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《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.
3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.
4.能按照要求，画出一些轴对称图形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴
对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对
对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两
个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大
小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在
对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图
形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形
沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成
一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反
过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
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要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直
接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接
圆的圆心——外心.
3.角平分线
角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到
角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：
前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，
一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连
接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端
点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC 为底边,
∠A 是顶角，∠B、∠C 是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐
角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
A
∠＝180°－2 B
∠，∠B＝∠C＝
．
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三
线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等
边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相
等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．
2.等边三角形
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（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【典型例题】
类型一、轴对称的判断与应用
1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？
【答案与解析】该算式的情况是：120＋85＝205
【总结升华】从镜子里看物体——左右相反
举一反三：
【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（ ）.
【答案】B ；
提示：从水中看物体——上下颠倒
2、如图，C、D、E、F 是一个长方形台球桌的4 个顶点，A、B<是桌面上的两个球，怎样击打
A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A<球经过的路线，
并写出作法．
【答案与解析】
解：作点A 关于直线CF 对称的点G，连接BG 交CF 于点P，则点P 即为A<球撞击桌面边缘CF
的位置，A<球经过的路线如下图.
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【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP 转化成了线段GP，通过找A 点的对称点，从而
确定点P 的位置.
举一反三：
【变式】已知∠MON 内有一点P，P 关于OM，ON 的对称点分别是
和
，
分别交OM, ON 与
点A、B，已知
＝15，则△PAB 的周长为（ ）
A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24
【答案】A；
提示：根据轴对称的性质，
，△PAB 的周长等于
.
类型二、线段垂直平分线性质
3、如图，已知AD 是线段BC 的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC 的周长为20cm，求AC
的长．
【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出
即可．
【答案与解析】
解：∵AD 是线段BC 的垂直平分线，
AB=AC
∴
，BD=CD，
又∵BD=3cm，
BC=6cm
∴
，
又∵△ABC 的周长=AB+BC+AC=20cm，
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2AC=14
∴
，
AC=7cm．
【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两
个端点的距离相等．
举一反三
【变式】如图所示，DE 是线段AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
Ａ．ED=CD Ｂ．∠DAC= B
∠ Ｃ．∠C＞2 B
∠ Ｄ．∠B+ ADE=90°
∠
【答案】Ｄ；
类型三、角平分线性质
4、如图，点O 到△ABC 的两边AB，AC 的距离相等，且OB=OC．求证：AB=AC．
【思路点拨】根据题意过点O 分别作OE AB
⊥
，OF AC
⊥
，E，F 分别是垂足，则OE=OF，已知
OB=0C，可证Rt
OEB Rt
OFC
△
△
≌
，从而得∠OBE= OCF
∠
，又由OB=OC 得∠OBC= OCB
∠
，可
得∠ABC= ACD
∠
，即AB=AC．
【答案与解析】
证明：过点O 分别作OE AB
⊥
，OF AC
⊥
，E，F 分别是垂足，
由题意知，OE=OF．
在Rt
OEB
△
和Rt
OFC
△
中，
OE=OF
∵
，OB=OC，
Rt
OEB Rt
OFC
∴
△
△
≌
，
OBE= OCF
∴∠
∠
，
又由OB=OC 知∠OBC= OCB
∠
，
ABC= ACD
∴∠
∠
，
AB=AC
∴
．
【总结升华】本题考查了三角形全等的判定与性质．关键是根据题意证明三角形全等，得出相
等角，利用等角对等边证明结论．
举一反三
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【变式】点D 到△ABC 的两边AB、AC 的距离相等，则点D 在（ ）
A. BC 的中线上 B. BC 边的垂直平分线上
C. BC 边的高线上 D. A
∠
的平分线所在的直线上
【答案】D；
类型四、等腰三角形的性质与判定
5、已知：一等腰三角形的两边长
，满足方程组
，则此等腰三角形的周
长为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.5 或4
【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需
要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.
【答案】A；
【解析】
解：解方程组
得
，
当腰为1，2 为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，
当腰为2，1 为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5
【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，
不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题
意的舍去．
举一反三：
【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（ ）
A.55°，55° B.70°，40° C.55°，55°或70°，40° D.以上都不对
【答案】C；
提示：当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝
55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．
6、如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD 与CE 相交
于点F，试判断△AFC 的形状，并说明理由．
【思路点拨】要判断△AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC 和
∠FCA 的关系．因为∠BAD＝∠BCE，因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可．
【答案与解析】
解：△AFC 是等腰三角形．理由如下：
在△BAD 与△BCE 中，
∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠BCE，BD＝BE，
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∴△BAD≌△BCE，
∴BA＝BC，∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．
∴AF＝CF，
∴△AFC 是等腰三角形．
【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC 的形状，并说明理由．
【答案】
解：△AEC 是等腰三角形．
理由如下：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，
又∵AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC＝AE．
即△AEC 是等腰三角形．
【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC 的边AB、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD，M
是BC 的中点，请你探究线段DE 与AM 之间的数量关系．
【答案】ED＝2AM
解：连接DE，
∵∠BAC＝90°，M 是BC 的中点
∴AM＝BM＝MC＝
∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD
∴△ABC≌△AED
∴ED＝BC
∴ED＝2AM
类型五、等边三角形的性质与判定
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7、如图，设Ｄ为等边△ABC 内一点，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD 的度数.
【答案与解析】
解：如图，连接CD，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC 是公共边，
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCB＝∠DCA＝
×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，
∵∠DBP＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠DBP，
又已知BP＝AB，
∴BP＝AC，
∴△DBP≌△DAC（SAS），
∴∠P＝∠ACD＝30°．
【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形
全等时，关键是选择恰当的判定条件．
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