文档文本内容
11.2.1 三角形的内角
一、单选题
1．如图，
是
的角平分线，
，垂足为
，交
于
，连结
．若
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由角平分线的性质得到
，由三角形内角和定理可求得∠BAC，又有
可求得∠BAF，继而根据∠EAD=∠BAC-∠BAF 进行求解即可．
【详解】
，
，
∵BD 平分∠ABC，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和定理是解题的关键．
2．如图，AE、AD 分别是
的高和角平分线，且
，
，则
的度数为（
）
A．18°
B．22°
C．30°
D．38°
【答案】B
【分析】根据角平分线性质和三角形内角和定理求解即可；
【详解】∵AE 是
的高，
∴
，
又∵AD 是
的角平分线，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
故答案选B．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定义，准确分析计算是解题的关键．
3．如图，在折纸活动中，小明制作了一张
纸片，点
分别是边
上的点，将
沿
着
折叠压平，
与
重合，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，
∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°，
∵△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，
∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．
4．如图，
的一边
上有一动点E，连结
，在射线
上任取一点D，连结
，分别作
的角平分线，交于点F，则下列关系式正确的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】判断选项
、选项
，需假设选项
正确，即
，再根据角平分线的性质，即可证明得
出
，此时选项
也正确，故选项
、选项
都不对．对于选项
、选项
，令
与
交点
为
，根据三角形内角和为
即可证明选项
正确，选项
错误．
【详解】当
时，
，
则
，
∵
、
平分
、
，
则
，
故选项
、选项
不对．
令
与
交点为
，
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
故
，
则选项
正确，选项
错误．
故选：
．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，以及三角形内角和为
，熟练掌握角平分线的定义是解题关
键．
5．如图，直线
､
被
所截，若
，
，
，则
的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出
，再由三角形外角性质即可得解；
【详解】∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
；
故答案选C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键．
6．如图，在
中，
，
是
边上的高，
是
边的中线，
是
的角
平分线，
交
于点
，交
于点
，下面说法正确的是（ ）
①
的面积是
的面积的一半；②
；③
；④
．
A．①②③④
B．①②
C．①③
D．①④
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定
理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出
∠FAG=∠ACB，再判断④即可．
【详解】∵BE 是AC 边的中线，
∴AE=CE
AC，
∵△ABE 的面积
×AE×AB，△ABC 的面积
×AC×AB，
∴△ABE 的面积等于△ABC 的面积的一半，故①正确；
根据已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②错误；
∵在△ACF 和△DGC 中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，
∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG，故③正确；
∵AD 是BC 边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，
∴∠FAG=∠ACB，
∵CF 是∠ACB 的角平分线，
∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，
∴∠FAG=2∠FCB，故④错误；
即正确的为①③，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等
知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．算术平方根等于自身的数只有1
C．直角三角形的两锐角互余
D．如果
，那么
【答案】C
【分析】根据同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质判断即可．
【详解】A、同位角不一定相等，原命题是假命题；
B、算术平方根等于自身的数有1 和0，原命题是假命题；
C、直角三角形两锐角互余，是真命题；
D、如果a2=b2，那么a=b 或a=-b，原命题是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题的真假判断，包括同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式
的性质，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
8．如图，在
中，
，
，
平分
，
，则
的度数是
（ ）
A．50°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和求出∠ABC 的度数，再根据角平分线和平行线的性质求角．
【详解】在
中，
∠ABC=180°-∠A-∠B=180°-55°-65°=60°，
∵
平分
，
∴∠ABD=∠CBD=
∠ABC=30°，
∵
，
∴
=∠CBD=30°，
故选C．
【点评】本题考查了三角形内角和、角平分线的意义和平行线的性质，准确识图并能熟练应用三角形内角
和、角平分线和平行线的性质是解题关键．
二、填空题
9．如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，点A 的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2 等于_______．
【答案】80°
【分析】根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°
2
﹣（∠3+∠4），再利用三角形的内角和定理得
∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解决问题．
【详解】根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2＝360°
2
﹣（∠3+∠4）．
又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C，
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，
∴∠1+∠2＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
10．如图，在△ABC 中，∠A＝50°，BE 平分∠ABC，CE 平分外角∠ACD，则∠E 的度数为________．
【答案】25°
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC
＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．
【详解】∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，
∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，
∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，
∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，
∴∠A＝2∠E，
∵∠A＝50°，
∴∠E＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题
的关键．
11．在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2 倍，则我们称这个三角形为“倍角三角
形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．
【答案】30°，90°或40°，80°
【分析】根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论．
【详解】在△ABC 中，不妨设∠A=60 ，
①若∠A=2∠C，则∠C=30 ，
∴∠B=
；
②若∠C=2∠A，则∠C=120 ，
∴∠B=
(不合题意，舍去)；
③若∠B=2∠C，则3∠C
=120 ，
∴∠C
0 ，∠B=
；
综上所述，其它两个内角的度数分别是：30 ，90 或40 ，80 ．
【点评】本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的
思想解决问题．
12．如图，
________° ．
【答案】180
【分析】连接AB，可知∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，进而根据三角形内角和求出
的值．
【详解】连接AB，∵∠C+∠D+∠DFC=∠CAB+∠DBA+∠AFB，∠DFC=∠AFB，
∴∠C+∠D=∠CAB+∠DBA，
，
，
=180°
故答案为：180．
【点评】本题考查了三角形内角和，解题关键是恰当的连接辅助线，把所求的角转化为同一个三角形的内
角．
三、解答题
13．探究：如图①，
，
平分
，
平分
，且点
、
、
均在直线
上，
直线
分别与
、
交于点
、
．
（1）若
，
，则
______．
（2）若
，求
的度数．
拓展：如图②，
和
的平分线
、
交于点
，
经过点
且平行于
，分别与
、
交于点
、
．若
，直接写出
的度数．（用含
的代数式表
示）
【答案】探究：（1）120°；（2）125°；拓展：
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH，∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH
的度数；
（2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH 的度数；
（拓展）先根据角平分线的定义求出∠OFH＝
∠AFH，∠OHI＝
∠CHI＝
(180°-∠CHF)，再根据两直
线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH 即可．
【详解】（1）∵∠AFH＝80°，OF 平分∠AFH，
∴∠OFH＝40°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH＝40°；
∵∠CHF＝40°，OH 平分∠CHF，
∴∠FHO＝20°，
