文档文本内容
知识解构
知识点1 函数的零点 知识点2 二分法
题型破译 (含超链接）
题型
1 求函数的零点
题型
2 判断函数零点所在区间
【方法技巧】零点所在区间的判断方法
题型
3 根据零点所在区间求参数取值范围
题型
4 求函数零点或方程根的个数
【方法技巧】函数零点个数的判断方法
题型
5 根据函数零点的个数求参数
【方法技巧】已知函数零点求参数的方法
题型
6 利用零点的分布求参数
题型
7 比较零点的大小
题型
8 求函数零点的和的问题
题型
9 二分法求方程近似解
第07 讲 函数与方程
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
函数零点所在区间判断
北京卷T7
零点个数判断
全国Ⅰ卷T7 全国Ⅱ卷T9
已知零点分布求参数
全国Ⅰ卷T13
天津卷T8
全国Ⅱ卷T6 ，天津卷
T15
零点有关的综合问题
全国Ⅱ卷T18，北京卷
T20
考情分析
函数的零点问题是高考的重点和热点内容，一般以选择题与填空题的形式出
现。函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通
过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，
试题难度较大。.
近三年考情显示，命题偏向含参零点讨论、复合型方程实根问题，强化数形
结合与等价转化思想，注重与导数、最值问题深度结合，侧重考查综合分析与探
究能力。
复习目标
1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在
区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x 轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f( a )· f ( b )<0
.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内
至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解.
必记结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
自主检测（1）（多选）下列函数存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
（
且
）
D．
【答案】ABC
【详解】A，令
，解得
，得函数
的零点为1 和-1，A 正确；
B，令
，解得
或
，
定义域为
或
，
令
，解得
或
，即函数的零点为
和1，B 正确；
C，
的定义域为
，令
，解得
，
即函数
的零点为1 和-1，C 正确；
D，当
时，
，此时函数无零点，
当
时，
，此时函数无零点，故
不存在零点.
故选：ABC
（2）（2026·山东泰安·一模）函数
的零点所在的大致区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
,
因为
，且函数
是连续函数，所以零点在区间
内.
故选：C
知识点2 二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的
零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的步骤
①确定零点
的初始区间
，验证
②求区间
的中点
③计算
，进一步确定零点所在的区间：
若
（此时
），则
就是函数的零点；
若
（此时
），则令
；
若
（此时
），则令
.
④判断是否达到精确度
：若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复（2）~（4）
自主检测( 25-26 高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程
根的近似解时，令
，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程
的一
个近似解为（精确度为
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二分法判断即可得出结果.
【详解】设函数
的零点为
，
因为
，
，则
，所以
，区间长度为
，
取区间
中点，
，则
，
所以
，区间长度为
，
取区间
的中点
，
，则
，
所以
，区间长度为
，
取区间
的中点
，则
或
，
此时区间长度为
，故方程
的一个近似解为
，
故选：B.
题●型●破●译
题型1 求函数的零点
例1-1（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．函数
的零点为
B．函数
的零点为
C．函数
的零点，即函数
的图象与
轴的交点
D．函数
的零点，即函数
的图象与
轴的交点的横坐标
【答案】BD
【详解】根据函数零点的定义，可知
的零点为
．A 错误，B 正确；
函数
的零点，即函数
的图象与
轴的交点的横坐标，因此D 正确，C 错误．
故选：BD
例1-2 函数
的零点为______.
【答案】
【分析】通过
换元，将问题转换成一元二次方程
，进而可求解.
【详解】设
，令
，去分母，得
，
整理得
，即
，
，
，即
，
.
故答案为：
.
【变式训练1-1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知a 是函数
的零点，则实数a 的值为
________．
【答案】27
【详解】因为a 是函数
的零点，所以
，所以
，则实数a 的值为
．
故答案为：27.
【变式训练1-2】（2026·上海徐汇·二模）函数
的零点是__________.
【答案】0
【详解】令
，即
，解得
，所以函数
的零点是0.
故答案为：0.
