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让更多的孩子得到更好的教育
【巩固练习】
一.选择题
1. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB 按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD 向
下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
2. 如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE、BF，则∠EBF
的大小为( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
3．（2016 秋·诸城市月考）下列语句中，正确的有（ ）
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；
②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；
③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；
④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；
⑤角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等.
A．1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4. 小明从镜中看到电子钟示数是
，则此时时间是（ ）
A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：21
5. 已知A（4，3）和B 是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x ＝－3 轴对称，则平面内点B
的坐标是（ ）
A.（1，3） B.（－10，3） C.（4，3） D.（4，1）
6．（2014•本溪校级二模）如图，过边长为1 的等边△ABC 的边AB 上一点P，作PE⊥AC 于E，Q
为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D，则DE 的长为（ ）
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A．
B．
C．
D．不能确定
7. 如图，将△ABC 沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处.若
1
129
，则
2
的度数为（ ）
A. 49° B. 50° C. 51° D. 52°
8. 如图, △ABC 中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB 的中垂线交BC 的延长线于D,交AC 于
E, 已知DE＝2.AC 的长为（ ）
A.2 B.3 C. 4 D.5
二.填空题
9. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB＝2cm ，点E 在BC 上，且AE＝CE．若将纸片沿AE 折叠，点B
恰好与AC 上的点
1
B 重合，则AC＝ cm ．
10. 在同一直角坐标系中，A（a ＋1，8）与B（－5，b －3）关于x 轴对称，则a ＝___________，
b ＝___________.
11．如图所示，△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F，过点F 作DE∥BC，交AB 于点D，
交AC 于点E，若BD＋CE＝9，线段DE＝_______．
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12. （2016 春•淄博期中）如图，∠BAC=30°，AM 是∠BAC 的平分线，过M 作ME∥BA 交AC 于E，
作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=
．
13．如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，点O 在△ABC 内，Í且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，求∠A
的度数为________．
14. 如图，在四边形ABCD 中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P 是BC 边
上一动点，则DP 长的最小值为 .
15.（2014•徐州模拟）如图，△ABC 的面积为4cm2，BP 平分∠ABC，且AP⊥BP 于P，则△PBC 的
面积为
cm2．
16. 如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的
周长等于_________。
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三.解答题
17．如图所示，△ABC 中，D，E 在BC 上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA，交AE 于点F，ÍDF＝AC，求证
AE 平分∠BAC．
18. 如图所示，等边三角形ABC 中，AB＝2，点P 是AB 边上的任意一点（点P 可以与点A 重合，
但不与点B 重合），过点P 作PE⊥BC，垂足为E，过E 作EF⊥AC，垂足为F，Í过FÍ作
FQ⊥AQ，垂足为Q，设BP＝x ，AQ＝y ．
（1）写出y 与x 之间的关系式；
（2）当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合？
19．（2014•清河区三模）阅读理解：
如图1，在△ABC 的边AB 上取一点P，连接CP，可以把△ABC 分成两个三角形，如果这两
个三角形都是等腰三角形，我们就称点P 是△ABC 的边AB 上的和谐点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC 中，∠ACB=90°，试找出边AB 上的和谐点P，并说明理由．
（2）已知∠A=40°，△ABC 的顶点B 在射线l 上（图3），点P 是边AB 上的和谐点，请在图3 中
画出所有符合条件的B 点，并写出相应的∠B 的度数．
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20．已知，∠BAC＝90º，AB＝AC，D 为AC 边上的中点，AN⊥BD 于M，交BC 于N.
求证：∠ADB＝∠CDN
M
N
D
C
B
A
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】作出对称轴，将图形还原即可.
2. 【答案】C；
【解析】由题意，∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠FBC，所以∠EBF＝1
2 ∠ABC＝45°，故选C．
3. 【答案】B；
【解析】①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；
②两个能重合的图形一定关于某条直线对称，错误；
③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；
④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧，错误；
⑤角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等，错误；
综上所述，正确的只有①③共2 个.
4. 【答案】B；
5. 【答案】B；
【解析】点B 的纵坐标和点A 一样，（横坐标＋4）÷2＝－3，解得横坐标为－10.
6. 【答案】B；
【解析】解：过P 作PF∥BC 交AC 于F．
∵PF∥BC，△ABC 是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF 是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD 和△QCD 中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
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∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE= AC，
∵AC=1，
∴DE= ．
故选：B．
7. 【答案】C；
【解析】∠A＝∠DOE,∠B＝∠HOG,∠C＝∠EOF,所以∠2＝360°－180°－129°＝51°.
8. 【答案】B；
【解析】连接AD，易证三角形ABD 为等边三角形，CE＝1
2 DE＝1，AE＝DE＝2，所以AC＝AE＋
CE＝2＋1＝3.