∴△FOH 中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝120°；
故填：120°；
（2）∵
平分
，
平分
，
∴
，
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
拓展：
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∴
．
．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握平行线的性
质：两直线平行，内错角相等．
14．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3 倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，
三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是
“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM 上找一点A，过点A 作AB⊥OM 交ON 于点B，以A
为端点作射线AD，交线段OB 于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO 的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC 为“灵动三角形”时，求∠OAC 的度数．
【答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）求出∠OAC 即可解决问题．
（3）分三种情形分别求出即可．
【详解】（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°
60°
﹣
＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB 是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC 是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3：①当∠ACB＝3∠ABC 时，∵∠ABO＝30°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB 时，
∵∠ABO＝30°，
∴∠CAB＝10°，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB 时，
∵∠ABO＝30°，
∴4∠CAB＝150°，
∴∠CAB＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，分类思想，数学新定义问题，准确理解新定义，灵活运用分类思
想是解题的关键．
15．如图，在
中，
于点
，
交
于点
，
于点
，交
于
点
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的度数．
【答案】（1）证明见详解；（2）
．
【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
16．如图所示．在△ABC 中，已知AD 是∠BAC 的平分线，∠B=66°，∠C=54°．
（1）求∠BAD 的度数；
（2）若DE⊥AC 于点E，求∠ADE 的度数．
【答案】（1）30°；（2）60°
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据角平分线的性质求出∠BAD 的度数；
（2）根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1）∵在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°．
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠BAD=
∠BAC=30°；
（2）∵∠CAD=
∠BAC=30°，又DE⊥AC，
∴在Rt△ADE 中，∠EAD=30°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=60°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
17．如图，已知AE 平分∠BAC 交BC 于点E，AF 平分∠CAD 交BC 的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝
58°．
（1）试判断AD 与BC 是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE 平分∠BAC，AF 平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ （角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝ °（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ °．
∴AD∥BC（ ）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝64°
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性质易得∠BAD＝116°，由平行线的判
定定理可得结论；
（2）由垂直的定义可得∠AEB＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°
90°
﹣
﹣
64°＝26°，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可得结果．
【详解】（1）∵AE 平分∠BAC，AF 平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°
90°
64°
﹣
﹣
＝26°，
∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°
64°
52°
﹣
﹣
＝64°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定等知识，熟知相关定义、定理
是解题关键．
18．如图，在
中，
平分
，
．若
，
，求
的度数．
【答案】20°
【分析】由题意，先求出
，然后得到
，即可求出答案．
【详解】如图：
平分
于点
．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出
角的度数进行计算．
19．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系为 ．
（2）如图2，AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P 的度数；
（3）如图3，CP、AG 分别平分∠BCE、∠FAD，AG 反向延长线交CP 于点P，请猜想∠P、∠B、∠D 之间的
数量关系．并说明理由．
【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，
再代入计算可求解；
（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD
＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．
【详解】（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°；
（3）2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP、AG 分别平分∠BCE、∠FAD，
∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，
∵∠PAB＝∠FAG，
∴∠GAD＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，
∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB ①，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），
②
∴①
②得：2∠P＝∠B+∠D．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的解法，掌握以上
知识是解题的关键．
20．阅读感悟：
如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的
任务．
三角形内角和定理的证明
今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理，主要分为两
大类：
一、动手实践操作类
①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得的角度相加，得到结
论；
②折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同一点处，发现三个角
正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；
③剪拼法：如图2，将方法②用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，拼到第三个角处，发
现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．
二、证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，将所证明的三个角
通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来证明三角形内角和）：
①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；
②如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性质来证明；
……
任务：
（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．
（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；
A．方程 B．类比 C．转化 D．分类
（3）结合以上数学思想，请在图5 中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三角形内角和定理．
【答案】（1）平角为
；（2）C；（3）见解析
【分析】（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为
进行证明；
（2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；
（3）过点
作
交
于
交
于
，由角度的关系，得到
，然后
根据平角的定义，即可得到结论成立．
【详解】（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为
进行证明；
故答案为：平角为
；
（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立；
故选：C；
（3）证明：如图，
过点
作
交
于
交
于
，
．
，
．
∴三角形的内角和为
．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于180°的方法．