【变式训练1-3·变考法】已知三个函数
，
，
的零点依次为a，b，
c，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断
的范围.
【详解】
是
上的增函数，
，
，
因此零点
，即
.令
，得零点
.
是
上的增函数，
，
，因此零点
，即
，综上可得大小关系：
.
故选：D
【变式训练1-4·变载体】（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0 的自变量的值，称为该函
数的零点.例如：函数
的零点为1 和
.若函数
的零点是
和
，则函数
的零点是______.
【答案】
和
【详解】先将二次函数
展开得到
.
根据韦达定理，若方程的两根为
和
，得出
，
.
已知
，
令
，解得
,
.
故答案为：
和
.
题型2 判断函数零点所在区间
例2-1（2026·天津东丽·二模）函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
所以函数
在
上单调递增，
又
，
，则
，
根据零点存在性定理，函数
的零点所在区间为
.
故选：B
例2-2（2026·天津·模拟预测）方程
的根所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】原方程的根等价于函数
的零点，先判断
单调递增，然后利用零点存
在性定理逐一判断即可.
【详解】原方程的根等价于函数
的零点，
的定义域为
，
函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点，
，
因此
时，
，无零点，A 选项错误；
，因此
时，
，
无零点，B 选项错误；
，
因为
，因此
，
此时
且
，
，根据零点存在定理，存在
，使得
，
即方程的根在区间
内，C 选项正确；
，结合
单调递增，
时
，故区间
内无零点，D 选项错误.
故选：C
例2-3（25-26 高三上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数
的零点在区间
内，
且
，则n 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由解析式知
在定义域
上单调递增，且
，
所以
的零点在
，故
.
故选：C
方法技巧 零点所在区间的判断方法
（1）解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
（2）利用函数零点存在定理;
（3）数形结合法,画出相应函数图象,观察与x 轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的
交点的横坐标来判断.
【变式训练2-1】（（25-26 高三上·重庆·月考）已知方程
的解为
，求
所在的区间为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先构造函数判断单调性，再用零点存在定理算端点值判断零点所在区间即可.
【详解】设
，因为
和
都是
上的单调递增函数，
因此
是
上的单调递增函数，原方程的解
就是
的唯一零点.
当
时，
，
当
时，
，
由
，可知单调函数
的零点
.
故选：B
【变式训练2-2】（2026·广东深圳·模拟预测）已知
，则
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意求得
的零点为
，再由对数函数性质判断即可.
【详解】令
的
值即
的零点．而
，即
，
，
而
，所以
，所以函数
的零点就是
，
．
要比较
与
的大小，等价于比较2 与
的大小，等价于比较
与大小，
显然
，
，
．
故选：C
【变式训练2-3】（24-25 高三上·四川宜宾·期末）函数
的零点在下列区间内（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数
的单调性，结合函数的零点存在定理判断即可．
【详解】函数
在定义域
上连续，且为增函数，
又
，
，
故函数
的零点在区间
内.
故选：B
【变式训练2-4】（函数
的一个零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论
【详解】
定义域为
，
，
令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
其中
，故
，
，
，
由零点存在性定理可得函数
的一个零点所在区间为
，
其他选项均错误.
故选：C
【变式训练2-5·变考法】函数
的零点在区间
内，则
_________．
【答案】4
【详解】由题意知，函数
在
上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数
单调递增，
又有
，
，
由函数零点存在性定理可知零点在
内，结合题意可得
.
故答案为：4
题型3 根据零点所在区间求参数取值范围
例3-1 已知函数
在
上存在零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
在
上单调递增，所以函数
在
上单调递增，
要使函数
在
上存在零点，则
，解得
，
则实数
的取值范围为
.
故选：A
例3-2 已知函数
，在区间
内存在
，使
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解法1 由题意可知
，由
可得
，所以
，解不等式可
得
．
解法2 因为在
上存在
，使
，所以
，即
，解得
．
故选：B
例3-3（2026·河北衡水·一模）（多选）若函数
（
）在
内存在唯一的
，使得
，则
的取值可能为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】BC
【详解】由
，知
在
内存在唯一的解.
