数
的最大整数，例如：
，则下列命题正确的是（ ）
A．函数
为奇函数
B．函数
的值域为
C．若
，则
的最小值为
D．不等式
的解集为
23．【多选】（2026 高三·江苏·阶段检测）十八世纪，被称为“数学王子”的高斯提出了函数
，其意
义是对于任意的
，
表示不超过x 的最大整数，如
，
，
，人们更习惯称之
为“取整函数”.现在令
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当
时，
C．
D．不等式
的解集为
题型05 狄利克雷函数
狄利克雷函数
(1)定义域R；值域{0，1}.
(2)奇偶性：偶函数.
(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
24．（2026 高三·广东深圳·期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19 世纪德国数学家狄利克雷
（Dirichlet），狄利克雷在1829 年给出了著名函数：
（其中
为有理数集，
为无理数
集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：
（其中
，且
），以下对
说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当
时，
的值域为
C．
为偶函数
D．
在实数集上不具有单调性
25．（2026 高三·北京丰台·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之
一.函数
，称为狄利克雷函数，则关于
，给出下列四个结论：
①
的值域为
；
②
；
③
；
④任意一个非零有理数
，
对任意
恒成立.
其中所有正确结论的序号是_______.
26．（2026 高三·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数
，该函数被称为狄利克雷函数．那么是否存在三个点
、
、
，使得
为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该
正三角形的面积__________．
27．【多选】（2026 高三·贵州遵义·阶段检测）狄利克雷（Dirichlet），德国数学家，是解析数论的创始人，
对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献，创立了现代函数的正式定义．狄利克雷提出了一个非常古
怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门用符号
来表示，该函数的解析式为
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．对任意
28．【多选】（2026 高三·江苏泰州·阶段检测）德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）
在1837 年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个
定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y 和它对
应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，
，下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
的值域为
D．
是函数
的一条对称轴
29．【多选】（2026 高三·黑龙江佳木斯·期中）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的
函数”
其中
为实数集，
为有理数集．则关于函数
有如下四个命题，正确的
为（ ）
A．存在
，有
B．函数
的图像关于直线
对称
C．函数
是周期函数，无最小正周期
D．存在三个点
，
，
，使
为等腰直角三角形
30．【多选】（2026 高三·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了
一个“奇怪的函数”
其中
为实数集，
为有理数集．则关于函数
有如下四个命题，
正确的为（ ）
A．存在
，有
B．对任意
，都存在
，
C．若
，
，则有
D．存在三个点
，
，
，使
为等腰直角三角形
题型06 最值函数
设min{a，b}＝max{a，b}＝
直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b 的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来
表示a，b 的最大值，称作最大值函数.
31．（2026 高三·广东广州·期末）设函数
，其中
表示
，
，
中
的最小者．若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2026 高三·湖北孝感·专题练习）已知函数
，
，设函数
，
表示
，
中的较小值，若
恒成立，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（2026 高三·湖南衡阳·期末）
，用
表示
，
中的最小者，记为
.记
的最大值为
，
表示不超过
的最大整数，如：
，
，若
，
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
34．（2026 高三·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数
满足
，其中
表示
中最大的数，
表示
中最小的数，则
___________
35．（2026 高三·浙江宁波·强基计划）若
表示a，b 中的较大值，则函数
的最小值为______．
36．（2026 高三·全国·阶段检测）定义
，已知函数
，
，则（ ）
A．若
，则方程
有且仅有一个实数解
B．若方程
有两个不同的实数解，则
C．若函数
的最小值为3，则
D．若
，令
，则
的值域为
37．【多选】（2026 高三·四川宜宾·期中）定义
，若函数
，
且
在区间
上的值域为
，则区间
长度可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（2026 高三·上海·期末）定义函数
，
其中
，符号
表示
，
中的较大者.现有以下命题：
①
为偶函数；
②若不等式
对一切
都成立，则实数
的最大值为1；
③当
时，
的最小值为9；
④“
”是“
”成立的充要条件.
