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让更多的孩子得到更好的教育
角的平分线的性质（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】
要点一、角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD 平分∠ADB，点P 是CD 上一点，且PE⊥AD 于点E，PF⊥BD 于点F，则PE＝PF.
要点二、角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD 于点E，PF⊥BD 于点F，PE＝PF，则PD 平分∠ADB
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D，交OB 于E.
（2）分别以D、E 为圆心，大于1
2 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC 即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
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三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形
三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.
三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4 个.如图所示：△ABC 的
内心为
1P ，旁心为
2
3
4
,
,
P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质
1．（2015 春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC，点P 在BD 上，
PM⊥AD 于M，PN⊥CD 于N，求证：PM=PN．
【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD
全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边
的距离相等证明即可．
【答案与解析】
证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD 和△CBD 中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定
与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．
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2、（2016 春•潜江校级期中）如图在△ABC 中∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，
DE⊥AB 于E，若AB=6cm，求△DEB 的周长．
【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB 的周长．
【答案与解析】
解：∵∠C=90°，AD 平分∠CAB， DE⊥AB，
∴CD=DE，
∴△CAD≌△EAD(HL)
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴BE=DE，
∴△DEB 的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．
【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.
举一反三：
【变式】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且
:
3 :
2
AB AC
，则△ABD 与△ACD 的面
积之比为（ ）
A．3：2 B．3 :
2 C．2：3 D.
2 :
3
【答案】B；
提示：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，又∵
:
3 :
2
AB AC
，则△ABD 与△ACD 的面积之比为3 :
2 ．
3、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 交于点D，PE⊥OB 交于点E，F
是OC 上除点P、O 外一点，连接DF、EF，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．
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【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得
到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.
【答案与解析】
解：DF＝EF．
理由如下：
∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 交于点D，PE⊥OB 交于点E，
∴PD＝PE，
由HL 定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF 与△EPF 中，
PD
PE
DPF
EPF
PF
PF
，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF＝EF.
【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质
得到线段相等，是证明三角形全等的关键.
类型二、角的平分线的判定
【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】
4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.
【答案与解析】
证明： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）
∴∠CDF＝∠BEF＝90°
∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)
∵ BF＝CF(已知)
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∴△DFC≌△EFB(AAS)
∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)
∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）
∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
即AF 为∠BAC 的平分线
【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有
认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.
举一反三：
【变式】（2014 秋•肥东县期末）已知：如图，P 是OC 上一点，PD⊥OA 于D，PE⊥OB 于E，F、G 分
别是OA、OB 上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC 是∠AOB 的平分线．
【答案】
证明：在Rt△PFD 和Rt△PGE 中，
，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD=PE，
∵P 是OC 上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC 是∠AOB 的平分线．
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