当
时，
，则
，即
，
因仅有选项B,C 中的值在此范围，故B,C 正确.
故选：BC
【变式训练3-1】已知函数
在区间
上有零点，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可得方程
在区间
上有解，然后由函数知识求得函数
在区间
上的值
域可得答案.
【详解】函数
在区间
上有零点
方程
在区间
上有解，
函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
则
，则
.
故选：D．
【变式训练3-2】命题“
在区间
上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要
不充分条件是（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】先由
在区间
上有零点，得到
或
，令集合
或
，该命题一
个必要不充分条件，则集合A 是该条件范围的真子集，根据选项范围求解即可.
【详解】因为
在区间
上有零点，
所以
，即
，解得
或
；
令集合
或
，
由命题“
在区间
上有零点”的一个必要不充分条件，
集合A 是该条件范围的真子集，根据题目选项A 满足.
故选：A.
【变式训练3-3】（25-26 高三上·全国·期末）若函数
在区间
上存在一个零点，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】当
时，
，在
上没有零点，不符合题意；
当
时，
为一次函数，
函数
在区间
上存在零点的充要条件为
，
即
，即
．解得
或
．
故选：
【变式训练3-4】（25-26 高三上·四川成都·期末）函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用单调性将命题转化为
，再解不等式即可.
【详解】由于
在
上单调递增，故命题等价于
，即
，
解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D.
【变式训练3-5·变考法】函数
在
有零点，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】分离参数得到
，由题转化为求
的值域即可.
【详解】由题
有解，即
,
令
得
,
当
时,
单调递减,当
时,
单调递增,
,所以
,故
.
故答案为：
.
题型4 求函数零点或方程根的个数
例4-1【新思维】设
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则
的零点个数为
．
【答案】3
【详解】由题意可得
，当
时，由
，得
．又
是奇函数，所以
．因此函数
的零点个数为3．
故答案为：3
例4-2（2025·上海·三模）函数
的零点个数为
【答案】3
【分析】根据
的零点转化为
与
的图象的交点，由图即
可得出答案.
【详解】根据
的零点个数转化为
与
的图象的交点个数，
时，函数
取最大值
，
时函数
的值为
，又因为
，结合图象可知，两函数图象具有个交点.
所以
的零点个数为个.
故答案为：.
例4-3（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数
，则方程
根的个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得.
【详解】因
，
当
时，
即
，解得
或
，均符合题意；
当
时，
即
，解得
，符合题意.
故方程
根的个数为3.
故选：D
方法技巧 函数零点个数的判断方法
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T 的奇函数,则必有f(
T
2 )=0.
【变式训练4-1·变考法】（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线
与
的交点的个数为（ ）
A．个
B．个
C．
个
D．个
【答案】C
【分析】在同一直角坐标系中作出函数
与
的图象，可得答案.
【详解】在同一直角坐标系中作出函数
与
的图象，如图所示：
所以曲线
与
的交点的个数为
个.
【变式训练4-2·变载体】（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，方程
的根的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据解析式画出
和
的函数图象，判断图象交点个数即可.
【详解】当
时，
，故
是
的一个周期，
又
时，
，则
，
作出函数
和
的函数图象，
因
，
，
结合图象可知，
和
的函数图象交点个数为.
故选：B
【变式训练4-3】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数
的零点个数为______.
【答案】1
【分析】先判断函数
在
上单调递增，再根据零点存在定理，可得函数
在
上的零点
只有1 个.
【详解】设
，则
，
所以
在
上单调递增，
，
所以
在
上单调递减，则
在
上单调递增，
因为
在
上单调递增，所以函数
在
上单调递增，
因为
，
，根据零点存在定理，可得函数
在
上的零点只有1 个.
故答案为：1
【变式训练4-4】函数
的零点个数为 ．
【答案】2
【分析】当
时，利用导数研究其单调性得
，即函数
只有一个零点
1，当
时，利用导数法得函数
在
上单调递增，由零点存在性定理可知有一个零点，即可
得解.