正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
39．【多选】（2026 高三·全国·一轮复习）对任意两个实数a，b，定义
,若
，
，
，则 （ ）
A．
是偶函数
B．方程
有三个不同的解
C．
在区间
上单调递增
D．
有4 个单调区间
40．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数
，
，
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，令
（其中
表示
，
中的较小值），若存在
，
，使得
恒成立.
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）若方程
有两个不相等的实数根
，
，证明：
.
题型07 符号函数
标准分段定义：
1. 基础性质：定义域为全体实数
，值域
；满足恒等式
；
2. 奇偶性：奇函数，满足
；
3. 图像特征：三段水平线段，
对应
，原点
，
对应
，三段无连续连接；
4. 典型应用：快速去掉绝对值符号、对变量正负分类讨论、函数新定义综合辨析、分段简化复杂表达
式。
41．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义符号函数
，则方程
的解是（ ）
A．2 或
B．3 或
C．2 或3
D．2 或3 或
42．（2026 高三·陕西西安·阶段检测）已知符号函数
，偶函数
满足
，
当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
43．【多选】（2026 高三·安徽六安·期中）已知符号函数
，下列说法中正确的是
（ ）
A．
是奇函数
B．对任意的实数
C．函数
的值域为
D．直线
和函数
的图象至多有2 个公共点
44．（2026·北京·模拟预测）数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用
来表示，其解析式为
.已知函数
，给出下列结论：
①函数
的最小正周期为
；
②函数
的单调递增区间为
；
③函数
的对称中心为
；
④在
上函数
的零点个数为4.
其中正确结论的序号是____________.（写出所有正确结论的序号）
45．【多选】（2026·陕西榆林·模拟预测）若
，使得
，且当
时，
，则称
为
正移函数．定义符号函数
，设
，则（ ）
A．
是
正移函数
B．当
时，方程
有且仅有一解
C．
是
正移函数
D．函数
的最小值为
题型08 黎曼函数
定义：
1. 定义域
，值域
；
2. 奇偶性：偶函数
；
3. 周期性：任意正整数为周期；
4. 核心考点：函数值取值、零点分布、与狄利克雷函数综合辨析，多为选择判断类新定义小题。
46．（2026 高三·广东东莞·期中）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发
现并提出，其基本定义是：
（注：分子与分母是互质数的分数，
称为既约分数），若
是奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
47．（2026 高三·上海嘉定·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提
出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在
上，其解析式如下:
若函数
是定义在
上的奇函数，且对任意
都有
;当
时，有
；则
_____.
48．（2026 高三·上海·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，
在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在
上，其解析式为
，若函数
是定义在
上的奇函数，且对任意的
，
都有
，当
时，
，则
__________.
49．【多选】（2026 高三·山东日照·期末）伯恩哈德•黎曼是德国著名数学家，他在数学分析和微分几何领
域贡献卓著，开创的黎曼几何为广义相对论奠定了数学基础.他提出的黎曼函数是分析学中的经典函数，其
定义域为
，解析式为：
，下列关于黎曼函数的说法正确
的是（ ）
A．
B．关于
的不等式
的解集为
C．
D．若
，
是
内的有理数，则有
50．（2026 高三·江苏盐城·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现
并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在
上，
.
(1)求
，
，
；
(2)请用描述法写出满足方程
的解集；
(3)解不等式
.
题型09 倍值函数
对于函数
的定义域为
，若存在区间
，当
时，
的值域为
，
则称函数
为
倍值函数，区间
称为函数
的“倍值区间”。特别地，当
时，函数
称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分
类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。
51．（2026 高三·黑龙江·期末）对于函数
，如果存在区间
，同时满足下列条件：①
在
是单调的；②当定义域是
时，
的值域是
，则称
是该函数的“倍值区间”.若函
数
存在“倍值区间”，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
52．（2026·北京通州·模拟预测）函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函数
同时
满足：
在
上是单调函数且
在
上的值域为
，则称区间
为
的“
倍
值区间”.现有如下四个函数：①
，②
，③
，④
.
