文档文本内容
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平行四边形
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1、掌握平行四边形的概念及性质；
2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题；
3、培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
1．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离___________．
2．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和_____第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两
条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差_____第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时
炸弹，容易忽略．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内
角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是____°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在
转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，
用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为____°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外
角．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取
出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
7．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平
行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四
边形．
参考答案：
1.（2）处处相等
2.（1）大于；（3）小于
3.（2）180
4.（2）①360
6.（1）平行
3
1. 平行四边形的性质．
【例1】（2014•哈尔滨道外区第一中学期末）在▱ABCD 中，∠A，∠B 的度数之比为5：4，则∠C
等于（ ）
A．60° B．80°
C．100° D．120°
【解析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B 互补，根据已知可以求出∠A，∠B 的度数，而∠C 是
∠A 的对角，所以相等．
解：在▱ABCD 中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∠A，∠B 的度数之比为5：4，
∴∠A=100°，∠B=80°，
∴∠C=∠A=100°
故选C．
练1. 在下列命题中，结论正确的是（ ）
A．平行四边形的邻角相等
B．平行四边形的对边平行且相等
C．平行四边形的对角互补
D．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够完全重合
【解析】利用平行四边形的基本性质解答本题，平行四边形的对角相等，邻角互补，并且平行四边
形是中心对称图形，而不是轴对称图形．
A、平行四边形的邻角互补，不一定相等，错误；
B、平行四边形的对边平行且相等，符合边的性质，正确；
C、平行四边形的对角相等，不一定互补，错误；
D、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，折叠不一定能重合，错误．
故选B．
练2. 平行四边形具有而非平行四边形的图形不具有的性质是（ ）
A．内角和与外角和都是360°
B．不稳定性
C．对角线互相平分 D．最多有三个钝角
【解析】任意四边形的内角和与外角和都是360°，四边形都具有不稳定性，而平行四边形的对角
线互相平分，故可以确定答案．
解：A、平行四边形和非平行四边形都满足内角和和外角和为360°；故错误．
B、平行四边形较平行四边形和非平行四边形都具不稳定性；故错误．
C、非平行四边形不一定满足对角线互相平分；故正确．
D、平行四边形最多只能有两个钝角；故错误．
故选C．
2. 平行四边形的性质；三角形三边关系．
【例2】（2014•湖北监利县中考模拟）若平行四边形的两条对角线长是8cm 和16cm，则这个平行
四边形的一边长可以是（ ）
A．3cm
B．4cm
C．8cm
D．12cm
【解析】取平行四边形两条对角线的一半与一边组成三角形，利用三角形的三边关系，可以确定出
这一边的范围，再进一步作出判断．
解：∵平行四边形的两条对角线长是8cm 和16cm，
∴平行四边形两条对角线的一半分别为4cm，8cm，
4
设另一边长为x，
4＜x＜12，
各选项中在这个范围内的有8cm．
故选C．
练3. 若平行四边形的两条对角线长为6 cm 和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的
是（ ）
A．5cm
B．8cm
C．12cm D．16cm
【解析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，进行判断．
解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．
只有选项B 在此范围内，故选B．
3.平行四边形的判定．
【例3】（2014 秋•乐清市校级月考）如图，已知△ABC，分别以A，C 为圆心，BC，AB 长为半径画
弧，两弧在直线BC 上方交于点D，连接AD，CD，则有（ ）
A．∠ADC 与∠BAD 相等
B．∠ADC 与∠BAD 互补
C．∠ADC 与∠ABC 互补
D．∠ADC 与∠ABC 互余
【解析】首先根据已知条件可以证明四边形ABCD 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可
作出判定．
解：如图，依题意得AD=BC、CD=AB，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ADC+∠BAD=180°，∠ADC=∠ABC，
∴B 正确．
故选B．
练4. 点A、B、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A、B、C、D 四点
恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个 D．4 个
【解析】根据平面的性质和平行四边形的判定求解．
解：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D 点恰能构成一个平行四边
形，符合这样条件的点D 有3 个．
故选：C．
4．平行四边形的性质；平行四边形的判定．
5
【例4】（2014•江苏盐城二中期末）如图，D、E、F 分别为△ABC 三边的中点，则与△DEF 全等的
三角形有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．5 个
【解析】根据中位线定理构成平行四边形；平行四边形的一条对角线分得的两个三角形全等．
解：已知D、E、F 分别为△ABC 三边的中点，
∴EF∥BC，DF∥AC，
∴四边形DCEF，四边形BDEF，四边形DEAF 是平行四边形，
故△FDB≌△DEF，△EDC≌△DEF，△AEF≌△DEF．
故选C．
练5. 如图，在▱ABCD 中，EF∥AB，GH∥AD，EF 与GH 交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有
（ ）