【详解】
，
当
时，
，则
，
当
时，
，即函数
单调递增，
当
时，
，即函数
单调递减，
又
，所以函数
只有一个零点1，
当
时，
，则
，
故函数
在
上单调递增，又
，
，所以由零点存在
性定理可知，函数
在
上有一个零点，
所以函数
的零点个数为2.
故答案为：2
【变式训练4-5·变载体】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，则当
时，函数
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
，
，
，
，
；
函数
的零点个数等价于函数
与直线
的交点个数；
作出
与
的图象如下图所示，
结合图象可知：当
时，
与
在每个区间
上有且仅有一个交点，则当
时，
与
共有
个交点；
当
时，
与
没有交点，即当
时，
与
没有交点；
当
时，
与
有且仅有一个交点
，即当
时，
与
有且
仅有个交点；
当
时，
，
，二者没有交点，即当
时，
与
没有
交点；
综上所述：当
时，函数
的零点个数为
个.
【变式训练4-6】方程
的解的个数为_______________.
【答案】2
【分析】方程
的解的个数，即函数
和函数
的图象的交点个数，画出两
函数图象即可得.
【详解】方程
的解的个数，
即函数
和函数
的图象的交点个数，
如图所示，数形结合可得，函数
和函数
的图象的交点个数为2，
故方程
的解的个数为2.
题型5 根据函数零点的个数求参数
例5-1 已知直线
和曲线
有两个不同的交点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件得到曲线
表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求
解.
【详解】由
，得到
，
所以曲线
表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图，
当直线
过点
时，
，此时
与曲线
有两个不同的交点，
当直线
与曲线
相切时，由
，解得
或
（舍），
由图可知，实数
的取值范围是
，
故选：C.
例5-2 已知函数
，若函数
有
个不同的零点，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用导数作出函数
的图象，转化条件为
的图象与直线
有
个交点，数形
结合即可得解.
【详解】由题当
时，
，所以
，
所以当
时，
，当
时，
；
所以
在区间
上单调递增，在
上单调递减，
当
时
，当
时，
；当
时，
；
所以可作出函数的图象，如下图，
若要使函数
有
个不同的零点，所以
的图象与直线
有
个交点，
即
，解得
.即实数
的取值范围是
.
故选：B
例5-3【新设问】（25-26 高二下·北京朝阳·期中）已知函数
；若方程
恰有三
个根，写出一个满足条件的实数
为__________.
【答案】
，
【分析】本题可将方程根的问题，转化为函数图像交点的问题，先分析分段函数每段情况，画出函数图像.
要使方程
恰有三个根，即函数
与函数
有三个不同的交点，观察图像可知，当
时，均可满足方程有三个根，从而解决问题.
【详解】解：当
时，
，令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减，因此
为
的极大值点，
此时极大值
，亦为最大值，因此，
；
当
时，
，由二次函数开口向上，对称轴
，
所以
，函数图像如下所示，
要使方程
恰有三个根，则函数
与函数
有三个不同的交点，
由图可知，当
时，函数
与函数
均有三个不同的交点，
即方程
恰有三个根，可以取
.
故答案为：
，
方法技巧 已知函数零点求参数的方法
（1）已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟
悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
（2）已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出
两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【变式训练5-1】已知函数
有唯一零点，则
．
【答案】2
【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可.
【详解】定义域为
，
，
所以函数
为偶函数，
又因为函数
有唯一零点，
根据零点关于
轴对称，得出
，所以
，
当
时，函数
有唯一零点，符合题意；
当
时，函数
有零点
，不符合题意舍；
故答案为：2.
【变式训练5-2·变载体】已知函数
恰有三个零点，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数的导数，求出函数单调性和极值，确定方程有三个解的参数范围，求得结果.
【详解】函数
恰有三个零点，即方程
有三个解，
设
，则
，
令
，即
，因为
，所以解得
，
令
，即
，解得
，
所以函数
与
变化关系如下表：
正
0
负
0
正
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由
可知
，
当
时，
，
，所以
且
，
可得函数大致图形如下：
所以要满足题意，需
.