那么上述四个函数中存在“
倍值区间”的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
53．（2026 高三·上海杨浦·期末）对于函数
，常数
，若自变量
在区间
上变化时，函数
值
的取值范围恰为
，则称区间
是函数
的
倍值区间，区间长度为
.已知定义
域为
的函数
的表达式为
，给出下列结论：
① 函数
恰有2 个1 倍值区间；
② 函数
的所有
倍区间长度之和为
.
下列说法正确的是（ ）
A．结论①成立，结论②不成立
B．结论①不成立，结论②成立
C．两个结论都成立
D．两个结论都不成立
54．（2026 高三·江西吉安·期中）已知函数
的定义域为D，若存在区间
，使得当
时，函数
的值域恰为
（
），则称
为
的一个“k 倍值区间”.
(1)若函数
的一个“1 倍值区间”为
，且
，请写出一个满足题意的
的解析式；
(2)若
为函数
的一个“4 倍值区间”，求实数a 的取值集合；
(3)判断函数
是否存在“k 倍值区间”，若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
55．（2026 高三·云南·阶段检测）对于定义域
的函数
，若存在区间
，使得当
时，函数
的值域恰为
，则称函数
是
上的 “
倍值函数”，区间
叫做“
倍值区间”.
(1)已知函数
是
上的“
倍值函数”，求
的值；
(2)若函数
是“
倍值函数”且在“
倍值区间”单调，求
的取值范围；
(3)设函数
是“ 倍值函数”，且存在唯一的“ 倍值区间”
，求
的值.
题型10 函数中的新定义问题
（1）常见题型
①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围；
②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立.
（2）解决方案
联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题
（3）常用方法
①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质.
（4）失误与防范
①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想.
56．（2026 高三·河北承德·期末）定义：若存在实数，使得函数
和
满足
且
同时成立，则称
和
互为“亲密函数”，称为它们的“亲密点”．已知
，
，若存在实数
使得
和
有且仅有一个亲密点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
57．（2026 高三·天津河北·期末）已知函数
的图象与
的图象的所有交点的横坐标之积不大于1
（若
的图象与
的图象只有一个交点，则这个交点的横坐标不大于1），则称
与
是一组
“小积函数”.下列四组函数中，是一组“小积函数”的序号是_________.
①
与
②
与
③
与
④
与
58．（山西运城市2025-2026 学年高三学期期末考试数学试题）定义：函数
为向量
的“跟随函数”，向量
为函数
的“原向量”．
(1)设函数
，
的“原向量”分别为
，
，若
，
的夹角为锐角，
求实数的取值范围．
(2)已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，其中
，向量
的“跟随函数”为
，且
．
（i）若
平分
，并与
交于点
，且
，求
的长；
（ii）若
外接圆半径是
，内切圆半径是，求
的取值范围．
59．（2026 高三·上海·期末）若定义在
上的函数
和
分别存在导函数
和
，且
对任意x 均有
，则称函数
是函数
的“导控函数”．我们将满足方程
的
称为“导控点”．
(1)试问函数
是否为函数
的“导控函数”？
(2)若函数
是函数
的“导控函数”，且函数
是函数
的
“导控函数”，求出所有的“导控点”；
(3)已知函数
和
都是定义在
上的偶函数，且
是函数
的“导控函数”，证
明：
恒成立（为常数）．
60．（2026 高三·湖南衡阳·期末）设函数
在非空数集
上的取值集合为
，即
，
若
，则称
为
上的“集中函数”．
(1)分别判断
，
是否为
上的“集中函数”，并说明理由；
(2)若存在实数
，使得
为
上的“集中函数”，求实数
的取值范围；
(3)若
为
上的“集中函数”，求证：
．
61．（2026 高三·四川成都·期末）设函数
的定义域为
，如果
，都有
，且满足
，那么函数
的图象称为关于点
的中心对称图形，点
就是其对称中心．
如果
，且
，使得
，那么函数
的图象称为关于点
的
弱中心对称图形，点
就是其弱对称中心．
(1)若函数
的图象是关于点
的中心对称图形，求实数
的值；
(2)若函数
，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为
，求实数
的取值范围．