A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．11 个
【解析】根据平行四边形的定义即可求解．
解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边DEOH、
DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF 和ABCD 都是平行四边形，共9 个．
故选C．
5．全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
【例5】（2014•山东枣庄中学月考质检）如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC，D 是AB 的中点，
EC∥AB，DE∥BC，AC 与DE 交于点O．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．AC=DE B．AB=AC
C．AD=EC D．OA=OE
【解析】由已知可得四边形BDEC 是平行四边形，则BD=CE，∠B=∠E，又因为∠ABC=∠BAC，D 是AB
的中点可证△AOD≌△EOC，还可证明BC=AC，OA=OD，OE=OC，∴AC=DE，AD=EC，OA=OE．
解：∵EC∥AB，DE∥BC，
∴四边形BDEC 是平行四边形，
∴BD=CE，∠B=∠E，
又∵∠ABC=∠BAC，
∴∠CEO=∠DAO，
又D 是AB 的中点，
∴AD=BD，
∴AD=CE，
∴△AOD≌△EOC，
∴AD=CE，OA=OE，
6
∵BC=DE，BC=AC，
∴AC=DE．
而AB=AC 无法证得．
故选B．
练6．如图，点B，E，C，F 在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF．
求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）四边形ABED 是平行四边形．
【解析】（1）根据全等三角形的判定定理，很容易确定SAS 的条件，即证△ABC≌△DEF．
（2）根据平行四边形的判定定理，很容易求证AB∥DE 且AB=DE，所以四边形ABED 是平行
四边形．
证明：（1）∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC．
即BC=EF．
又∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF
（2）∵∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
∵AB=DE，
∴四边形ABED 是平行四边形．
1．如图，在▱ABCD 中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F 在AC 上，且AE=EF=FC，则△BEF 的面
积为（ ）
A．8 B．4
C．6 D．12
2．在▱ABCD 中，AC、BD 相交于O，AC=10，BD=8，则AD 的长度的取值范围是（ ）
A．AD＞1 B．1＜AD＜9
C．AD＜9 D．AD＞9
3．平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可能是（ ）
A．8 和12 B．9 和13 C．12 和12
D．11 和14
4．如图所示，一个平行四边形被分成面积为S1，S2，S3，S4的四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左
向右在平行四边形内平行滑动时，S1•S4与S2•S3的大小关系为（ ）
7
A．S1•S4＞S2•S3
B．S1•S4＜S2•S3 C．S1•S4=S2•S3
D．不能确定
5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH 的交点P 在BD 上，则图中面积
相等的平行四边形有（ ）
A．平行四边形AEPG 和平行四边形ABHG
B．平行四边形AEPG 和平行四边形PHCF
C．平行四边形ABHG 和平行四边形GPFD
D．平行四边形GPFD 和平行四边形AEPG
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1．如图，▱ABCD 中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH 相交于O，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．9 B．8
C．6
D．4
2．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，那么下列说法正确的有（ ）
①四边形ABCD 是平行四边形，记做“四边形ABCD 是”；
▱
②BD 把四边形ABCD 分成两个全等的三角形；
③AD∥BC，且AB∥CD；
④四边形ABCD 是平行四边形，可以记做“▱ABDC”．
A．1 个
B．2 个
C．3 个 D．4 个
3．下列说法中错误的个数是（ ）
①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两条对角线相等的四边形是矩形
③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
④两条对角线相等的菱形是正方形
⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形
⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形
⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
8
4．下列说法：
①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．
②平行四边形的面积等于三角形的面积的2 倍．
③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．
④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个 D．4 个
5．已知直线a∥b，点M 到直线a 的距离是5cm，到直线b 的距离是3cm，那么直线a 和直线b 之间
的距离为 ．
6．若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分为2cm 和3cm 的两条线段，则该平行四边形的
周长是 ．
7．在▱ABCD 中，AD=2，AE 平分∠DAB 交CD 于点E，BF 平分∠ABC 交CD 于点F．若EF=1，则▱ABCD
的周长为 ．
8．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与
B，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q．
（1）试说明△PCM≌△QDM．
（2）当P 在B、C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．
9．如图1，在四边形ABCD 中，已知AB=BC=CD，∠BAD 和∠CDA 均为锐角，点P 是对角线BD 上的一
点，PQ∥BA 交AD 于点Q，PS∥BC 交DC 于点S，四边形PQRS 是平行四边形．
（1）当点P 与点B 重合时，图1 变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；
（2）对于图1，若四边形PRDS 也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件？
10．己知：如图，E、F 分别是▱ABCD 的AD、BC 边上的点，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N 分别是BE、DF 的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明
你的结论．
9
参考答案：
当堂检测
1.