故答案为：
.
【变式训练5-3·变设问】已知二次函数
有且仅有一个零点，则
的最小值
为__________．
【答案】
【分析】借助根的判别式与基本不等式计算即可得.
【详解】由题意知，
，∴
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，故
的最小值为
.
【变式训练5-4·变考法】若函数
的零点为1，2，则关于
的不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
的零点为1，2，所以
，
.
所以不等式
可化为
.
所以所求不等式的解集为
.所以选项D 正确.
故选：D
【变式训练5-5·变考法】（2026·北京朝阳·二模）设函数
若关于
的方程
恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数
的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】分
和
两种情况讨论，当
时，分
且
，
，
，
四种情况；
当
时，分
，
，
三种情况，当
时，设
，利用导数求出
，对最大值的符号进行讨论分
，
，
三种情况.
【详解】（i）当
时，
，代入方程
整理得：
，两根为
和
，
因此，当
且
时，则
有2 个不同根；
当
时，则
有1 个根；当
时，仅存在根
；
当
时，
，故
恒有1 个根.
（ii）当
时，
，代入方程
整理得：
，
设
， 求导得
，
当
时，
，得
，
有1 个根，
若
，
，
在
单调递增，
时
，
时
，故
恒有1 个根；
当
时，
，
，
单调递增；
，
单调递减，
故
在
取最大值
，
令
，
单调递减且
.
当
时，
，方程
有2 个根；
当
时，
，方程
有1 个根；
当
时，
，方程
无实根；
综上所述：
，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
时，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
时，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
其余
均不满足条件，共3 个符合的
.
故选：D
题型6 利用零点的分布求参数
例6-1 关于
的方程
有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a 的不等式组，即可求解．
【详解】设
，
则由题意可知
，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：C．
例6-2 若函数
在区间
上存在零点，则常数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题知
在区间
上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可.
【详解】因为函数
与
在区间
上均为单调递增函数，
所以函数
在区间
上单调递增，
因为函数
在区间
上存在零点，
所以
，解得
.
所以常数
的取值范围为
故选：C
例6-3【新思维】（2026·河北沧州·一模）已知函数
,若函数
至少有7 个
零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分类讨论
，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围.
【详解】当
时，
，对称轴为
，所以
在
上单调递增，函数
图象如下：
令
，解得
或
，
即
或
，根据图象
有2 个解，
有1 个解，所以此时
有3 个零点，不符合题意；
当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，函数图象如下：
令
，解得
或
或
，
根据图象
有2 个解，
有3 个解，
又
至少有7 个零点，所以
至少有2 个解，
即
，解得
．
故选:D．
【变式训练6-1】已知函数
，则
有零点的充要条件是______.
【答案】
【分析】将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程根的问题求解即可.
【详解】函数
有零点
方程
有解.
当
时，方程有一解
；
当
时，方程
有解
，
综上知：
有零点的充要条件是
.
故答案为：
.
【变式训练6-2】（25-26 高三上·海南海口·阶段检测）已知函数
在区间
上有零
点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】易得函数
在
上单调递增，由
求解.
【详解】因为函数
，
在区间
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，由函数
在区间
上有零点，
得
即
解得
.因此，实数
的取值范围是
.
故选：B.
【变式训练6-3·变载体】（2026·河南南阳·二模）已知函数
，若
在区间
上恰有5 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，
，
，
因为
在区间
上恰有5 个零点，所以由正弦函数性质得
，
解得
．
【变式训练6-4·原创题】已知函数
，若正实数
互不相等，且
，则
的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得
的范围，据此可求
的取值范围.
【详解】
的图象如图所示：
不妨设
，则
且
，其中
，
故
即
，故
，
故答案为：
.
题型7 比较零点的大小
例7-1【新角度】（2026·湖南湘西·三模）已知
分别为函数
的零点，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可.