二.填空题
9. 【答案】4；
【解析】因为AE＝CE，∠
1
AB E ＝90°，所以
1
B 为AC 的中点.AC＝2AB＝4.
10.【答案】
5
,6
b
a
；
【解析】由题意a ＋1＝－5，3－b ＝8，解得
5
,6
b
a
.
11．【答案】9；
【解析】因为DE∥BC， 所以∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， 因为∠FBC＝∠FBD，∠FCB＝
∠FCE， 所以∠FBD＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC， 所以BD＝DF，CE＝EF， 所以BD＋
CE＝DF＋FE＝DE，所以DE＝BD＋CE＝9．
12.【答案】5cm；
【解析】过M 作MF⊥AC 于F，∵AM 是∠BAC 的角平分线，∴MD=MF，∠BAM=∠CAM，
∵ME∥BA，∴∠AME=∠BAM，∴∠CAM=∠AME=
∠BAC=
×30°=15°，
∵∠CEM 是△AME 的外角，∴∠CEM=∠CAM+∠AME=15°+15°=30°，
在Rt△MEF 中，∠FEM=30°，∴MF=
ME=
×10=5cm，∴MD=MF=5cm．
13．【答案】40°；
【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB， 又∵∠OBC＝∠OCA，
∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB）， ∵∠BOC＝110°，
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∴∠OBC＋∠OCB＝70°， ∴∠ABC＋∠ACB＝140°，
∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．
14.【答案】4；
【解析】过D 作DP⊥BC，此时DP 长的最小值是.因为∠ABD＝∠CBD，所以AD＝DP＝4.
15.【答案】2；
【解析】解：如图，延长AP 交BC 于D，
∵BP 平分∠ABC，AP⊥BP，
∴AP=PD，
∴S△ABP=S△DBP，S△ACP=S△DCP，
∴△PBC 的面积=S△DBP+S△DCP= S△ABC= ×4=2cm2．
故答案为：2．
16.【答案】15；
【解析】因为六边形ABCDEF 的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个
三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF＝x ，EF＝y ，则有x ＋1＋3＝x
＋y ＋2＝3＋3＋2＝8 所以x ＝4，y ＝2，六边形ABCDEF 的周长＝1＋3＋3＋2
＋2＋4＝15.
三.解答题
17．【解析】
证明：延长FE 到G，使EG＝EF，连接CG，
在△DEF 和△CEG 中，
ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG，
∴△DEF≌△CEG，
∴DF＝GC，∠DFE＝∠G，
∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠BAE，
∵DF＝AC，∴GC＝AC，
∴∠G＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAE，即AE 平分∠BAC．
18．【解析】
解：（1）∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝2．
在△BEP 中，∵PE⊥BE，∠B＝60°，
∴∠BPE＝30°，
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而BP＝x ，∴BE＝1
2
x ，EC＝2－1
2
x ，
在△CFE 中，∵∠C＝60°，EF⊥CF，
∴∠FEC＝30°，所以FC＝1－1
4 x，
同理在△FAQ 中，可得AQ＝1
2 ＋1
8
x ，
而AQ＝y ，所以y ＝1
2 ＋1
8
x （0＜x ≤2）．
（2）当点P 与点Q 重合时，有AQ＋BP＝AB＝2，
∴x ＋y ＝2，所以
2,
1
1 ,
2
8
x
y
y
x
解得x ＝4
3 ．
∴当BP 的长为4
3 时，点P 与点Q 重合．
19．【解析】
解：（1）AB 边上的和谐点为AB 的中点；理由如下：∵P 是AB 的中点，∴PC= AB=PA=PB，
∴△ACP 和△BCP 是等腰三角形；
（2）所有符合条件的点B 有3 个，如图3 所示：∠B 的度数为35°、50°、80°．
20.【解析】
证明：作∠BAC 的角平分线交BD 于H
∴∠BAH＝∠CAH＝45º
∵AB＝AC,
∴∠ABC＝∠C＝45 º
∴∠BAH＝∠C
∵AN⊥BD 于M，
∴∠AMD＝90º
∴∠NAD＋∠ADB＝90º
∵∠BAC＝90º
∴∠ABD＋∠ADB＝90º
∴∠ABD＝∠NAC
在△ABH 与△CAN 中
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M
N
H
D
C
B
A
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C
BAH
AC
AB
NAC
ABD
∴△ABH≌△CAN
∴AH＝CN
∵D 为AC 边上的中点
∴AD＝CD
在△AHD 与△CND 中
CD
AD
C
CAH
CN
AH
∴△AHD≌△CND
∴∠ADB＝∠CDN．
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