【考点】平行四边形的性质．
【分析】可先求平行四边形的总面积，因为AE=EF=FC，所以三个小三角形的面积相等，进而可求
解．
【解答】解：如图，过点D 作DG⊥AB 于点G，
∵AD=6，∠DAB=30°，∴DG=3，
∴平行四边形ABCD 的面积为S=AB•DG=8×3=24，
∴△ABC 的面积为S= ×24=12
∴△BEF 的面积S= ×12=4
故选B．
2．
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据平行四边形性质可知，平行四边形的对角线互相平分，则AO，DO，与AD 三边组成三
角形，然后再利用三角形三边关系解题即可．
【解答】解：设AC，BD 交于点O，平行四边形对角线平分，
则有AO=CO=5，BO=DO=4
再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
有1＜AD＜9．
故选B．
3．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】作辅助线CE∥BD，根据平行四边形的性质和三角形的三边关系，对题中的选项逐个进行
判断，即可得出结论．
【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB 的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD 是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE 中，AE=2AB=24＜AC+CE，
∴四个选项中只有D 中11+14=25＞24．
故选D．
10
4．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形面积的表示方法解题，设AB，HG 之间的距离为x，AB，EF 之间的距离为
y，再表示S1，S2，S3，S4的面积，列式比较即可．
【解答】解：设AB，HG 之间的距离为x，AB，EF 之间的距离为y，
则S1•S4=OA•x•OB•y，
S2•S3=OA•y•OB•x，
所以S1•S4=S2•S3．
故选C．
5．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的面积=底×高，可知，当两个平行四边形的底与高相等时，面积相等．
得出平行四边形GPFD 和平行四边形AEPG 相等．
【解答】解：A、观察图形，很明显▱AEPG 的面积大于▱ABHG 的面积，错误．
B、由于BD、BP、PD 分别是▱ABCD、▱BHPE、▱PFDG 的对角线，根据“对角线把平行
四边形分得的两个三角形全等”，可推出▱AEPG 和▱PHCF 面积相等，正确．
C、观察图形，很明显▱ABHG 和▱GPFD 的底与高都不相等，错误
D、观察图形，▱GPFD 和▱AEPG 高相等，底不相等，面积不相等，错误．故选B．
【点评】主要考查了平行四边形的性质和面积的求法．解题的关键是得到对角线把平行四边形分得
的两个三角形全等，面积相等．
家庭作业
1．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形
AEOG，AEFD，ABHG，CNOF，ABCD，CBEF，BHOE，DGOF 和HCOF 都是平行四边形，共9 个．
【解答】解：∵EF∥AD，GH∥CD，
而平行四边形的定义得到AB∥CD，AD∥CB，
∴EF∥AD∥CB，GH∥CD∥AB，
∴图中的四边形AEOG，AEFD，ABHG，CNOF，ABCD，CBEF，BHOE，DGOF 和HCOF 都是平行四
边形，共9 个．
故选A．
【点评】本题可根据平行四变形的定义进行判定，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有
一定的规律，以避免重复．
2．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的基本性质和基本表示方法进行判断即可．
【解答】解：根据有关概念和性质可知：
①四边形ABCD 是平行四边形，记做“四边形ABCD 是”，错误．
▱
②BD 把四边形ABCD 分成两个全等的三角形，正确．
11
③AD∥BC，且AB∥CD，正确
④四边形ABCD 是平行四边形，可以记做“▱ABDC”，应该为：记做“▱ABCD”，错误．
故选B．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和基本表示方法．平行四边形基本性质：①平行四边形
两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相
等；④平行四边形的对角线互相平分．
3．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】对平行四边形性质的考查，以及矩形，正方形，中心对称图形的性质及判定．
【解答】解：①中对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以①对；
②等腰梯形两条对角线也相等，②也不对；
③中对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
④两条对角线相等的菱形是正方形，正确，
⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形，错误，等腰梯形，菱形都有
对称中心；
⑥角是轴对称图形但不是中心对称图形，所以⑥不对
⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，都有对称中心，所以正确；
⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条，正三角形只有
三条对称轴．
所以题中共有②⑤⑥⑧四个错误，故答案选D．
4．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的
性质，结合图形，逐一分析即可．
【解答】解：根据平行四边形的基本性质和判定，可知：
①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形，正确．
②平行四边形的面积等于三角形的面积的2 倍，说明不清楚，比较对象不明了，所以错
误．
③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形，正确．
④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，正确．
故选C．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题，熟记性质是解题的关键，注意解题
时要数形结合．
5．
【考点】平行线之间的距离；点到直线的距离．
【分析】点M 的位置不确定，可分情况讨论．