【详解】由
，得2
x=
1
x -1，则函数
与
的图象的交点横坐标就是
；
由
，得lg x =
1
x -1，则函数
与
的图象的交点横坐标就是
；
由
，得log2 x =
1
x -1，则函数
与
的图象的交点横坐标就是．
作出函数图象如图，可知
．
故选：A
例7-2【新思维】（2026·福建福州·三模）已知
，则
的大小
关系不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，得
，转化为函数
与
，
与
，
与
图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各
个交点的位置关系，从而进行判断.
【详解】
，
，
,
，
，
；
即转化为函数
与
，
与
，
与
图象的交点问题.
分别画出
，
，
，
，
，
的图象，如图所示：
由图可知，
与
的图象交于
两点，
与
的图象交于
两点，
与
的图象交于
两点；同时
.
对于A，
时，满足
，故A 正确；
对于B，
，不满足
，故B 错误；
对于C，
，满足
，故C 正确；
对于D，
，满足
，故D 正确.
故选：B
【变式训练7-1·变考法】（江苏南通市2026 届高三下学期二模数学试题）已知函数
，
，
的零点分别为
、
、
，则
、
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用零点存在定理得出
的取值范围，并求出
、
的值，即可得出
、
、
的大小关系.
【详解】因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，故
，
因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，
，故
，
由
可得
，即
，故
.
故选：B
【变式训练7-2·变载体】已知
是函数
的一个零点，若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】转化
是函数
的一个零点为
是函数
与
的交点的横坐标，画出函
数图象，利用图象判断即可
【详解】因为
是函数
的一个零点，则
是函数
与
的交点的横坐标，画出
函数图象，如图所示，
则当
时，
在
下方，即
；
当
时，
在
上方，即
，
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
【变式训练7-3】（2026·河南新乡·三模）已知函数
的零点分
别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可.
【详解】
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
∵函数
的零点分别为
,
作出函数
的图象如图，
由图可知：
,
【变式训练7-4】（多选）已知函数
，实数
、
、满足
，其中
，若实数
为方程
的一个解，那么下列不等式中，有可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】本题先判断
是减函数，再确定
，接着根据
，分情况讨
论，确认ABC 都正确.
【详解】∵
，在定义域上是减函数，∴
时，
，
又∵
，
∴一种情况是
、
、
都为负值，
即
所以
另一种情况是
，
，
，
即
，所以
；
都大于
，或
都小于
是，大于
.两种情况综合可得
不可能成立，
故选：ABC.
题型8 求函数零点的和的问题
例8-1（25-26 高三上·江西赣州·期中）函数
的所有零点的和为（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】B
【分析】根据题意，
的零点转化为
与
的交点，结合图像及对称性求解即可．
【详解】由
，得
，
则
所有零点的和等价于函数
与
的图象所有交点的横坐标之和．
易得
与
的图象均关于点
对称．
，
，
，结合
与
的图象，
可知
与
的图象在
内共有2 个交点，
则
与
的图象共有5 个交点，且关于点
对称，
则这5 个交点的横坐标之和为
，即
所有零点的和为
．
故选：B
例8-2【新设问】已知函数
，方程
有四个不同解
，则
的取值范围是______．
【答案】
【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可.
【详解】如图所示：
由方程
即
有四个不同解
，
即
的图象与
有四个不同的交点，由图可知
，
不妨假设
，由图可知
，
又由图可知
，
故
，解得：
，
又
，结合图象可知
，所以
，
所以
，
设
，任取
，且
，
则
，
因为
且
，所以
且
，
所以
，所以
在
上单调递减，
所以
即
，即
，所以
.
故答案为：
.
【变式训练8-1·原创题】已知函数
,
的零点分别为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据函数的零点定义，可得
即函数
图象与直线
的交点
的横坐
标，结合函数图象的对称性即可求得答案.
【详解】由
可得
，由
，
，
依题意，如图所示，
即函数
图象与直线
的交点
的横坐标.
由图知，因函数
是一对反函数，图象关于直线
对称，则点
也关于直线
对
称，
由
解得
，则点
关于点
对称，故
.
故选：B
【变式训练8-2·变考法】已知定义在
上的函数
满足
，
，当
时，
，则方程
所有根之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据对称性求出周期，再数形结合后可求所有根之和.
【详解】由
，得函数
关于点
对称，
又
，得函数
关于直线
对称且
，
故
，故
，所以
，
所以
，从而函数
是周期为4 的周期函数.
又当
时，
，则
，
即
是
的单调递增函数，
，
，
又方程
的根即
与
的交点横坐标，
而直线
的斜率为
，
，
故
的图像与直线
在
有且只有一个交点，
又
，
，
结合
的周期性和对称性，在同一坐标系中画出
的图像和直线
，
如图：
两函数共有
个交点，并且关于点
对称，故所有根之和为
.
故选：D
【变式训练8-3·变载体】（2026·天津红桥·二模）设函数
，若
有四个不
同的零点，从小到大依次为
，则
的取值范围为______．
【答案】
【分析】先将函数
有四个不同的零点，转化为函数
和
有四个不同的交点，利用
数形结合得到
的范围，再根据
为方程
的两根，
为方程
的两根，利用韦达
定理建立
的函数，再利用函数的单调性求解．
【详解】当
时，
，
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
又因为函数
有四个不同的零点，
所以函数
和
有四个不同的交点，
如图所示：
由图知，
，
设
为方程
的两根，即
的两根，
所以
，
设
为方程
的两根，即
的两根，
所以
，
所以
，
令
，
，
所以
在
上单调递增，
因为
，
，
所以
的值域为
，
即
的取值范围为
．
【变式训练8-4·变题型】（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
.
(1)求
的对称中心坐标；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)已知函数
，记方程
在区间
上的根从小到大依次为
，求
的值.
【答案】(1)对称中心为
，其中
.
(2)
.
(3)
.
【分析】（1）利用两角和差公式和倍角公式、辅助角公式化简求出解析式，再结合正弦函数的性质可得；
（2）代入后化为
恒成立，分离参数
，设
，利用
单调递
减、
单调递增，证明该函数在区间上单调递减，求出最大值即可；
（3）令u=π
4 x -π
3 ，结合
的图象与
的交点即可求出.
【详解】（1）因为
，
所以
，
令
，得
，故对称中心为
，其中
.
（2）由（1）知，
，
.
则原不等式化为
，
当
时
，所以
对任意的
恒成立，
设
，
任取π
4 ≤x1< x2≤π
3 ，在此区间上
单调递减、
单调递增，
故
，
，
从而
.
所以
在
上单调递减，故
.
故a≥1+2❑√2，故实数
的取值范围为
.
（3）由（1）知，
.
令u=π
4 x -π
3 ，当
时
.
画出
的图象如图：
由图可知，其图象与
共有
个交点，
且
，
，
，
则
，
，
，
故
.
题型9 二分法求方程近似解
例9-1 已知函数
，利用二分法求
的零点的近似值
，若零点的初值区间为
，精
确度为
，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先通过函数的单调性及零点存在性定理可得函数有唯一零点，进而再用二分法及精确度可判断零
点所在区间及零点的近似值.
【详解】因为函数
和
均为R 上单调递增函数，
所以函数
是R 上单调递增函数，
且
，所以函数
在
上有唯一零点.
取区间
的中点
，且
，
所以零点在区间
内且区间长度为
.
再取区间
的中点
，且
，
所以零点在区间
内且区间长度
.
对照选项只有
在区间
内，故
可以是
.
故选：C.
例9-2 设
，某同学用二分法求方程
的近似解（精确度为0.5），列出了对
应值表如下：
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由表格数据可知，
，又因为函数
在
上连续，且函数
在
上单调递增，所以函数
在区间
上存在一个零点.又因为
，所以方程
的近似解（精确度为0.5）可以是区间
上的任意一
个数，观察四个选项可知C 正确.
【变式训练9-1】已知函数
－
，则用二分法求
的零点时，其中一个零点的初始区间
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
，得
，所以
，又因为函数
的图象在区间
上连续，所以函数
的一个零点的
初始区间可以为
.