（1）点M 在直线b 的下方，直线a 和直线b 之间的距离为5cm﹣3cm=2cm
（2）点M 在直线a、b 的之间，直线a 和直线b 之间的距离为5cm+3cm=8cm．
【解答】解：当M 在b 下方时，距离为5﹣3=2cm；
当M 在a、b 之间时，距离为5+3=8cm．
故答案为：2cm 或8cm
【点评】本题需注意点M 的位置不确定，需分情况讨论．
6．
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质．
12
【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定求解，解题时要注意分类讨论，即DE 可能为
2，也可能为3．
【解答】解：由题意可得，DC=5cm，
∵平行四边形ABCD，
∴∠BAE=∠DEA，
又∵AE 为∠DAB 的角平分线，
∴∠DAE=∠DEA，
∴△ADE 是等腰三角形，AD=DE，
∴当DE=2cm 时，该平行四边形的周长是10+4=14cm；
当DE=3cm 时，该平行四边形的周长是10+6=16cm．
7．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】如图：根据题意可以作出两种不同的图形，所以答案有两种情况．因为在▱ABCD 中，
AD=2，AE 平分∠DAB 交CD 于点E，BF 平分∠ABC 交CD 于点F，所以DE=AD=CF=BC=2；则求
得▱ABCD 的周长．
【解答】解：
或
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=2，AB=CD，
∴∠EAB=∠AED，∠ABF=∠BFC，
∵AE 平分∠DAB，BF 平分∠ABC，
∴∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，
∴∠AED=∠DAE，∠BFC=∠CBF，
∴AD=DE，BC=FC，
∴DE=CF=AD=2，
由图①得：CD=DE+CF﹣EF=2+2﹣1=3，
∴ABCD
▱
的周长为10；
由图②得：CD=DE+CF+EF=2+2+1=5，
∴ABCD
▱
的周长为14．
∴ABCD
▱
的周长为10 或14．
故答案为10 或14．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．还考查了等腰三角形的判
定与性质．注意如果有平行线与角平分线，一般会存在等腰三角形．解题时还要注意数形
结合思想的应用．
8．
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的判定．
13
【分析】（1）要证明△PCM≌△QDM，可以根据两个三角形全等四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS
中的ASA．求证∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP．
（2）得出P 在B、C 之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得
出．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC
∴∠QDM=∠PCM
∵M 是CD 的中点，
∴DM=CM，
∵∠DMQ=∠CMP
∴△PCM≌△QDM．
（2）解：当四边形ABPQ 是平行四边形时，PB=AQ，
∵BC﹣CP=AD+QD，
∴8﹣CP=5+CP，
∴CP=（8﹣5）÷2=1.5．
∴当PC=1.5 时，四边形ABPQ 是平行四边形．
9．
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的判定．
【分析】（1）可先证CR⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得∠BCR=∠DCR，进而求
得∠BAR=∠DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可证△ABR≌△CRD；
（2）由PS∥BC，PS∥RD 知，点R 在QD 上，故BC∥AD．又由AB=CD 知∠A=∠CDA 因为
SR∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．由PS∥BC 及BC=CD 知SP=SD．而
SP=DR，所以SR=SD=RD 故∠CDA=60 度．因此四边形ABCD 还应满足BC∥AD，
∠CDA=60°
【解答】（1）证明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，
∴CR⊥BD．
∵BC=CD，
∴∠BCR=∠DCR．
∵四边形ABCR 是平行四边形，
∴∠BCR=∠BAR．
∴∠BAR=∠DCR．
又∵AB=CR，AR=BC=CD，
∴△ABR≌△CRD（SAS）
（2）解：由PS∥QR，PS∥RD（四边形PRDS 为平行四边形）知，点R 在QD 上，
又∵PS∥BC，PS∥RD，
故BC∥AD．
又由AB=CD 知∠A=∠CDA，
∵SR∥PQ∥BA，
∴∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．
由PS∥BC
∴△DCB∽△DSP，
∵BC=CD，
∴SP=SD．而SP=DR，
∴SR=SD=RD，
故∠CDA=60°．
因此四边形ABCD 还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．
14
（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可．）
10．
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的判定．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定，在△ABE 和△CDF 中，很容易确定
SAS，即证结论；
（2）在已知条件中求证全等三角形，即△ABE≌△CDF，△MBF≌△NDE，得两对边分别对应
相等，根据平行四边形的判定，即证．
【解答】证明：（1）∵▱ABCD 中，AB=CD，∠A=∠C，
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF；
（2）四边形MFNE 平行四边形．
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，
又∵ME=BM= BE，NF=DN= DF
∴ME=NF=BM=DN，
又∵∠ABC=∠CDA，
∴∠MBF=∠NDE，
又∵AD=BC，
AE=CF，
∴DE=BF，
∴△MBF≌△NDE，
∴MF=NE，
∴四边形MFNE 是平行四边形．
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