故选：B
【变式训练9-2】（25-26 高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数
，利用二分法求函数
在
内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可.
【详解】函数
，
，
，函数
的零点在
内；
，函数
的零点在
内；
，函数
的零点在
内.
故选：A
【变式训练9-3】在用二分法求方程
在
上的近似解时，先构造函数
，
再依次计算得
，
，
，
，
，则该近似解所在的区间可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二分法即可判断.
【详解】由题意，
，
，
，
，
，
则由二分法可得近似解所在的区间为
.
故选：C.
【变式训练9-4】已知函数
在区间
内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近
似值时，给定精确度为
，其参考数据如下：
则这个零点的近似值为___________．（精确到
）
【答案】
【分析】先得到零点位于
，由精确到
，得到近似值.
【详解】
，且
，
函数
在区间
内存在一个零点，故零点位于
，
精确到
，故零点的近似值为
.
故答案为：
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
2.（2026 年高考Ⅱ卷真题）若函数
有两个零点，则m 的取值范围是
【答案】
【详解】由
得
，令
，则函数
图像与直线
有两个交
点，又因为
，故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，又
，故
.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令
，分离参数
，构造新函数
结合
导数求得
单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
4．（2025·北京·高考真题）设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数
，
设函数
的最小正周期为T，由
可得
，
所以
，即
；
又函数
在
上存在零点，且当
时，
，
所以
，即
；
综上，
的最小值为4.
故选：C.
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可
得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.已知函数
，
，
的零点分别为a，b，c，则a，
b，c 的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数零点可知：
，
，
，利用数形结合，构造三个函数
它们与
的交点横坐标就是对应的三个零点
.
由图可知：
，
故选：D.
2．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是 .（填写上所有符
合条件的图号）
【答案】①③
【详解】用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求.
故答案为：①③
3．已知函数
的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
函数
在哪几个区间内一定有零点？为什么？
【答案】在区间
内有零点
【详解】由对应值表可得：
，
，
，
由零点存在定理可知：
分别在区间
，
，
内有零点.
4．已知函数
，求证：方程
在
内至少有两个实数解.
【详解】由
得：
，令
，
则
，
，
，
，
，
在
内至少有一个零点，在
内至少有一个零点，
在
内至少有两个零点，即方程
在
内至少有两个实数解.
5．设函数
，且
，求证：函数
在
内至少有
一个零点.
【详解】
，
，
，
又
，
，
，
，
与
中至少有一个为正，
又
，
或
，
∴函数
在
内至少有一个零点.
6．已知函数
.
（1）求函数
的解析式；
（2）利用信息技术，画出函数
的图象；
（3）求函数
的零点（精确度为0.1）.
【答案】（1）
；（2）图见解析；（3）
或
.
【详解】（1）由题意得：
.
（2）函数图象如下图所示：
（3）由图象可知，函数
分别在区间
和区间
内各有一个零点，取区间
的
中点
，用计算器可算得
，
，
，
再取
的中点
，用计算器可算得
，
，
，
同理可得：
，
，
，
原方程在区间
内的近似解可取为
，
同理可求得函数在区间
内的零点可取为
，
函数
满足精确度
的零点为
或
.
7．有一道题“若函数
在区间
内恰有一个零点，求实数a 的取值范围”，
某同学给出了如下解答：
由
，解得
.
所以，实数a 的取值范围是
.
上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.
【答案】不正确
【详解】上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论
和
两种情况；而
时，在区间
内的零点可能不是“变号零点”.
正确解答如下：
（1）当
时，
，
令
得：
，解得：
，
∴当
时，
在
内恰有一个零点.
（2）当
时，
，
①若
，即
，则函数
的图象与
轴交于点
，
是
内的唯一零点；
②若
，即
，
则i.
，解得：
，
ii.当
，即
时，
，解得：
，
，
是
内的唯一零点，
iii.当
时，即
时，
，解得：
，
，
是
内的唯一零点，
综上可得，
的取值范围是
.
